自测题一及答案.pdf

概率论 精品课程建设资料 概率论 自测题一 概率论 自测题一 时间 150分钟 卷面分值 100分 一 单项选择题一 单项选择题 每题每题2分 共分 共12分分 1 设A B为任意二事件 与A B B不等价的是 A A B B BA C AB D AB 2 A B为两个随机事件 且P B 0 P A B 1 则必有 A P AB P A B P AB P B C P AB P A D P AB P B 3 设A B C是三个相互独立的随机事件 且0 P C 1 0 P A 0 P A B 1 则必有 C A P AB P A B P AB P B C P AB P A D P AB P B 3 设A B C是三个相互独立的随机事件 且0 P C 1 则下列四对事件中不相互独立的是 B A AB 与C B AC与C C A B与C D AB与C 4 设A B C是三个事件两两相互独立 则A B C三事件相互独立的充要条件是 A A A与BC独立 B AB与AC 独立 C AB与AC独立 D AB 与AC 独立 提示 P ABC P A P BC P A P B P C 5 将一枚硬币独立地掷两次 引进事件A1 掷第一次出现正面 A2 掷第二次出现正面 A3 正 反面各出现一次 A4 正面出现两次 则事件 C A A1 A2 A3相互独立 B A2 A3 A4相互独立 C A1 A2 A3两两相互独立 D A2 A3 A4两两相互独立 提示 P A1 1 2 P A2 1 2 P A3 1 2 P A1A2 1 4 P A1A3 1 4 P A2A3 1 4 6 设 A B 为任意二事件 则 B 正确 A 若AB 则A B一定独立 B 若AB 则A B有可能独立 C 若AB 则A B一定独立 D 若AB 则A B一定不独立 二 填空题二 填空题 每题每题2分 共分 共12分分 1 设A B是两个随机事件 则P AB AB A B A B 0 提示 A B AB B A B A B B 2 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品 任意抽取两次 每次抽一个 抽出后不再放回 则 第二次抽出的是次品的概率为 解 抓阄与顺序无关 故所求概率为 1 6 3 甲 乙两人独立地对同一目标射击一次 其命中率分别为 0 6 和 0 5 现已知目标被命中 则它是甲射中的概率为 解 A 甲命中目标 B 乙命中目标 则 目标被命中 A B 由 A B 的独立性知 0 8P ABP AP BP ABP Ap BP A P B 故所求概率为 0 P A P A AB P AB 75 4 在区间 0 1 上随机地取两个数 两数之和小于 6 5 的概率为 解 设用 X Y 分别表示随机抽取的两个数 则 0 X 1 0 Y 1 于是 X Y 取值的样本空间是以边长为 1 的正方形区域 而事件 A y 1 6 5 6 516 5 x y 6 5 A x O 所对应的图形部分如图所示 自测题一及参考答案 2013 9 3 9 概率论 精品课程建设资料 17 25 P A 5 设P A 0 5 P C A 0 3 则P A A C 1 P C A C 0 6 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 1 9 A 发生 B 不发生的概率与 B 发 生 A 不发生的概率相等 则 P A 解 由题意 1 9 P ABP ABP AB 由于 A B A B相互独立 因此有 P A P B 11 93 P AP BP A P BP A 所以P A 2 3 三三 判断题判断题 每题每题2分 共分 共12分分 1 设事件 A B 相互独立 且有则 A B 一定不是互斥的 0 0 P AP B 2 设事件 A 有则 A 是一不可能事件 0 P A 3 一电路由两只开关 A B 并联而成 设 A B 工作独立 A B 闭合的概率分别 0 5 0 4 则电路为通路的概率为 0 9 4 有 10 根签 其中只有一根签是有奖的 5 人依次去抽签 则第 4 人抽到有奖的签的概率 为 0 1 5 设 P A 0 6 P B 0 6 则事件 A 与 B 互斥 6 设 P A 0 6 P B 0 6 则事件 A 与 B 有可能相互独立 四 计算题四 计算题 共共 32 分分 1 3 分 设有 A B C 三个事件 已知 A 与 C 互斥 B 与 C 相互独立 且有 1 12 1 3 1 4 0 P AP BP CP AB 求 P ABC 解 P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABC 00P AP BP CP AP ABP B P C 1 2 2 4 分 某保险公司研究其汽车投保人的资源后 得到以下信息 1 所有的投保人至少上了一辆车的保险 2 70 的投保人上了多于一辆车的保险 3 20 的投保人上了一辆跑车的保险 4 上了多于一辆车的保险的投保人中有 15 上了一辆跑车的保险 那么 对于随机地选取 的一个投保人 求他恰投保了一辆车 而此车又不是跑车的概率 解 令 E 投保人上了多于一辆车的保险 F 投保人上了一辆跑车的保险 由假定可知于是所求的概率为 15 0 EFP 1 1 P EFP FP FEP FP F E P E 205 0595 08 07 0 15 01 2 01 自测题一及参考答案 2013 9 4 9 概率论 精品课程建设资料 3 4 分 某个保险公司有 10000 个投保人 他们可用下面的方法分类 1 年轻或年长 2 男性或女性 3 已婚或未婚 在这些投保人中 有 3000 个年轻人 4600 个男性 7000 人已婚 他们也可分类为有 1320 个男性年轻人 3010 个已婚男性 1400 个 已婚年轻人 最后 投保人中有 600 个年轻的已婚男性 求在投保人中年轻的未婚女性人数 解 令事件 Y M C 分别表示投保人是年轻人 是男性 是已婚的 由假定有 7 0 46 0 3 0 CPMPYP 301 0 13 0 MCPYMP 06 0 14 0 YCMPYCP 那么 在投保人中年轻的未婚女性的比例为 YCYMPYPCMYPCMYP YCPYMPYMCPYP 088 014 0132 006 03 0 因为保险公司有 10000 个投保人 故而其中年轻的未婚女性的人数为 880 4 6 分 在数集 1 2 100 中随机地取一个数 已知取到的数不能被 2 整除 求它能 被 3 或 5 整除的概率 解 以分别表示取到的数能被 2 3 5 整除 所求概率为 532 AAA 352 2 35 2 P AA A pP AAA P A 2 325352 2 P A AP A AP A A A P A 而 2 3332 32 A A P A AP AP A A 表示事件 能被 6 整除 故 100 16 23A AP 于是2 3 331617 100100100 P A A 同样 2 5552 P A AP AP A A 100 10 100 10 100 20 因为表示事件 能被 10 整 除 25A A 2 35 P A A A 25353 AAAPAAP 100 3 100 3 100 6 因表示事件 能被 30 整除 253 AAA 故 17103112 100225 p 5 7 分 一打靶场备有 5 支某种型号的枪 其中 3 支已经校正 2 支未经校正 某人使用已 校正的枪击中目标的概率为 p1 使用未经校正的枪击中目标的概率为 p2 他随机地取一支枪 进行射击 已知他射击了 5 次 都未击中 求他使用的是已校正的枪的概率 设各次射击的 结果相互独立 解 以 M 表示事件 射击 5 次均未击中 以 C 表示事件 取得的枪是已经校正的 则 55 12 32 1 1 55 P CP CP M CpP M Cp 又按题设 由贝叶斯公式 CPCMPCPCMP CPCMP MP MCP MCP 自测题一及参考答案 2013 9 5 9 概率论 精品课程建设资料 5 2 1 5 3 1 5 3 1 21 5 1 ss pp p ss pp 1 2 1 3 21 1 p 1 3 5 6 8 分 将 A B C 三个字母之一输入信道 输出为原字母的概率为 而输出为其他一 字母的概率都是 2 1 今将字母串 AAAA BBBB CCCC 之一输入信道 输入 AAAA BBBB CCCC 的概率分别为 1 321321 pppppp 已知输出为 ABCA 问输入的 是 AAAA 的概率是多少 设信道传输各个字母的工作是相互独立的 解 以 A1 B1 C1分别表示事件 输入 AAAA 输入 BBBB 输入 CCCC 以 D 表 示事件 输出 ABCA 因事件 A1 B1 C1两两互不相容 且有 1 321111111 pppCPBPAPCBAP 因此全概率公式和贝叶斯公式可以使用 由贝叶斯公式有 1 1 DP DAP DAP 312111 11 pCDPpBDPpADP pADP 在输人为 AAAA 即事件 A1 输出为 ABCA 即事件 D 时 有两个字母为原字母 另两 字母为其他字母 所以 22 1 2 1 a ADP 同理 3 11 2 1 CDPBDP 代入并注意到 1 321 ppp 得到 apa ap DAP 1 13 2 1 1 1 五 综合题五 综合题 共共22分分 1 10 分 A B 两人轮流射击 每次每人射击一枪 射击的次序为 A B A B A 射击直至击中两枪为止 设各人击中的概率均为 p 且各次击中与否相互独立 求击中的两 枪是由同一人射击的概率 解 A 总是在奇数轮射击 B 在偶数轮射击 先考虑 A 击中两枪的情况 以 A2n 1表示事 件 A 在第 2n l 轮 n l 2 射击时又一次击中 射击在此时结束 A2n 1发生表示 前 2n 轮 中 A 共射击 n 枪而其中击中一枪 且 A 在第 2n 1 轮时击中第二枪 这一事件记为 C 同 时 B 在前 2n 轮中共射击 n 枪但一枪未击中 这一事件记为 D 因此 12 DPCPCDPAP n 11 1 1 nn n C pppp 1 122 n pnp 注意到 A1 A2 A3 两两互不相容 故由 A 击中了两枪而结束射击 这一事件仍记为 A 的概率为 1 122 1 1212 1 1 n n n nn n pnpAPAPAP 12 1 2 1 1 n n pnpp 222 2 2 1 1 1 1 1 p p p pp 自测题一及参考答案 2013 9 6 9 概率论 精品课程建设资料 此处级数求和用到公式 1 1 2 1 1 1 n n xnx x 这一公式可由等比级数 1 1 1 0 xx x n n 两边求导而得到 若两枪均由 B 击中 以 B2 n 1 表示事件 B 在第 2 n 1 轮 n 1 2 射击时又一次击中 射击在此时结束 B2 n 1 发生表示在前2n l轮中B射击n枪 其中击中一枪 且B在第2 n 1 轮时击中第二枪 同时 A 在前 2n 1 轮中共射击 n 1 枪 但一枪未中 注意到 A4 A5 A6 两两互不相容 故 B 击中了两枪而结束射击 这一事件仍记为 B 的概率为 11 1 1 1 2 1 1 1 nn n nn n ppppCBPBP 2 1 2222 1 1 1 1 n n n pnppppn 1 n 2 2 22 22 2 1 1 1 1 1 p p p pp 因此由一人击中两枪的概率为 2 2 2 2 1 2 1 p p p p BPAPBAP p p 2 1 2 12 分 将 n 只球号 随机地放入 n 个盒子号 中去 一个盒子装一只球 若一 只球装入与球同号的盒子中 称为一个配对 试求 1 至少有一个配对的概率 2 恰有 个配对的概率 n 1 n 1 nrr 解 以记事件 第 i 号球配对 i A1 2 in 以 B 记事件 至少有一个配对 12n BAAA 1 由和事件概率公式 12 n P BP AAA 12 111 1 n n iijijk iij nij k n P AP A AP A A AP A AA n 其中第一个和式共有项 第二个和式共有项 第三个和式共有项 等 等 又可知 1 n 2 n 3 n 1 1 2 n n i P Ain 2 1 n in n ij P A Aj 自测题一及参考答案 2013 9 7 9 概率论 精品课程建设资料 3 1 ijk n P A A Aijkn n 这是因为 例如对于来说 将 n 只球随机地放人 n 个盒子 使每个盒子都只装一 只球 共有种不同放法 而事件发生表示第 i 号球 第 j 号球分 别放入第 i 号 第 j 号盒子 而其他 ij P A A 123 1 nnn jiA A 2 n只球随机地放入除第 i 号 第 j 号盒子外的 2 n 个盒子中去 使每个盒子都只装一只球 知共有 2 n种不同放法 故 1 1 2 2 ij nn P A A nn 于是 1 2 3 123 n n nnn nn P B nn 1 1 1 n n 1 1 4 1 3 1 2 1 1 1 n n 1 1 1 1 k k n k 顺便指出 由上式知 即当 n 很大时 1 lim 10 63 n P Be 0 63P B 2 以 C 记事件 在 n 只球中指定的某 r 只球配对 由 1 知 n rn CP 因此在 C 发生的条件下 其余rn 只球无一配对的条件概率为 1 1 1 1 1 n r k k k 因为由 1 知 n 只球至少有一个配对的概率为 1 1 1 1 n k k k 因此 72 只球无一配对的概率为 1 1 1 1 1 n k k k 以rn 替换 n