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向 量 中 一 种 模 型 的 应 用四川省营山县小桥中学 陈代琼 摘 要：高考是一种与速度赛跑的比赛。在高考中，它除了考查我们的常规知识、常规方法与常规思想外，还需要我们去总结一些结论，来加快我们的解题速度。而这就需要我们平时多去探索与研究，不要就题解题，应从题中看到类型，举一反三，从而上升为结论。本文就是以一道高考题为例，进行研究分析。 关键词：向量 模型 分比 已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（该直线不过点），则等于（）100101200201 为了解决上述问题，我们得先提出以下两个结论：定理1 三个共起点非零向量的终点共线的充要条件是存在两个实数使得，其中。若我们按照定比分点的定义形式来体现三点共线时，即，叫做点分有向线段所成的比,便有。特别地，当为的中点时，便有。定理2 三个共起点非零向量，其中一个向量平行另外两个向量终点的连线的充要条件是存在两个实数使得，其中。下面就以上两个结论的具体应用举例如下：应用一、模型的直接应用例1 如下图，在中，点是的中点，过点的直线分别交、于不同的两点、，若，则_。分析：利用一个向量用同一基底的两种方式表示时，有唯一性，便可以得到方程，从而解决问题。解法一：设=+=+=+又点为的中点，从而有：由唯一性知：。解法二：因为点为的中点，从而有：又 ，从而，因为点、三点共线，由我们的定理知：，。下面再看到这么一道题：例2 如图，在中，为其重心，过分别交于、交于，试求的值。分析：在这就不介绍常规解法了，直接利用我们的定理1进行解答。解：因为点为的中点，从而有：，因为为的重心，从而有，又，从而得到：，因为点、三点共线，有，即。应用二：求点分线段的比例3 如图，在中，为的中点，在边上，且，与相交于点，求的值。解法一：设， 因为，又，由唯一性知：， 即 ，故解法二：设，因为点为的中点，从而有：，由题设知：，因为点、三点共线，所以有：，即 ，故同类拓展：例4 如右图，在中，与相交于点，求的值。应用三、在求面积之比上的应用例5 已知点在内部，且满足，则为_。此题：应用我们的结论就非常的快速了，下面看具体操作：由得：，而在线段上必存在点，使、三点共线，那么必有，由定理1知：此时点分有向线段所成的比为，即，同理由得：，故在线段必存在点，使、三点共线，那么必有，由定理1知：此时点分有向线段所成的比为3，即;再次由得：，故在线段上必存在点，使、三点共线，且必有，由定理1知：点分有向线段所成的比为2，即。从而故。若读者有兴趣，可得到更一般的结论：若点在内，且，则应用四：与其它知识综合首先看到我们开头给出的题目。这是一道数列知识与该模型的综合题，由结论易知：，从而，故选A例6 点是平面上任一点，已知点在线段上，且有，求的最小值为_。解：由定理1知 ，故此题也是应用向量的结论，与均值不等式进行综合考查。最后再以一个高考题来结束本人的论文：例7 如图，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是_,当时，则的取值范围是_。解析：第小问，易解得，第小问里，我们知道当时，我们可以作出，根据平行四边形法则，过点作的平行线交于、交的延长线于，从而点的轨迹应该在线段上，当点在时，此时，由定理2知此时，即，当点在时，此时点在上，由定理1知此时，即，从而。参考文献：1、高中数学教学实践