【步步高】高考数学第一轮复习（典型题+详解）专题六 高考中的概率与统计问题文档强练 文 新人教A版(1).doc

专题六高考中的概率与统计问题1质点在数轴上的区间0,2上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间0,1上的概率为()a.b.c.d以上都不对答案c解析区间0,2的长度为2，记“质点落在区间0,1上”为事件a.则事件a的区间长度为1，则p(a).2. 为了从甲、乙两名运动员中选拔一人参加某次运动会跳水项目，对甲、 乙两名运动员进行培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，得到茎叶图如图所示从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派_(填甲或乙)运动员合适答案甲解析根据茎叶图，可得甲(787981849395)85，乙(758083859295)85.s(7885)2(7985)2(8185)2(8485)2(9385)2(9585)2，s(7585)2(8085)2(8385)2(8585)2(9285)2(9585)2.因为甲乙，s90的概率为_答案解析以ab为直径作圆，当m在圆与正方形重合形成的半圆内时，amb90，所求概率为p.5如图是某学校抽取的n个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为123，第3小组的频数为18，则n的值是_答案48解析若第一组的频率记为x，则第二、三组频率依次为2x,3x，第四、第五组频率依次为0.187 5,0.062 5，从而6x0.187 50.062 51，解得x，从而第三组的频率为；从而，解得n48.题型一古典概型与几何概型的概率计算例1已知关于x的二次函数f(x)ax24bx1.(1)设集合p1,2,3和q1,1,2,3,4，分别从集合p和q中随机取一个数作为a和b，求函数yf(x)在区间1，)上是增函数的概率；(2)设点(a，b)是区域内的一点，求函数yf(x)在区间1，)上是增函数的概率思维启迪首先判断两个问题是什么概率模型：容易知道(1)是一个古典概型概率；(2)是一个几何概型概率，对于(1)将所有情况都列举出来即可，(2)要结合线性规划知识来解决解(1)函数f(x)ax24bx1的图象的对称轴为直线x，要使f(x)ax24bx1在区间1，)上为增函数，当且仅当a0且1，即2ba.若a1，则b1；若a2，则b1或1；若a3，则b1或1.事件包含基本事件的个数是1225.所求事件的概率为.(2)由(1)，知当且仅当2ba且a0时，函数f(x)ax24bx1在区间1，)上为增函数，依条件可知事件的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为三角形部分由得交点坐标为(，)，所求事件的概率为p.思维升华几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏(2012天津)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，列出所有可能的抽取结果；求抽取的2所学校均为小学的概率解(1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为63；从中学中抽取的学校数目为62；从大学中抽取的学校数目为61.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)在抽取的6所学校中，3所小学分别记为a1，a2，a3,2所中学分别记为a4，a5，大学记为a6，则抽取2所学校的所有可能结果为a1，a2，a1，a3，a1，a4，a1，a5，a1，a6，a2，a3，a2，a4，a2，a5，a2，a6，a3，a4，a3，a5，a3，a6，a4，a5，a4，a6，a5，a6，共15种从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件b)的所有可能结果为a1，a2，a1，a3，a2，a3，共3种，所以p(b).题型二概率与统计的综合应用例2第12届全运会将于2013年8月31日在辽宁沈阳举行，组委 会在沈阳某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)，身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；(2)若从身高180 cm以上(包括180 cm)的志愿者中选出男、女各一人，求这2人身高相差5 cm以上的概率思维启迪求“至少有”的概率往往利用“正难则反”的方法简单解(1)根据茎叶图知，“高个子”有12人，“非高个子”有18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，所以抽取的5人中，“高个子”有122人，“非高个子”有183人“高个子”用a，b表示，“非高个子”用a，b，c表示，则从这5人中选2人的情况有(a，b)，(a，a)，(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，至少有一名“高个子”被选中的情况有(a，b)，(a，a)，(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，共7种因此，至少有一人是“高个子”的概率是p.(2)由茎叶图知，有5名男志愿者身高在180 cm以上(包括180 cm)，身高分别为181 cm,182 cm,184 cm,187 cm,191 cm；有2名女志愿者身高为180 cm以上(包括180 cm)，身高分别为180 cm,181 cm.抽出的2人用身高表示，则有(181,180)，(181,181)，(182,180)，(182,181)，(184,180)，(184,181)，(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共10种情况，身高相差5 cm以上的有(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共4种情况，故这2人身高相差5 cm以上的概率为.思维升华概率统计解答题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，因此在复习该部分时，要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了解树苗生长情况，从这批树苗中随机测量了50棵树苗的高度(单位：厘米)把这些高度列成了如下的频数分布表：组别40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100)频数231415124(1)在这批树苗中任取一棵，其高度在85厘米以上的概率大约是多少？(2)这批树苗的平均高度大约是多少？(计算时可以用组中值代替各组数据的平均值)(3)为了进一步获得研究资料，现从40,50)组中移出一棵树苗，从90,100组中移出两颗树苗进行试验研究，则40,50)组中的树苗a和90,100组中的树苗c同时被移出的概率是多少？解(1)由已知，得高度在85厘米以上的树苗大约有6410棵，则所求的概率大约为0.2.(2)树苗的平均高度73.8(厘米)(3)依题意，记40,50)组中的树苗分别为a、b，90,100组中的树苗分别为c、d、e、f，则所有的基本事件为acd、ace、acf、ade、adf、aef、bcd、bce、bcf、bde、bdf、bef，共12个，满足a、c同时被移出的基本事件为acd、ace、acf，共3个，所以树苗a和树苗c同时被移出的概率p0.25.题型三概率与统计案例的综合应用例3为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日温差x/101113128发芽数y/颗2325302616(1)从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率；(2)从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另3天的数据，求出y关于x的线性回归方程x；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？思维启迪列举基本事件时，要按照一定的顺序，才能不重不漏；根据公式求出线性回归方程后可计算|y|判断是否可靠解(1)所有的基本事件为(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共10个设“m，n均不小于25”为事件a，则事件a包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)，共3个所以p(a).(2)由数据得，另3天的平均数12，27,3 972，32432，iyi977，434，所以，27123，所以y关于x的线性回归方程为x3.(3)依题意得，当x10时，22，|2223|2；当x8时，17，|1716|7.879.有99.5%的把握认为喜欢看“快乐大本营”与性别有关(3)从喜欢看的10位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有n53230个，用m表示“b1，c1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“b1，c1全被选中”这一事件，由于由(a1，b1，c1)，(a2，b1，c1)，(a3，b1，c1)，(a4，b1，c1)，(a5，b1，c1)5个基本事件组成，所以p().由对立事件的概率公式得p(m)1p()1.1现有编号分别为1,2,3,4,5的五道不同的政治题和编号分别为6,7,8,9的四道不同的历史题甲同学从这九道题中一次性随机抽取两道题，每道题被抽到的概率是相等的，用符号(x，y)表示事件“抽到的两道题的编号分别为x、y，且xy”(1)问有多少个基本事件，并列举出来；(2)求甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率解(1)共有36个等可能的基本事件，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)(2)记“甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11”为事件a.则事件a为“x，y1,2,3,4,5,6,7,8,9，且xy11,17)，其中xy”，由(1)可知事件a共包含15个基本事件，列举如下：(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，共15个，所以p(a).即甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率为.2(2012福建)在等差数列an和等比数列bn中，a1b11，b48，an的前10项和s1055.(1)求an和bn；(2)现分别从an和bn的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率解(1)设数列an的公差为d，数列bn的公比为q.依题意得s1010d55，b4q38，解得d1，q2，所以ann，bn2n1.(2)分别从an和bn的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)故所求的概率p.3以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示(1)如果x8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果x9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植数总棵数为19的概率(注：方差：s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中为x1，x2，xn的平均数)解(1)当x8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8,8,9,10.所以平均数为；方差为s2(8)2(8)2(9)2(10)2.(2)记甲组四名同学为a1、a2、a3、a4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为b1、b2、b3、b4，他们植树的棵数依次为9、8、9、10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(a3，b4)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a4，b3)，(a4，b4)用c表示“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则c中的结果有4个，它们是(a1，b4)，(a2，b4)，(a3，b2)，(a4，b2)，故所求概率为p(c).4(2013课标全国)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品以x(单位： t,100x150)表示下一个销售季度内的市场需求量，t(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将t表示为x的函数；(2)根据直方图估计利润t不少于57 000元的概率解(1)当x100,130)时，t500x300(130x)800x39 000.当x130,150时，t50013065 000.所以t(2)由(1)知利润t不少于57 000元当且仅当120x150.由直方图知需求量x120,150的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润t不少于57 000元的概率的估计值为0.7.5某校高三某班的一次数学周练成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求分数在50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中80,90)间的矩形的高；(3)若要从分数在80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在90,100之间的概率解(1)分数在50,60)的频率为0.008100.08，由茎叶图知：分数在50,60)之间的频数为2，所以全班人数为25.(2)分数在80,90)之间的频数为25271024；频率分布直方图中80,90