【步步高】（四川专用）高三数学大一轮复习讲义 2.7函数的图象 理 新人教A版.doc

2.7函数的图象2014高考会这样考1.考查基本初等函数的图象；2.考查图象的性质及变换；3.考查图象的应用复习备考要这样做1.会画一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数的图象；2.掌握常见的平移、伸缩、对称三种图象变换；3.利用图象解决一些方程解的个数，不等式解集等问题，巩固数形结合思想1 描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象2 图象变换(1)平移变换(2)对称变换yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yax (a0且a1)ylogax(a0且a1)(3)翻折变换yf(x)y|f(x)|.yf(x)yf(|x|)(4)伸缩变换yf(x) yf(ax)yf(x)yaf(x)难点正本疑点清源1 数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热点作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置2 图象的每次变换都针对自变量而言，如从f(2x)的图象到f(2x1)的图象是向右平移个单位其中的x变成x.3 要理解一个函数和图象自身的对称性和两个不同函数图象对称关系的不同1 函数y1的图象是 ()答案b解析将y的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y1的图象2 已知图中的图象对应的函数为yf(x)，则图的图象对应的函数为 ()ayf(|x|) by|f(x)|cyf(|x|) dyf(|x|)答案c解析yf(|x|).3 函数y2xx2的图象大致是 ()答案a解析由于2xx20在x0时有两解，分别为x2和x4.因此函数y2xx2有三个零点，故应排除b、c.又当x时，2x0，而x2，故y2xx2，因此排除d.故选a.4 (2012湖北)已知定义在区间0,2上的函数yf(x)的图象如图所示，则yf(2x)的图象为 ()答案b解析当x1时，yf(1)1，排除a、c.当x2时，yf(0)0，故选b.5 若直线yxb与曲线y3有公共点，则b的取值范围是 ()a. b.c. d.答案c解析由y3，得(x2)2(y3)24(1y3)曲线y3是半圆，如图中实线所示当直线yxb与圆相切时，2.b12.由图可知b12.b的取值范围是.题型一作函数图象例1分别画出下列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)y2x2；(3)yx22|x|1; (4)y.思维启迪：根据一些常见函数的图象，通过平移、对称等变换可以作出函数图象解(1)y图象如图.(2)将y2x的图象向左平移2个单位图象如图.(3)y.图象如图.(4)因y1，先作出y的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y的图象，如图.探究提高(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如yx的函数；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程 作出下列函数的图象：(1)y|x2|(x1)；(2)y10|lg x|.解(1)当x2，即x20时，y(x2)(x1)x2x22；当x2，即x20时，y(x2)(x1)x2x22.y这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)(2)当x1时，lg x0，y10|lg x|10lg xx；当0x1时，lg x0，y10|lg x|10lg x10lg .y这是分段函数，每段函数的图象可根据正比例函数或反比例函数图象作出(如图)题型二识图、辨图例2函数f(x)1log2x与g(x)21x在同一直角坐标系下的图象大致是()思维启迪：在同一坐标系中判断两个函数的图象，可利用两个函数的单调性、对称性或特征点来判断答案c解析f(x)1log2x的图象由函数f(x)log2x的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过(1,1)点，且为单调增函数，显然，a项中单调递增的函数经过点(1,0)，而不是(1,1)，故不满足；函数g(x)21x2x，其图象经过(0,2)点，且为单调减函数，b项中单调递减的函数与y轴的交点坐标为(0,1)，故不满足；d项中两个函数都是单调递增的，故也不满足综上所述，排除a，b，d.故选c.探究提高函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象(1)(2012泰安模拟)函数yxcos x的大致图象是 ()(2)定义在r上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是 ()ayx21by|x|1cydy答案(1)b(2)c解析(1)y1sin x0，函数yxcos x为增函数，排除c.又当x0时，y1，排除a，当x时，y，排除d.选b.(2)f(x)在(2,0)上为减函数，可逐个验证题型三函数图象的应用例3已知函数f(x)|x24x3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合mm|使方程f(x)m有四个不相等的实根思维启迪：利用函数的图象可直观得到函数的单调性，方程解的问题可转化为函数图象交点的问题解f(x)作出函数图象如图(1)函数的增区间为1,2，3，)；函数的减区间为(，1，2,3(2)在同一坐标系中作出yf(x)和ym的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)由图知0m1，mm|0m1探究提高(1)利用图象，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质(2)利用函数图象可以解决一些形如f(x)g(x)的方程解的个数问题 (1)(2011课标全国)已知函数yf(x)的周期为2，当x1,1时f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数y|lg x|的图象的交点共有 ()a10个 b9个c8个 d1个(2)直线y1与曲线yx2|x|a有四个交点，则a的取值范围是_答案(1)a(2)1a解析(1)观察图象可知，共有10个交点(2)y作出图象，如图所示此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a，要使y1与其有四个交点，只需a1a，1a0，ln(x1)x0，即x1且ln(x1)x0，设g(x)ln(x1)x，则g(x)1.由于x10，显然当1x0，当x0时，g(x)0，故函数g(x)在x0处取得极大值，也是最大值，故g(x)g(0)0，当且仅当x0时，g(x)0，故函数f(x)的定义域是(1,0)(0，)，且函数g(x)在(1,0)(0，)上的值域为(，0)，故函数f(x)的值域也是(，0)，且在x0附近函数值无限小，观察各个选项中的函数图象，只有选项b中的图象符合要求策略二(特殊值检验法)当x0时，函数无意义，排除选项d中的图象，当x1时，fe0，排除选项a、c中的图象，故只能是选项b中的图象(注：这里选取特殊值x(1,0)，这个值可以直接排除选项a、c，这种取特值的技巧在解题中很有用处)解后反思(1)确定函数的图象，要从函数的性质出发，利用数形结合的思想(2)对于给出图象的选择题，可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除二、函数图象的变换问题典例：若函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x1)的图象大致为() 考点分析本题考查图象的变换问题，函数图象的变换有平移变换、伸缩变换、对称变换，要理解函数图象变换的实质，每一次变换都针对自变量“x”而言求解策略要想由yf(x)的图象得到yf(x1)的图象，需要先将yf(x)的图象关于x轴对称得到yf(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到yf(x1)的图象，根据上述步骤可知c正确答案c解后反思对图象的变换问题，从f(x)到f(axb)，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别三、图象应用典例：讨论方程|1x|kx的实数根的个数考点分析本题考查绝对值的意义，考查分类讨论思想和数形结合思想求解策略可以利用函数图象确定方程实数根的个数设y|1x|，ykx，则方程的实根的个数就是函数y|1x|的图象与ykx的图象交点的个数由右边图象可知：当1k0时，方程没有实数根；当k0或k1或k1时，方程只有一个实数根；当0k0且a1)为常数，则函数g(x)axb的大致图象是 ()答案b解析由f(x)loga(xb)的图象知0a1,0b1，则g(x)axb为减函数且g(x)的图象是在yax图象的基础上上移b个单位，只有b适合3 (2011陕西)设函数f(x)(xr)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x)，则yf(x)的图象可能是()答案b解析由于f(x)f(x)，所以函数yf(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所以a、c错误；由于f(x2)f(x)，所以t2是函数yf(x)的一个周期，d错误所以选b.4 (2012北京)函数f(x)xx的零点的个数为 ()a0 b1 c2 d3答案b解析将函数零点转化为函数图象的交点问题来求解在同一平面直角坐标系内作出y1x与y2x的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点因此函数f(x)xx只有1个零点二、填空题(每小题5分，共15分)5 已知下列曲线：以及编号为的四个方程：0；|x|y|0；x|y|0；|x|y0.请按曲线a、b、c、d的顺序，依次写出与之对应的方程的编号_答案解析按图象逐个分析，注意x、y的取值范围6. 如图所示，正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12，ab1，m，n分别在ad1，bc上移动，始终保持mn平面dcc1d1，设bnx，mny，则函数yf(x)的图象大致是_答案解析过m作mead于e，连接en.则bnaex，me2x，mn2me2en2，即y24x21，y24x21 (0x1，y1)，图象应是焦点在y轴上的双曲线的一部分7 (2011北京)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_答案(0,1)解析画出分段函数f(x)的图象如图所示，结合图象可以看出，若f(x)k有两个不同的实根，也即函数yf(x)的图象与yk有两个不同的交点，k的取值范围为(0,1)三、解答题(共25分)8 (12分)已知函数f(x).(1)画出f(x)的草图；(2)指出f(x)的单调区间解(1)f(x)1，函数f(x)的图象是由反比例函数y的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示(2)由图象可以看出，函数f(x)有两个单调递增区间：(，1)，(1，)9 (13分)已知函数f(x)的图象与函数h(x)x2的图象关于点a(0,1)对称(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)f(x)，且g(x)在区间(0,2上为减函数，求实数a的取值范围解(1)设f(x)图象上任一点p(x，y)，则点p关于(0,1)点的对称点p(x,2y)在h(x)的图象上，即2yx2，yf(x)x (x0)(2)g(x)f(x)x，g(x)1.g(x)在(0,2上为减函数，10在(0,2上恒成立，即a1x2在(0,2上恒成立，a14，即a3，故a的取值范围是3，)b组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1 (2012厦门模拟)函数f(x)则yf(x1)的图象大致是 ()答案b解析将f(x)的图象向左平移一个单位即得到yf(x1)的图象2 函数yf(x)与函数yg(x)的图象如图则函数yf(x)g(x)的图象可能是 ()答案a解析从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)g(x)是奇函数，排除b项又g(x)在x0处无意义，故f(x)g(x)在x0处无意义，排除c、d两项3 (2011课标全国)函数y的图象与函数y2sin x (2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于 ()a2 b4 c6 d8答案d解析令1xt，则x1t.由2x4，知21t4，所以3t3.又y2sin x2sin (1t)2sin t.在同一坐标系下作出y和y2sin t的图象由图可知两函数图象在3,3上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称因此这8个交点的横坐标的和为0，即t1t2t80.也就是1x11x21x80，因此x1x2x88.二、填空题(每小题4分，共12分)4 (2012课标全国改编)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是_答案解析易知0a2，解得a，a0，二次函数yax2bxa21的图象为下列之一，则a的值为_答案1解析本题考查二次函数的图象与性质，先根据条件对图象进行判断是解题的关键因为b0，所以对称轴不与y轴重合，排除图象；对第三个图象，开口向下，则a0，符合条件，图象显然不符合根据图象可知，函数过原点，故f(0)0，即a210，又a0，故a1.三、解答题(13分)7 已知函数yf(x)的定义域为r，并对一切实数x，都满足f(2x)f(2x)(1)证明：函数yf(x)的图象关于直线x2对称；(2)若f(x)