【步步高】高考数学第一轮大复习（基础+思想典型题+题组专练）9.7 抛物线文档专练 文 新人教A版(1).DOCVIP

9.7抛物线1.抛物线的概念平面内与一个定点f和一条定直线l(fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点f叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px (p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点f到准线l的距离图形顶点o(0,0)对称轴y0x0焦点ffff离心率e1准线方程xxyy范围x0，yrx0，yry0，xry0，xr开口方向向右向左向上向下1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)ab为抛物线y22px(p0)的过焦点f(，0)的弦，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|ab|x1x2p.()2.设抛物线y28x的准线与x轴交于点q，若过点q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()a.b.2,2c.1,1d.4,4答案c解析q(2,0)，设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1.3.(2012四川)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点o，并且经过点m(2，y0).若点m到该抛物线焦点的距离为3，则|om|等于()a.2b.2c.4d.2答案b解析由题意设抛物线方程为y22px(p0)，则m到焦点的距离为xm23，p2，y24x.y428，|om|2.4.动圆过点(1,0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_.答案y24x解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.5.若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为_.答案4解析因为椭圆1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y22px的焦点为(2,0)，则p4.题型一抛物线的定义及应用例1已知抛物线y22x的焦点是f，点p是抛物线上的动点，又有点a(3,2)，求|pa|pf|的最小值，并求出取最小值时点p的坐标.思维启迪由定义知，抛物线上点p到焦点f的距离等于点p到准线l的距离d，求|pa|pf|的问题可转化为求|pa|d的问题.解将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，a在抛物线内部，如图.设抛物线上点p到准线l：x的距离为d，由定义知|pa|pf|pa|d，当pal时，|pa|d最小，最小值为，即|pa|pf|的最小值为，此时p点纵坐标为2，代入y22x，得x2，点p的坐标为(2,2).思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.已知点p是抛物线y22x上的一个动点，则点p到点(0,2)的距离与点p到该抛物线准线的距离之和的最小值为()a.b.3c.d.答案a解析抛物线y22x的焦点为f(，0)，准线是l，由抛物线的定义知点p到焦点f的距离等于它到准线l的距离，因此要求点p到点(0,2)的距离与点p到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点p到点(0,2)的距离与点p到焦点f的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点f到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于 ，选a.题型二抛物线的标准方程和几何性质例2抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2y29相交，公共弦mn的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程.思维启迪首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数.解由题意，得抛物线方程为x22ay (a0).设公共弦mn交y轴于a，n在y轴右侧，则|ma|an|，而|an|.|on|3，|oa|2，n(，2).n点在抛物线上，52a(2)，即2a，故抛物线的方程为x2y或x2y.抛物线x2y的焦点坐标为，准线方程为y.抛物线x2y的焦点坐标为，准线方程为y.思维升华(1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(1)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点f，且和y轴交于点a.若oaf(o为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()a.y24xb.y28xc.y24xd.y28x(2)(2013江西)已知点a(2,0)，抛物线c：x24y的焦点为f，射线fa与抛物线c相交于点m，与其准线相交于点n，则|fm|mn|等于()a.2 b.12 c.1 d.13答案(1)b(2)c解析(1)直线方程为y2(x)，令x0，得y，故有4|，a8，y28x.(2)由抛物线定义知m到f的距离等于m到准线l的距离mh.即|fm|mn|mh|mn|fo|af|1.题型三抛物线焦点弦的性质例3设抛物线y22px(p0)的焦点为f，经过点f的直线交抛物线于a、b两点，点c在抛物线的准线上，且bcx轴.证明：直线ac经过原点o.思维启迪证直线ac经过原点o，即证o、a、c三点共线，为此只需证kockoa.本题也 可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决.证明方法一设ab：xmy，代入y22px，得y22pmyp20.由根与系数的关系，得yaybp2，即yb.bcx轴，且c在准线x上，c(，yb).则kockoa.直线ac经过原点o.方法二如图，记准线l与x轴的交点为e，过a作adl，垂足为d.则adefbc.连接ac交ef于点n，则，.|af|ad|，|bf|bc|，|en|nf|，即n是ef的中点，从而点n与点o重合，故直线ac经过原点o.思维升华本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力.在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到yaybp2这个重要结论.还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何题目. 已知抛物线y22px(p0)的焦点为f，a(x1，y1)、b(x2，y2)是过f的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2；(2)为定值；(3)以ab为直径的圆与抛物线的准线相切.证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0).由题意可设直线方程为xmy，代入y22px，得y22p(my)，即y22pmyp20.(*)则y1、y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.因为y2px1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.(2).因为x1x2，x1x2|ab|p，代入上式，得(定值).(3)设ab的中点为m(x0，y0)，分别过a、b作准线的垂线，垂足为c、d，过m作准线的垂线，垂足为n，则|mn|(|ac|bd|)(|af|bf|)|ab|.所以以ab为直径的圆与抛物线的准线相切.题型四直线与抛物线的位置关系例4已知抛物线c：ymx2(m0)，焦点为f，直线2xy20交抛物线c于a，b两点，p是线段ab的中点，过p作x轴的垂线交抛物线c于点q.(1)求抛物线c的焦点坐标.(2)若抛物线c上有一点r(xr,2)到焦点f的距离为3，求此时m的值.(3)是否存在实数m，使abq是以q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.思维启迪抛物线上的点到抛物线的焦点距离，往往转化为该点到准线的距离.解(1)抛物线c：x2y，它的焦点f(0，).(2)|rf|yr，23，得m.(3)存在，联立方程消去y得mx22x20，依题意，有(2)24m(2)0m.设a(x1，mx)，b(x2，mx)，则(*)p是线段ab的中点，p(，)，即p(，yp)，q(，).得(x1，mx)，(x2，mx)，若存在实数m，使abq是以q为直角顶点的直角三角形，则0，即(x1)(x2)(mx)(mx)0，结合(*)化简得40，即2m23m20，m2或m，而2(，)，(，).存在实数m2，使abq是以q为直角顶点的直角三角形.思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|ab|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.已知一条曲线c在y轴右边，c上每一点到点f(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线c的方程；(2)是否存在正数m，对于过点m(m,0)且与曲线c有两个交点a，b的任一直线，都有0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.解(1)设p(x，y)是曲线c上任意一点，那么点p(x，y)满足：x1(x0).化简得y24x(x0).(2)设过点m(m,0)(m0)的直线l与曲线c的交点为a(x1，y1)，b(x2，y2).设l的方程为xtym，由得y24ty4m0，16(t2m)0，于是又(x11，y1)，(x21，y2)，0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y20.又x，于是不等式等价于y1y210y1y210.由式，不等式等价于m26m14t2.对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于m26m10，即32m32.由此可知，存在正数m，对于过点m(m,0)且与曲线c有两个交点a，b的任一直线，都有0，且m的取值范围是(32，32).直线与圆锥曲线问题的求解策略典例：(12分)设抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，直线l过f且与抛物线c交于m，n两点，已知当直线l与x轴垂直时，omn的面积为2(o为坐标原点).(1)求抛物线c的方程；(2)是否存在直线l，使得以mn为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y 轴上，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 思维启迪(1)求mn的长，由面积得p的值；(2)问题的几何条件是：线段mn的中垂线与y轴的交点和m，n构成等腰直角三角形，因此依次待定直线，表示中点，得中垂线与y轴交点，利用直角边垂直关系列式求解.规范解答解(1)当直线l与x轴垂直时，则|mn|2p，somn2p2，即p2.抛物线c的方程为y24x.3分(2)直线l与x轴垂直时，不满足.设正方形的第三个顶点为p.故可设直线l：yk(x1)(k0)，m(x1，y1)，n(x2，y2)，p(0，y0)，联立可化简得k2x2(2k24)xk20，则代入直线l可得mn的中点为(，)，则线段mn的垂直平分线为y(x1)，故p(0，).8分又0，则x1x2(y1y0)(y2y0)0.即x1x2y1y2y0(y1y2)y0.14y0y0，化解得ky4y03k0，由y0代入上式，化简得(3k44)(k21)0.解得k .存在直线l：y (x1).12分解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出0时参数范 围(或指出直线过曲线内一点)第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1x2(或y1y2， y1y2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.温馨提醒本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力；(1)题比较基础，易于掌握；(2)题的基本点是设而不求，难点是如何把几何条件转化为代数方程，重点考查解题思想与方法，其中我们要习惯于把垂直关系转化为向量的数量积为零.方法与技巧1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分yax2与y22px (p0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0).2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y22px (p0)的焦点的直线与抛物线交于a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：(1)y1y2p2，x1x2；(2)若直线ab的倾斜角为，则|ab|；(3)若f为抛物线焦点，则有.失误与防范1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程.2.注意应用抛物线的定义解决问题.a组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.抛物线yx2的焦点坐标是()a.(0，)b.(，0)c.(0，)d.(，0)答案c解析把原方程先化为标准方程x22y，则2p2，即焦点坐标为(0，)，故选c.2.(2013四川)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()a.b.c.1d.答案b解析抛物线y24x的焦点f(1,0)，双曲线x21的渐近线是yx，即xy0，所求距离为.选b.3.已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a、b两点，若线段ab的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()a.x1b.x1c.x2d.x2答案b解析y22px的焦点坐标为(，0)，过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，将其代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y22p，p2，抛物线的方程为y24x，其准线方程为x1.4.已知抛物线y22px(p0)的焦点弦ab的两端点坐标分别为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则的值一定等于()a.4b.4c.p2d.p2答案a解析若焦点弦abx轴，则x1x2，则x1x2；若焦点弦ab不垂直于x轴，可设ab：yk(x)，联立y22px得k2x2(k2p2p)x0，则x1x2.则y1y2p2.故4.5.如图，抛物线c1：y22px和圆c2：(x)2y2，其中p0，直线l经过c1的焦点，依次交c1，c2于a，b，c，d四点，则的值为()a.p2b.c. d.答案b解析设抛物线的焦点为f，a(x1，y1)，d(x2，y2)，则|ab|af|bf|x1x1，同理|cd|x2.又|ab|cd|x1x2.二、填空题6.若点p到直线y1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点p的轨迹方程是_.答案x212y解析由题意可知点p到直线y3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点p的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y3为准线的抛物线，且p6，所以其标准方程为x212y.7.已知过抛物线y24x的焦点f的直线交该抛物线于a、b两点，|af|2，则|bf|_.答案2解析设a(x0，y0)，由抛物线定义知x012，x01，则直线abx轴，|bf|af|2.8.已知抛物线c：y22px(p0)的准线为l，过m(1,0)且斜率为的直线与l相交于点a，与c的一个交点为b，若am，则p_.答案2解析如图，由ab的斜率为，知60，又am，m为ab的中点.过点b作bp垂直准线l于点p，则abp60，bap30.m为焦点，即1，p2.三、解答题9.如图，已知抛物线y22px (p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原 点，两直角边oa与ob的长分别为1和8，求抛物线的方程. 解设直线oa的方程为ykx，k0，则直线ob的方程为yx，由得x0或x.a点坐标为，同理得b点坐标为(2pk2，2pk)，由|oa|1，|ob|8，可得解方程组得k664，即k24.则p2.又p0，则p，故所求抛物线方程为y2x.10.(2013福建)如图，抛物线e：y24x的焦点为f，准线l与x轴的交点为a.点c在抛物线e上，以c为圆心，|co|为半径作圆，设圆c与准线l交于不同的两点m，n.(1)若点c的纵坐标为2，求|mn|；(2)若|af|2|am|an|，求圆c的半径.解(1)抛物线y24x的准线l的方程为x1.由点c的纵坐标为2，得点c的坐标为(1,2)，所以点c到准线l的距离d2，又|co|，所以|mn|222.(2)设c(，y0)，则圆c的方程为(x)2(yy0)2y，即x2xy22y0y0.由x1，得y22y0y10，设m(1，y1)，n(1，y2)，则由|af|2|am|an|，得|y1y2|4，所以14，解得y0，此时0.所以圆心c的坐标为(，)或(，)，从而|co|2，|co|，即圆c的半径为.b组专项能力提升(时间：30分钟)1.设f为抛物线y24x的焦点，a，b，c为该抛物线上三点，若0，则|等于()a.9b.6c.4d.3答案b解析设a(x1，y1)、b(x2，y2)、c(x3，y3)，又f(1,0).由0知(x11)(x21)(x31)0， 即x1x2x33，|x1x2x3p6.2.已知抛物线c：y24x的焦点为f，准线为l，过抛物线c上的点a作准线l的垂线，垂足为m，若amf与aof(其中o为坐标原点)的面积之比为31，则点a的坐标为()a.(2,2)b.(2，2)c.(2，)d.(2，2)答案d解析如图所示，由题意，可得|of|1，由抛物线的定义，得|af|am|，amf与aof(其中o为坐标原点)的面积之比为31，3，|af|am|3，设a，13，解得y02.2，点a的坐标是(2，2).3.(2012安徽)过抛物线y24x的焦点f的直线交该抛物线于a，b两点，o为坐标原点.若|af|3，则aob的面积为()a.b.c.d.2答案c解析如图所示