绳子拉船问题的理解与求解 2.doc

绳子拉船问题的理解与求解一、绳子拉船问题的理解1绳子拉船问题如图1所示，在水面上方h高的岸上，某人利用绕过定滑轮O的轻绳匀速地拉动水面上的一只小船，如果人拉动绳子的速度大小为V，则当绳子OA与水平面的夹角为时，小船运动的速度为多大。2常见错误及原因分析对此问题，很多学生的常见错误是把拉动绳子的速率V沿竖直和水平两个方向分解，如图2所示，因此错误地认为船沿水面运动的速度，就是绳子沿水平方向的分速度，即V船=Vcos （1）造成上述错误的原因，就是没有分清楚合运动与分运动，错误地认为与船相连的绳子沿收缩方向是合运动，小船的运动为它的分运动。实际上，绳子A端与船相连，它的实际运动与小船运动相同，也是水平向左，这才是合运动。3常规解法如图1所示，当绳子拉着小船水平向左运动时，定滑轮右边的绳子运动有这样的效果：一方面，沿绳子方向收缩；另一方面，绳子绕定滑轮O顺时针转动。因此，可将绳A端（或小船）水平向左的实际运动（合运动）分解成上述两个方向的分运动，如图3所示，而沿绳子收缩方向的分速度大小等于人通过定滑轮拉动绳子的速度大小V，故小船运动的速度为 （2）1功能原理法设定滑轮的质量、滑轮与轴之间的摩擦均不计，则人在利用绕过定滑轮的绳子拉船过程中，人拉轻绳所做的功等于绳子拉船所做的功，即W人=W船，由于人拉绳与绳拉船的时间相同，则有，即P人 = P船 （3）设人对绳子的拉力为F，则绳对船的拉力大小也为F，根据功率的计算公式P=FVcos，有P人 = FV （4）P船 = FV船cos （5）联立（3）、（4）、（5）式可得类型题： 绳联物体的速度分解问题 【例题】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度拉水平面上的物体A，当绳与水平方向成角时，求物体A的速度。v0A解析：解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A的两个分运动。物体A的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度的值。这样就可以将按图示方向进行分解。所以及实际上就是的两个分速度，如图所示，由此可得。解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。v0ACBxL设船在角位置经t时间向左行驶x距离，滑轮右侧的绳长缩短L，如图所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，ABC可近似看做是一直角三角形，因而有，两边同除以t得：即收绳速率，因此船的速率为：总结：“微元法”。可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子的拉力为F，则对绳子做功的功率为；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率为，因为所以。评点：在上述问题中，若不对物体A的运动认真分析，就很容易得出的错误结果；当物体A向左移动，将逐渐变大，逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物体A却在做变速运动。总结：解题流程：选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）；确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；作出速度分解的示意图，寻找速度关系。【例题】如图所示，在高为H的光滑平台上有一物体用绳子跨过定滑轮C，由地面上的人以均匀的速度v0向右拉动，不计人的高度，若人从地面上平台的边缘A处向右行走距离s到达B处，这时物体速度多大？物体水平移动了多少距离？hv0sBAs解析：人的实际运动为合运动，将此合运动分解在沿绳方向和垂直于绳的方向。全解设人运动到B点时，绳与地面的夹角为。人的运动在绳的方向上的分运动的速度为：。物体的运动速度与沿绳方向的运动速度相同，所以物体的运动速度为。物体移动的距离等于滑轮右端绳子伸长的长度，。答案：， 小结分清合运动是关键，合运动的重要特征是，合运动都是实际的运动，此题中，人向前的运动是实际的运动，是合运动；该运动分解在沿绳的方向和垂直于绳的方向，这两个运动的物理意义是明确的，从滑轮所在的位置来看，沿绳的方向的运动是绳伸长的运动，垂直于绳的方向的运动是绳绕滑轮的转动，人同时参与了这两个运动，其实际的运动（合运动）即是水平方向的运动【例题】如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m沿斜面升高问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为多少？mvM解析：重物M的速度v的方向是合运动的速度方向，这个v产生两个效果：一是使绳的这一端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动；二是使绳系着重物的一端沿绳拉力的方向以速率v运动，如图所示，由图可知，vvcos【例题】一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，如图所示，设汽车和重物的速度的大小分别为，则（ BD ）vAvBA B C D重物B的速度逐渐增大【例题】如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点）。将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成角时，A球沿槽下滑的速度为VA，求此时B球的速度VB？ABa解析：A球以VA的速度沿斜槽滑下时，可分解为：一个使杆压缩的分运动，设其速度为VA1；一个使杆绕B点转动的分运动，设其速度为VA2。而B球沿斜槽上滑的运动为合运动，设其速度为VB，可分解为：一个使杆伸长的分运动，设其速度为VB1，VB1=VA1；一个使杆摆动的分运动设其速度为VB2；ABavA2vAvBvA1vB2vB1由图可知： 【例题】如图所示，临界角C为450的液面上有一点光源S发出一束光垂直入射到水平放置于液体中且距液面为d的平面镜M上，当平面镜M绕垂直过中心O的轴以角速度做逆时针匀速转动时，观察者发现水面上有一光斑掠过，则观察者们观察到的光斑在水面上掠过的最大速度为多少？SOdM解析：设平面镜转过角时，光线反射到水面上的P点，光斑速度为V，由图可知：SOdMvvvP且，而故液体的临界角为C，当2=C=450时，V达到最大速度类型题： 面接触物体的速度问题 求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。【例题】一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度V0匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为，求竖直杆运动的速度。ROPv0v1解析：设竖直杆运动的速度为V1，方向竖直向上，由于弹力方向沿OP方向，所以V0、V1在OP方向的投影相等，即有，解得V1=V0。tan【例题】一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球A的线速度vA（此时杆与水平方向夹角为）。oA解析：解题方法与技巧：选取物与棒接触点B为连结点。 （不直接选A点，因为A点与物块速度的v的关系不明显）。因为B点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B点的合速度（实际速度）也就是物块速度v；B点又在棒上，参与沿棒向A点滑动的速度v1和绕O点转动的线速度v2。因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v2=vsin。设此时OB长度为a，则a=h/sin。令棒绕O 点转动角速度为，则：=v2/a=vsin2/h。故A的线速度vA=L=vLsin2/h。速度分解的特殊方法作者：周世斌更新日期：2007-9-1点击数： 140等级： 摘 要：运动的分解是运动合成的逆运算，把一个运动进行分解时，要根据运动的实际效果来确定分运动。在高中阶段，对于为什么要把某一些运动分解为一个平动和一个转动，学生非常困惑，为此笔者根据自己的教学经验，从发现问题、提出问题、突破难点、例题解析、问题辨析等几个方面一步一步地展开教学，并总结出了解决此类绳联问题的特殊方法绳子速度相等法。 关键词：速度分解；特殊方法；绳子速度相等法 . 运动的分解是运动合成的逆运算，遵守平行四边形定则，把一个运动进行分解时，要根据运动的实际效果来确定分运动，高中阶段一般有两类分解方式：(1)把一个合运动分解为两个互相垂直的平动；(2)把一个合运动分解为一个平动和一个转动。 笔者在教学中，对怎样让学生更好地理解第二种分解方式有一点心得，在此与各位交流。为了更好地让学生学习，把该类问题统称为绳联问题，解答方法称为绳子速度相等法。 1 问题提出 例1 如图1所示，物体甲以速度v1拉着物体乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运 动，求v1v2。 解法1 如图2所示，物体甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cos，两者应该相等，所以有v1v2=cos1。 解法2 如图3所示，物体甲沿绳的速度为v1，把v1按竖直和水平方向分解，v1的水平方向分速度就是v2，所以有v1v2=1cos。 以上两种解答在同学中很普遍，且第二种解答很容易与力的正交分解类比，而被同学们广泛接受。那么，哪种解答是正确的呢? 2 发现问题 如图4所示，根据运动关系可知，在时间t内物体甲运动的位移为L1-L2，而乙的位 移为L3。由三角形知识易知：L1-L2L3，可见v1v2，第二种解答肯定是错误的。那么，第一种解答是否就是正确的呢? 3 突破难点 3.1 如图5所示,两个小球用轻弹簧相连接，沿水平方向向右运动，弹簧处于原长状态。若后面小球的速度大于前面小球的速度，则弹簧将被压缩，反之则伸长，要保证弹簧既不压缩又不伸长，只有两小球沿水平方向有共同速 度。 3.2 同学们请看下面的情景，如图6所示，物体M在一根杆OA上，杆可绕O点转动，物体M可沿杆上下爬，在物体M后系一根不可伸长的轻绳，绳绕过光滑的定滑轮与另一个小物体m相连。 (1)杆绕O点转动，物体M不动，小物体m也不动，如图7所示。 （2）杆不动，物体M沿杆上下爬动，小物体m也上下移动；且两者在相等时间内移动的距离相等。可见，小物体m的移动速度大小取决于物体M沿杆方向爬行的速度，如图8所示。 （3）当杆绕O点转动，物体M沿杆上下爬动，小物体m也上下移动；此时物体M参与了两个运动，一是随杆的转动， 速度为v，另一个是沿杆的爬行，速度为v。此时也可以看到，两者在相等时间内移动的距离关系是：物体M沿杆爬动的距离等于物体m上下移动的距离。可见，小物体m的移动速度大小取决于物体M沿杆方向爬行的速度，如图9所示。 在不计绳的质量和形变、以及摩擦阻力的条件下，根据能的转化和守恒定律，外力对绳的瞬时功率大小等于绳对被牵引物的瞬时功率大小。如图10所示，F1拉绳的功率为F1v1，v1为拉绳的速度，F2拉车的功率为F2v2cos，v2为车前进(即合运动)的速度，由F1v1=F2v2cos，又F1=F2，故v1=v2cos。 结论：对于绳联(或杆联)问题，由于绳(或杆联)不可伸长时，绳联(或杆联)物体的速度在绳方向上的投影相等。求绳联物体的速度关联问题时，首先要明确绳联物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出。 4 例题解析 例1 一半径为A的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接A、B两球，悬挂在圆柱面边缘两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，如图11。已知A始终不离开球面，且细绳足够长，若不计一切 摩擦。求A球沿圆柱面滑至最低点时速度的大小。 解析 当A球从圆柱边缘处沿圆柱面滑至最低点时，走过的路程是14圆弧，而月球走过的路程等于14圆弧所对应的弦长，设A球滑至最低点时速度大小为vA，此时B球速度大小为vB。有关系：vB=vAcos45 对整个系统，以圆柱的水平直径为零势点，由机械能守恒定律有： 5 问题引伸 例2 如图12所示，光滑半圆上有两个小球(可看作质点)，质量分别为m和M，由不可伸长的细绳挂着，今由静止开始释放。求小球m沿光滑半圆运动至半圆的最高点C点时的速度是多少 (小球m沿光滑半圆运动至半圆的最高点C点的过程中不脱离半圆。)？ 解析 从如图所示位置由静止释放，到B达到半圆顶点这一过程中M受到重力Mg和牵引力F的作用，m将受牵引力F和重力mg的作用以及球面支持力FN的作用。m和M 12下一页 绳子末端速度的分解问题，是本章的一个难点，同学们在分解时，往往搞不清哪一个是合速度，哪一个是分速度。以至解题失败。解决此类问题的关键是抓住合运动和分运动的实质，准确地判断出分运动或合运动，而后再根据平行四边形定则进行正确的运动合成或分解。下面结合例题讨论一下。【例1】如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m沿斜面升高。则：当滑轮右侧的绳与竖直方向成角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为多少？【解析】解决此类问题的重要思想就是通过对物体的运动进行分解，找到两个物体速度之间的关系，就本题而言，重物M的速度v是它的合速度，绳运动的速度既是小车的合速度又是重物的一个分速度；问题就是另一个分速度是什么，实质上重物在下滑的过程中，既有沿绳向下运动的趋势，同时又有绕滑轮转动的速度，绳的收缩效果与转动效果相互垂直，且为M的两个分运动。解：如下图所示，将重物的速度v分解，由几何关系得出：小车的速度【例2】如图所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳速度大小为v1，当船头的绳索与水平面夹角为时，船的速度多大？【解析】我们所研究的运动合成问题，都是同一物体同时参与的两个分运动的合成问题，而物体相对于给定参照物（一般为地面）的实际运动是合运动，实际运动的方向就是合运动的方向。本例中，船的实际运动是水平运动，它产生的实际效果可以A点为例说明：一是A点沿绳的收缩方向的运动，二是A点绕O点沿顺时针方向的转动，所以，船的实际速度v可分解为船沿绳方向的速度 和垂直于绳的速度 ，如图1所示。由图可知：vv1/cos 【例3】如图所示，一辆匀速行驶的汽车将一重物提起，在此过程中，重物A的运动情况是（ ）A. 加速上升，且加速度不断增大 B. 加速上升，且加速度不断减小C. 减速上升，且加速度不断减小D. 匀速上升 【解析】物体A的速率即为左段绳子上移的速率，而左段绳子上移的速率与右段绳子在沿着绳长方向的分速率是相等的。右段绳子实际上同时参与两个运动：沿绳方向拉长及向上摆动。将右段绳子与汽车相连的端点的运动速度v沿绳子方向和与绳子垂直方向分解，如图所示，则沿绳方向的速率即为物体A的速率vAv1=vsin 。随着汽车的运动，增大，vAv1增大，故A应加速上升。由v-t图线的意义知，其斜率为加速度，在090范围内，随角的增大，曲线y=sin的斜率逐渐减小，所以A上升的加速度逐渐减小。【答案】B【跟综练习】如图4所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，则v1v2_。【答案】cos1学苑新报物理天地 人教课标版必修2 第27期绳子末端速度如何分解山东宁建蓬绳子末端速度的分解问题，是本章的一个难点，同学们在分解时，往往搞不清哪一个是合速度，哪一个是分速度。以至解题失败。下面结合例题讨论一下。例1如图1所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳速度大小为v1，当船头的绳索与水平面夹角为时，船的速度多大？解析我们所研究的运动合成问题，都是同一物体同时参与的两个分运动的合成问题，而物体相对于给定参照物（一般为地面）的实际运动是合运动，实际运动的方向就是合运动的方向。本例中，船的实际运动是水平运动，它产生的实际效果可以A点为例说明：一是A点沿绳的收缩方向的运动，二是A点绕O点沿顺时针方向的转动，所以，船的实际速度v可分解为船沿绳方向的速度v1和垂直于绳的速度v2，如图1所示。由图可知：vv1/cos点评不论是力的分解还是速度的分解，都要按照它的实际效果进行。本例中，若将拉绳的速度分解为水平方向和竖直方向的分速度，就没有实际意义了，因为船并不存在竖直方向上的分运动例2如图2所示，一辆匀速行驶的汽车将一重物提起，在此过程中，重物A的运动情况是【】A. 加速上升，且加速度不断增大B. 加速上升，且加速度不断减小C. 减速上升，且加速度不断减小D. 匀速上升解析物体A的速率即为左段绳子上移的速率，而左段绳子上移的速率与右段绳子在沿着绳长方向的分速率是相等的。右段绳子实际上同时参与两个运动：沿绳方向拉长及向上摆动。将右段绳子与汽车相连的端点的运动速度v沿绳子方向和与绳子垂直方向分解，如图3所示，则沿绳方向的速率即为物体A的速率vA=v1=vsin。随着汽车的运动，增大，vA=v1增大，故A应加速上升。由v-t图线的意义知，其斜率为加速度，在090范围内，随角的增大，曲线y=sin的斜率逐渐减小，所以A上升的加速度逐渐减小。答案B点评本题主要考查了运动的分解，解题的关键是要分清合速度与分速度。一般情况下，物体相对于给定的参考系（一般为地面）的实际运动就是合运动，本例中，汽车的实际运动就是合运动。另外，运动的分解要按照它的实际效果进行。跟综练习如图4所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，则v1v2_。答案cos浅谈“运动速度的分解”中隐形的知识点李泽龙高中物理力学、电学、光学部分，速度的正交分解这一知识点常常“隐形”的渗透到不同运动方向的两个或多个连结体运动的情景中，或者运动物体的速度瞬间发生突变时的情景中。如果解题者稍有不慎，就会因不能辩识出或者不能正确的应用速度分解，而造成对整道题的解答错误。下面例举几道常出现速度分解的典型例题加以讨论分析，把握此知识点出现的规律性，以便灵活、准确的应用。一. 速度投影类的速度分解1. 速度分解“隐形”在力学的超重、失重物理情景中例1. 如图1，在不计滑轮摩擦和绳质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是（ ）A. 绳的拉力大于A的重力B. 绳的拉力等于A的重力C. 绳的拉力小于A的重力D. 拉力先大于A的重力，后小于重力图1分析与点拨：此类问题通常是通过定滑轮造成绳子两端的连接体运动方向不一致，导致主动运动物体和被动运动物体的加速、减速的不一致性。解答时必须运用两物体的速度在各自连接处绳子方向投影相同的规律。解析：把小车的速度为合速度进行分解，即根据运动效果向沿绳的方向和与绳垂直的方向进行正交分解，分别是v2、v1。如图1所示，题中物体A的运动方向与连结处绳子的方向相同，不必分解。A的速度等于v2，小车向右运动时，逐渐变小，可知逐渐变大，故A向上做加速运动，处于超重状态，绳子对A的拉力大于重力，故选项A正确。2. 速度分解“隐形”在杆的各点运动速度不同的情景中例2. 如图2所示，当放在墙角的均匀直杆A端靠在竖直墙上，B端放在水平地面，滑到图示位置时，B点的速度为v，则A点的速度是_（为已知）。图2分析与点拨：由于杆AB下滑时各点的速度不同，但各点速度沿杆方向的投影相同，即沿杆方向的速度效果相同，所以把两端点的速度必须向沿杆方向上和杆垂直的方向上正交分解。解析：把A、B两端点的速度为vA、vB各自做为合速度向沿杆AB的方向和与杆垂直的方向进行正交分解，如图2所示，沿杆AB方向的投影分速度相同，都是v1，那么有：，即求解出A下滑的速度：。二. 速度分解“隐形”在水平面内圆周运动的物理情景中例3. 如图3，一个小球被绳子牵引在光滑的水平板上，以速度v做匀速圆周运动，其半径，现将牵引的绳子迅速放长20cm，使小球在更大半径的新轨道上做匀速圆周运动，求实现这一过渡所需的时间？在新轨道上做匀速圆周运动时，绳子对小球的牵引力F2是原来绳子对小球牵引力F1的多少倍？图3分析与点拨：当绳子放长后，牵引力迅速变为O，球沿切线方向做匀速直线运动，在绳长50cm处被拉紧时，速度的方向突然发生改变后，才能沿新轨道圆做匀速圆周运动，此过程有动能损失。如果忽视这一瞬间的速度分解的关键处理方法，认为速率不变的进入新的圆周运动，导致题问的错解。解析：假设球运动到A点时开始放长，可转化成直视平面图4，球从A点沿切线方向AB飞出，并做匀速直线运动，再被拉紧时在B点，OB为新轨道圆的半径，。球在B点被拉紧前的瞬间速度沿AB方向，即拉紧后在新圆周上的匀速圆周运动的线速度为v1，二者不相等。按照vB的运动效果并作为合速度正交分解，分速度分别是：新圆上过B点沿半径OB向外的速度v