【步步高】高考数学总复习 第八章 8.6立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直强化训练 理 北师大版(1).DOCVIP

8.6立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直1 直线的方向向量：在空间直线l上任取两点a，b，则称为直线l的方向向量平面的法向量：如果直线l垂直于平面，那么把直线l的方向向量叫作平面的法向量2 用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，使vxv1yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvu.(4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1 u2.3 用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1v20.(2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvu.(3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1u20.1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的()(2)平面的单位法向量是唯一确定的()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行()(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行()(5)若ab，则a所在直线与b所在直线平行()(6)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行()2 若直线l1，l2的方向向量分别为a(2,4，4)，b(6,9,6)，则()al1l2 bl1l2cl1与l2相交但不垂直 d以上均不正确答案b解析ab1236240，故ab，即l1l2选b.3 已知平面内有一点m(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点p中，在平面内的是()ap(2,3,3) bp(2,0,1)cp(4,4,0) dp(3，3,4)答案a解析逐一验证法，对于选项a，(1,4,1)，n61260，n，点p在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内4 若a(0,2，)，b(1，1，)，c(2,1，)是平面内的三点，设平面的法向量n(x，y，z)，则xyz_.答案23(4)5 已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且bp平面abc，则实数x，y，z分别为_答案，4解析由题意知，.所以即解得，x，y，z4.题型一证明平行问题例1(2013浙江改编)如图，在四面体abcd中，ad平面bcd，bccd，ad2，bd2，m是ad的中点，p是bm的中点，点q在线段ac上，且aq3qc.证明：pq平面bcd.思维启迪证明线面平行，可以利用判定定理先证线线平行，也可利用平面的法向量证明方法一如图，取bd的中点o，以o为原点，od、op所在射线为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系oxyz.由题意知，a(0，2)，b(0，0)，d(0，0)设点c的坐标为(x0，y0,0)因为3，所以q.因为m为ad的中点，故m(0，1)又p为bm的中点，故p，所以.又平面bcd的一个法向量为a(0,0,1)，故a0.又pq平面bcd，所以pq平面bcd.方法二在线段cd上取点f，使得df3fc，连接of，同证法一建立空间直角坐标系，写出点a、b、c的坐标，设点c坐标为(x0，y0,0)，设f点坐标系(x，y,0)则(xx0，yy0,0)(x0，y0,0)(x0，y0,0)又由证法一知(x0，y0,0)，pqof.又pq平面bcd，of平面bcd，pq平面bcd.思维升华用向量证明线面平行的方法有(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示如图所示，平面pad平面abcd，abcd为正方形，pad是直角三角形，且paad2，e、f、g分别是线段pa、pd、cd的中点求证：pb平面efg.证明平面pad平面abcd且abcd为正方形，ab、ap、ad两两垂直，以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)、b(2,0,0)、c(2,2,0)、d(0,2,0)、p(0,0,2)、e(0,0,1)、f(0,1,1)、g(1,2,0)(2,0，2)，(0，1,0)，(1,1，1)，设st，即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，解得st2.22，又与不共线，、与共面pb平面efg，pb平面efg.题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都为2，d为cc1的中点求证：ab1平面a1bd.思维启迪证明线面垂直可以利用线面垂直的定义，即证线与平面内的任意一条直线垂直；也可以证线与面的法向量平行证明方法一设平面a1bd内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数，使m.令a，b，c，显然它们不共面，并且|a|b|c|2，abac0，bc2，以它们为空间的一个基底，则ac，ab，ac，mabc，m(ac)4240.故m，结论得证方法二如图所示，取bc的中点o，连接ao.因为abc为正三角形，所以aobc.因为在正三棱柱abca1b1c1中，平面abc平面bcc1b1，所以ao平面bcc1b1.取b1c1的中点o1，以o为原点，以，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则b(1,0,0)，d(1,1,0)，a1(0,2，)，a(0,0，)，b1(1,2,0)设平面a1bd的法向量为n(x，y，z)，(1,2，)，(2,1,0)因为n，n，故令x1，则y2，z，故n(1,2，)为平面a1bd的一个法向量，而(1,2，)，所以n，所以n，故ab1平面a1bd.思维升华用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示如图所示，在四棱锥pabcd中，pc平面abcd，pc2，在四边形abcd中，bc90，ab4，cd1，点m在pb上，pb4pm，pb与平面abcd成30角(1)求证：cm平面pad；(2)求证：平面pab平面pad.证明以c为坐标原点，cb所在直线为x轴，cd所在直线为y轴，cp所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系cxyz，pc平面abcd，pbc为pb与平面abcd所成的角，pbc30.pc2，bc2，pb4.d(0,1,0)，b(2，0,0)，a(2，4,0)，p(0,0,2)，m(，0，)，(0，1,2)，(2，3,0)，(，0，)，(1)令n(x，y，z)为平面pad的一个法向量，则即令y2，得n(，2,1)n2010，n，又cm平面pad，cm平面pad.(2)取ap的中点e，则e(，2,1)，(，2,1)pbab，bepa.又(，2,1)(2，3,0)0，beda，又padaa，be平面pad，又be平面pab，平面pab平面pad.题型三解决探索性问题例3(2012福建)如图，在长方体abcda1b1c1d1中，aa1ad1，e为cd的中点(1)求证：b1ead1；(2)在棱aa1上是否存在一点p，使得dp平面b1ae？若存在，求ap的长；若不存在，说明理由思维启迪利用向量法建立空间直角坐标系，将几何问题进行转化；对于存在性问题可通过计算下结论(1)证明以a为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设aba，则a(0,0,0)，d(0,1,0)，d1(0,1,1)，e，b1(a,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10，b1ead1.(2)解假设在棱aa1上存在一点p(0,0，z0)使得dp平面b1ae，此时(0，1，z0)又设平面b1ae的法向量n(x，y，z)n平面b1ae，n，n，得取x1，得平面b1ae的一个法向量n.要使dp平面b1ae，只要n，有az00，解得z0.又dp平面b1ae，存在点p，满足dp平面b1ae，此时ap.思维升华对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”如图所示，四棱锥sabcd的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，p为侧棱sd上的点(1)求证：acsd.(2)若sd平面pac，则侧棱sc上是否存在一点e，使得be平面pac.若存在，求seec的值；若不存在，试说明理由(1)证明连接bd，设ac交bd于o，则acbd.由题意知so平面abcd.以o为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系如图设底面边长为a，则高soa，于是s，d，b，c，则0.故ocsd.从而acsd.(2)解棱sc上存在一点e使be平面pac.理由如下：由已知条件知是平面pac的一个法向量，且，.设t，则t，而0t.即当seec21时，.而be不在平面pac内，故be平面pac.利用向量法解决立体几何问题典例：(12分)(2012湖南)如图所示，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，ab4，bc3，ad5，dababc90，e是cd的中点(1)证明：cd平面pae；(2)若直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，求四棱锥pabcd的体积思维启迪本题中的(1)有两种证明思路：(1)利用常规方法，将证明线面垂直转化为证明线线垂直，利用线面垂直的判定定理证之；(2)将证明线面垂直问题转化为向量间的关系问题，证明向量垂直；然后计算两个向量的数量积规范解答方法一(1)证明如图，连接ac.由ab4，bc3，abc90得ac5.1分又ad5，e是cd的中点，所以cdae.2分因为pa平面abcd，cd平面abcd，所以pacd.4分而pa，ae是平面pae内的两条相交直线，所以cd平面pae.5分(2)解过点b作bgcd，分别与ae，ad相交于点f，g，连接pf.由(1)cd平面pae知，bg平面pae.于是bpf为直线pb与平面pae所成的角，6分且bgae.由pa平面abcd知，pba为直线pb与平面abcd所成的角7分由题意得pbabpf，因为sinpba，sinbpf，所以pabf.由dababc90知，adbc.又bgcd，所以四边形bcdg是平行四边形故gdbc3.于是ag2.在rtbag中，ab4，ag2，bgaf，所以bg2，bf.于是pabf.10分又梯形abcd的面积为s(53)416，所以四棱锥pabcd的体积为vspa16.12分方法二如图，以a为坐标原点，ab，ad，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设pah，则a(0,0,0)，b(4,0,0)，c(4,3,0)，d(0,5,0)，e(2,4,0)，p(0,0，h)2分(1)证明易知(4,2,0)，(2,4,0)，(0,0，h)因为8800，0，4分所以cdae，cdap.而ap，ae是平面pae内的两条相交直线，所以cd平面pae.5分(2)解由题设和(1)知，分别是平面pae，平面abcd的法向量6分而pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，所以|cos，|cos，|，即.8分由(1)知，(4,2,0)，(0,0，h)，又(4,0，h)，故.解得h.10分又梯形abcd的面积为s(53)416，所以四棱锥pabcd的体积为vspa16.12分温馨提醒(1)利用向量法证明立体几何问题，可以建立坐标系或利用基底表示向量；(2)建立空间直角坐标系时要根据题中条件找出三条互相垂直的直线；(3)对于和平面有关的垂直问题，也可利用平面的法向量方法与技巧用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题失误与防范用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(r)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外a组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 若直线l的一个方向向量为a(2,5,7)，平面的一个法向量为u(1,1，1)，则()al或l blcl dl与斜交答案a2 若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是()aa(1,0,0)，n(2,0,0)ba(1,3,5)，n(1,0,1)ca(0,2,1)，n(1,0，1)da(1，1,3)，n(0,3,1)答案d解析若l，则an0，d中，an10(1)3310，an.3 设平面的法向量为a(1,2，2)，平面的法向量b(2，h，k)，若，则hk的值为()a2 b8 c0 d6答案c解析由得ab，h4，k4，hk0.4 已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数等于()a. b. c. d.答案d解析由题意得ctab(2t，t4，3t2)，.5 如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab2，aa1，ad2，p为c1d1的中点，m为bc的中点则am与pm所成的角为()a60 b45c90 d以上都不正确答案c解析以d点为原点，分别以da，dc，dd1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，依题意，可得，d(0,0,0)，p(0,1，)，c(0,2,0)，a(2，0,0)，m(，2,0)(，1，)，(，2,0)，(，1，)(，2,0)0，即，ampm.二、填空题6 已知平面和平面的法向量分别为a(1,1,2)，b(x，2，3)，且，则x_.答案4解析abx260，x4.7 设点c(2a1，a1,2)在点p(2,0,0)、a(1，3,2)、b(8，1，4)确定的平面上，则a_.答案16解析(1，3,2)，(6，1,4)根据共面向量定理，设xy (x、yr)，则(2a1，a1,2)x(1，3,2)y(6，1,4)(x6y，3xy,2x4y)，解得x7，y4，a16.8 如图，在正方体abcda1b1c1d1中，棱长为a，m、n分别为a1b和ac上的点，a1man，则mn与平面bb1c1c的位置关系是_答案平行解析正方体棱长为a，a1man，()().又是平面b1bcc1的法向量，0，.又mn平面b1bcc1，mn平面b1bcc1.三、解答题9 如图，四边形abcd为正方形，pd平面abcd，pdqa，qaabpd.证明：平面pqc平面dcq.证明如图，以d为坐标原点，线段da的长为单位长，射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz.依题意有q(1，1,0)，c(0,0,1)，p(0,2,0)，则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)0，0.即pqdq，pqdc，又dqdcd，故pq平面dcq，又pq平面pqc，平面pqc平面dcq.10如图，在底面是矩形的四棱锥pacbd中，pa底面abcd，e，f分别是pc，pd的中点，paab1，bc2.(1)求证：ef平面pab；(2)求证：平面pad平面pdc.证明(1)以a为原点，ab所在直线为x轴，ad所在直线为y轴，ap所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,1)，e(，1，)，f(0,1，)，(，0,0)，(1,0，1)，(0,2，1)，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(1,0,0)，即efab，又ab平面pab，ef平面pab，ef平面pab.(2)(0,0,1)(1,0,0)0，(0,2,0)(1,0,0)0，即apdc，addc.又apada，dc平面pad.dc平面pdc，平面pad平面pdc.b组专项能力提升(时间：30分钟)1 已知a(1,1,1)，b(0,2，1)，cmanb(4，4,1)若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为()a1,2 b1，2c1,2 d1，2答案a解析由已知得c(m4，m2n4，mn1)，故ac3mn10，bcm5n90.解得2 已知平面abc，点m是空间任意一点，点m满足条件，则直线am()a与平面abc平行b是平面abc的斜线c是平面abc的垂线d在平面abc内答案d解析由已知得m、a、b、c四点共面所以am在平面abc内，选d.3 在正方体abcda1b1c1d1中，p为正方形a1b1c1d1四边上的动点，o为底面正方形abcd的中心，m，n分别为ab，bc的中点，点q为平