【最高考】高考数学二轮专题突破课堂讲义 第6讲 导数及其应用.doc

第6讲导数及其应用 1. 了解导数的实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点处的导数定义和导数几何意义，理解导函数的概念2. 熟记导数的基本公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，会求某些简单函数的导数. 3. 理解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值时的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，能用导数解决一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值等1. 已知m为实数，函数f(x)x2(xm)，若f(1)1，则f(x)的单调递减区间为_答案：解析： f(x)3x22mx，f(1)32m1，m2， f(x)3x24x0，x0.2. 已知某生产厂家的年利润y(万元)与年产量x(万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_万件答案：9解析：yx2810，解得0x9；令导数yx2810，解得x9.所以函数yx381x234在区间(0，9)上是增函数，在区间(9，)上是减函数，所以在x9处取极大值，也是最大值3. 若函数f(x)2x2lnx在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是_答案：解析：因为f(x)的定义域为(0，)，f(x)4x，由f(x)0，得x.据题意得解得1k.4. 若曲线f(x)ax2lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_. 答案：a0解析：由题意知该函数的定义域为(0，)，由f(x)2ax.因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为在x0范围内，导函数f(x)2ax存在零点等价于方程2ax0在(0，)内有解，显然可得a(，0)题型一 利用导数求曲线的切线方程例1 (2013浙江卷)已知ar，函数f(x)2x33(a1)x26ax.(1) 若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2) 若|a|1，求f(x)在闭区间0，|2a|上的最小值解：(1) 当a1时，f(x)2x36x26x， f(2)1624124. f(x)6x212x6， f(2)242466， yf(x)在(2，f(2)处的切线方程为y46(x2)6xy80.(2) f(x)6x26(a1)x6a6x2(a1)xa6(x1)(xa)， 当a1时，x(，1a，)时，yf(x)递增，x(1，a)时，yf(x)递减， 当x0，2|a|时，且2|a|2，x0，1a，2|a|时，yf(x)递增，x(1，a)时，yf(x)递减， 最小值是f(a)2a33(a1)a26a23a2a3；再比较f(0)0与f(a)的大小， 当a3时，f(x)min3a2a3，当1a3时，f(x)min0. 当a2，在x0，2|a|时，x(0，1)时，yf(x)递减，x1，2|a|时，yf(x)递增， 最小值是f(1)3a1.综上所述：f(x)在0，|2a|上的最小值g(a)已知函数f(x)ax3x2ax，其中ar，xr.(1) 当a1时，求函数f(x)在x1处的切线方程；(2) 若函数f(x)在区间(1，2)上不是单调函数，试求a的取值范围；(3) 已知b1，如果存在a(，1，使得函数h(x)f(x)f(x)(x1，b)在x1处取得最小值，试求b的最大值解：(1) 当a1时，f(x)x3x2x，则f(x)3x22x1，故kf(1)4.又切点为(1，1)，故所求切线方程为y14(x1)，即4xy30.(2) 由题意知，f(x)3ax22xa在区间(1，2)上有不重复的零点，由f(x)3ax22xa0，得(3x21)a2x.因为3x210，所以a.令y，则y0，故y在区间(1，2)上是增函数，所以其值域为，从而a的取值范围是.(3) h(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(2a)xa，由题意知h(x)h(1)对x1，b恒成立，即ax3(3a1)x2(2a)xa2a1对x1，b恒成立，即(x1)ax2(2a1)x(13a)0对x1，b恒成立当x1时，式显然成立；当x(1，b时，式可化为ax2(2a1)x(13a)0，令(x)ax2(2a1)x(13a)，则其图象是开口向下的抛物线，所以即其等价于.因为在a(，1时有解，所以1，解得10；当x(1，0)时，f(x)0.故f(x)在(，1)，(0，)上单调递增，在(1，0)上单调递减(2) f(x)x(ex1ax)，令g(x)ex1ax，g(x)exa.若a1，则当x(0，)时，g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)0，从而当x0时，g(x)0，即f(x)0.若a1，则当x(0，ln a)时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x(0，ln a)时，g(x)0，即f(x)0，br，函数f(x)x3ax，g(x)x2bx，f(x)、g(x)是f(x)、g(x)的导函数若f(x)g(x)0在区间1，)上恒成立(1) 求实数b的取值范围；(2) 当b取最小值时，讨论函数h(x)f(x)g(x)在1，)上的单调性解：(1) f(x)x3ax，g(x)x2bx， f(x)3x2a，g(x)2xb.x1，)，f(x)g(x)0，即x1，)，(3x2a)(2xb)0. a0， 3x2a0， x1，)，2xb0，即x1，)，b2x， b2，故所求实数b的取值范围是2，)(2) b的最小值为2，h(x)x3x2ax2x，h(x)3x22xa23a.当a时，h(x)3x22xa20对x1，)恒成立，h(x)在1，)上单调递增；当0a时，由h(x)3x22xa20，得x1， h(x)在1，上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增题型三 利用导数解应用题例3 某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件： 报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加； 报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%； 报销的医疗费用不得超过8万元(1) 请你分析该单位能否采用函数模型y0.05(x24x8)作为报销方案；(2) 若该单位决定采用函数模型yx2lnxa(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值(参考数据：ln20.69，ln102.3)解：(1) 函数y0.05(x24x8)在2，10上是增函数，满足条件；当x10时，y有最大值7.4万元，小于8万元，满足条件；但当x3时，y0得x0且x1)(1) 若函数f(x)在(1，)上为减函数，求实数a的最小值；(2) 若x1、x2e，e2，使f(x1)f(x2)a成立，求实数a的取值范围解：(1) 因为f(x)在(1，)上为减函数，故f(x)a0在(1，)上恒成立，所以当x(1，)时，f(x)max0. 又f(x)a2a2a, 故当，即xe2时，f(x)maxa.所以a0，于是a，故a的最小值为 (2) (解法1)命题“若x1、x2e，e2，使f(x1)f(x2)a成立”等价于“当xe，e2时，有f(x)minf(x)maxa”由(1)，当xe，e2时，f(x)maxa， f(x)maxa.问题等价于“当xe，e2时，有f(x)min” 当a时，由(1)，f(x)在e，e2上为减函数， 则f(x)minf(e2)ae2，故a. 当a，不合题意(ii) 若a0，即0a，由f(x)的单调性和值域知，唯一x0(e，e2)，使f(x0)0，且满足： 当x(e，x0)时，f(x)0，f(x)为增函数； 所以，f(x)minf(x0)ax0，x0(e，e2). 所以，a，与0a矛盾，不合题意综上，得a .(解法2)命题“若x1、x2e，e2，使f(x1)f(x2)a成立”等价于“x1e，e2，使f(x1)f(x)maxa”由(1)，当xe，e2时，f(x)maxa，于是f(x)maxa.故x1e，e2，使f(x1)ax1，即x1e，e2，使a. 所以当xe，e2时，amin. 记g(x)，xe，e2，则g(x). 因为xe，e2，故4x4e，4e2，(lnx)21，4，于是g(x)0，a1)(1) 求函数f(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2) 求函数f(x)的单调区间；(3) 若存在x1，x21，1，使得|f(x1)f(x2)|e1(e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围解：(1) 因为函数f(x)axx2xlna(a0，a1), 所以f(x)axlna2xlna，f(0)0.因为f(0)1，所以函数f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2) 由(1)，f(x)axlna2xlna2x(ax1)lna. 因为当a0，a1时，总有f(x)在r上是增函数， 又f(0)0，所以不等式f(x)0的解集为(0，)，故函数f(x)的单调增区间为(0，)(3) 因为存在x1、x21，1，使得|f(x1)f(x2)|e1成立， 而当x1，1时，|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min, 所以只要f(x)maxf(x)mine1即可因为x，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)极小值所以f(x)在1，0上是减函数，在0，1上是增函数，所以当x1，1时，f(x)的最小值f(x)minf(0)1，f(x)的最大值f(x)max为f(1)和f(1)中的最大值. 因为f(1)f(1)(a1lna)a2lna, 令g(a)a2lna(a0)，因为g(a)120, 所以g(a)a2lna在a(0，)上是增函数. 而g(1)0，故当a1时，g(a)0，即f(1)f(1); 当0a1时，g(a)0，即f(1)1时，f(1)f(0)e1，即alnae1，函数yalna在a(1，)上是增函数，解得ae；当0a1时，f(1)f(0)e1，即lnae1，函数ylna在a(0，1)上是减函数，解得01，所以00，f(x)lnx12ax，由于f(x)有两个极值点，则f(x)0有两个不等的正根，即函数ylnx1与y2ax(x0)的图象有两个不同的交点，则a0；设函数ylnx1图象上任一点(x0，1lnx0)处的切线为l，则k，当l过坐标原点时，x01，令2a1得a，结合图形可知0a.5. (2014北京卷)已知函数f(x)xcosxsinx，x.(1) 求证：f(x)0；(2) 若a0时，“a”等价于“sinxax0”“b”等价于“sinxbx0”令g(x)sinxcx，则g(x)cosxc，当c0时，g(x)0对任意x恒成立当c1时，因为对任意x，g(x)cosxc0，所以g(x)在区间上单调递减从而g(x)g(0)0对任意x恒成立当0cg(0)0.进一步，“g(x)0对任意x恒成立”当且仅当g1c0，即0c.综上所述，当且仅当c时，g(x)0对任意x恒成立；当且仅当c1时，g(x)0对任意x恒成立所以，若a0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值 当a0时，令f(x)0，得exa，xlna.x(，lna)，f(x)0.所以f(x)在(，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增，故f(x)在xlna处取得极小值，且极小值为f(lna)lna，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xlna处取得极小值lna，无极大值(3) (解法1)当a1时，f(x)x1，令g(x)f(x)(kx1)(1k)x，则“直线l：ykx1与曲线yf(x)没有公共点”等价于“方程g(x)0在r上没有实数解”假设k1，此时g(0)10，g10，知方程g(x)0在r上没有实数解所以k的最大值为1.(解法2) 当a1时，f(x)x1.“直线l：ykx1与曲线yf(x)没有公共点”等价于“关于x的方程kx1x1在r上没有实数解”，即“关于x的方程(k1)x(*)在r上没有实数解” 当k1时，方程(*)可化为0，在r上没有实数解； 当k1时，方程(*)化为xex.令g(x)xex，则有g(x)(1x)ex.令g(x)0，得x1，当x变化时，g(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，)g(x)0g(x)当x1时，g(x)min，同时当x趋于时，g(x)趋于，从而g(x)的取值范围为.所以当时，方程(*)无实数解，解得k的取值范围是(1e，1)综上，得k的最大值为1.(本题模拟高考评分标准，满分16分)(2013宿迁、徐州三模)已知函数f(x)lnxax2x，ar.(1) 若函数yf(x)在其定义域内是单调增函数，求a的取值范围；(2) 设函数yf(x)的图象被点p(2，f(2)分成的两部分为c1、c2(点p除外)，该函数图象在点p处的切线为l，且c1、c2分别完全位于直线l的两侧，试求所有满足条件的a的值解：(1) f(x)2ax1(x0)，(2分)只需要2ax2x10，即2a，所以a.(4分)(2) 因为f(x)2ax1，所以切线l的方程为y(x2)ln24a2.令g(x)lnxax2x(4a)(x2)ln24a2，则g(2)0.g(x)2ax4a.(6分)若a0，则g(x)，当x(0，2)时，g(x)0；当x(2，)时，g(x)g(2)0；当x(0，2)时，g(x)g(2)0，符合题意；(10分)若a，当x时，g(x)g(2)0，当x(2，)时，g(x)0，g(x)g(2)0，不合题意；(12分)若a0，当x时，g(x)0，g(x)0，g(x)0，当x(0，2)时，g(x)0，g(x)g(2)0，当x(2，)时，g(x)0，g(x)g(2)0，不合题意故只有a符合题意(16分)1. 函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_答案：(1，11)解析： f(x)3x230x333(x11)(x1)，由(x11)(x1)0得单调减区间为(1，11)亦可填写闭区间或半开半闭区间2. 已知函数f(x)ax3bx2x3，其中a、br，a0.(1) 当a、b满足什么条件时，f(x)取得极值？(2) 已知a0，且f(x)在区间(0，1上单调递增，试用a表示出b的取值范围解： (1)由已知得f(x)ax22bx1，令f(x)0，得ax22bx10，f(x)要取得极值，方程ax22bx10必须有两个不同解，所以4b24a0，即b2a, 此时方程ax22bx10的根为x1，x2，所以f(x)a(xx1)(xx2)当a0时，x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在x1、x2处分别取得极大值和极小