【步步高】高考数学第一轮知识点巩固题库 第3讲 数学归纳法（含解析）新人教A版 (1).doc

第3讲 数学归纳法一、选择题 1. 利用数学归纳法证明“1aa2an1(a1，nn*)”时，在验证n1成立时，左边应该是()a 1 b 1ac 1aa2 d 1aa2a3解析 当n1时，左边1aa2，故选c.答案 c2用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步时，正确的证法是()a假设nk(kn)，证明nk1命题成立b假设nk(k是正奇数)，证明nk1命题成立c假设n2k1(kn)，证明nk1命题成立d假设nk(k是正奇数)，证明nk2命题成立解析a、b、c中，k1不一定表示奇数，只有d中k为奇数，k2为奇数答案d3用数学归纳法证明1，则当nk1时，左端应在nk的基础上加上()a. bc. d.解析当nk时，左侧1，当nk1时，左侧1.答案c4对于不等式n1(nn*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kn*且k1)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，1，nn*)，求证：s2n1(n2，nn*)证明(1)当n2时，s2ns411，即n2时命题成立；(2)假设当nk(k2，kn*)时命题成立，即s2k11，则当nk1时，s2k111111，故当nk1时，命题成立由(1)和(2)可知，对n2，nn*.不等式s2n1都成立12已知数列an：a11，a22，a3r，an3an2(nn*)，与数列bn：b11，b20，b31，b40，bn4bn(nn*)记tnb1a1b2a2b3a3bnan.(1)若a1a2a3a1264，求r的值；(2)求证：t12n4n(nn*)(1)解a1a2a3a1212r34(r2)56(r4)78(r6)484r.484r64，r4.(2)证明用数学归纳法证明：当nn*时，t12n4n.当n1时，t12a1a3a5a7a9a114，故等式成立假设nk时等式成立，即t12k4k，那么当nk1时，t12(k1)t12ka12k1a12k3a12k5a12k7a12k9a12k114k(8k1)(8kr)(8k4)(8k5)(8kr4)(8k8)4k44(k1)，等式也成立根据和可以断定：当nn*时，t12n4n.13设数列an满足a13，an1a2nan2，n1,2,3，(1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式(不需证明)；(2)记sn为数列an的前n项和，试求使得sn2n成立的最小正整数n，并给出证明解(1)a25，a37，a49，猜想an2n1.(2)snn22n，使得snn22n.n6时，266226，即6448成立；假设nk(k6，kn*)时，2kk22k成立，那么2k122k2(k22k)k22kk22kk22k32k(k1)22(k1)，即nk1时，不等式成立；由、可得，对于所有的n6(nn*)都有2nn22n成立14数列xn满足x10，xn1xxnc(nn*)(1)证明：xn是递减数列的充分必要条件是c0；(2)求c的取值范围，使xn是递增数列(1)证明先证充分性，若c0，由于xn1xxncxncxn，故xn是递减数列；再证必要性，若xn是递减数列，则由x2x1可得c0.(2)解假设xn是递增数列由x10，得x2c，x3c22c.由x1x2x3，得0c1.由xnxn1xxnc知，对任意n1都有xn0，即xn1.由式和xn0还可得，对任意n1都有xn1(1)(xn)反复运用式，得xn(1)n1(x1)(1)n1，xn1和 xn(1)n1两式相加，知21(1)n1对任意n1成立根据指数函数y(1)n的性质，得210，c，故0c.若00，即证xn对任意n1成立下面用数学归纳法证明当0c时，xn对任意n1成立(i)当n1时，x10，结论成立(ii)假设当nk(kn*)时，结论成立，即xn.因为