【步步高】（四川专用）高三数学大一轮复习讲义 6.2等差数列及其前n项和 理 新人教A版.DOCVIP

6.2等差数列及其前n项和2014高考会这样考1.在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证明；2.运用基本量法求解等差数列的基本量问题；3.考查等差数列的性质及综合应用复习备考要这样做1.准确理解概念，掌握等差数列的有关公式和性质；2.注意不同性质的适用条件和注意事项1 等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_d_表示2 等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3 等差中项如果a，那么a叫做a与b的等差中项4 等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d，(n，mn*)(2)若an为等差数列，且klmn，(k，l，m，nn*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mn*)是公差为md的等差数列5 等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和sn或snna1d.6 等差数列的前n项和公式与函数的关系snn2n.数列an是等差数列snan2bn，(a、b为常数)7 等差数列的最值在等差数列an中，a10，d0，则sn存在最_大_值；若a10，则sn存在最_小_值难点正本疑点清源1 等差数列的判断方法(1)定义法：anan1d (n2)；(2)等差中项法：2an1anan2.2 等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为kd.(2)数列sm，s2msm，s3ms2m，也是等差数列(3)s2n1(2n1)an.3 等差数列与函数在d0时，an是关于n的一次函数，一次项系数为d；sn是关于n的二次函数，二次项系数为，且常数项为0.1 (2012江西)设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_.答案35解析两个等差数列的和数列仍为等差数列设两等差数列组成的和数列为cn，由题意知新数列仍为等差数列且c17，c321，则c52c3c1221735.2 已知两个数列x，a1，a2，a3，y与x，b1，b2，y都是等差数列，且xy，则的值为_答案解析a2a1(yx)，b2b1(yx)，.3 已知等差数列an中，a3a822，a67，则a5_.答案15解析an为等差数列，a3a8a5a622，a522a622715.4 (2011江西)设an为等差数列，公差d2，sn为其前n项和，若s10s11，则a1等于()a18 b20 c22 d24答案b解析因为s10s11，所以a110.又因为a11a110d，所以a120.5 (2012辽宁)在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和s11等于()a58 b88 c143 d176答案b解析s1188.题型一等差数列基本量的计算例1(2011福建)在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和sk35，求k的值思维启迪：等差数列基本量的计算，基本思想就是根据条件列方程，求等差数列的首项与公差解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.从而an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以sn2nn2.由sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5.又kn*，故k7.探究提高(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法 设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为sn，满足s5s6150.(1)若s55，求s6及a1；(2)求d的取值范围解(1)由题意知s63，a6s6s58.所以解得a17，所以s63，a17.(2)方法一s5s6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.因为关于a1的一元二次方程有解，所以81d28(10d21)d280，解得d2或d2.方法二s5s6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.故(4a19d)2d28.所以d28.故d的取值范围为d2或d2.题型二等差数列的前n项和及综合应用例2(1)在等差数列an中，已知a120，前n项和为sn，且s10s15，求当n取何值时，sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列an的通项公式是an4n25，求数列|an|的前n项和思维启迪：(1)由a120及s10s15可求得d，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解(2)利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号解(1)方法一a120，s10s15，1020d1520d，d.an20(n1)n.a130，即当n12时，an0，n14时，an0，当n12或13时，sn取得最大值，且最大值为s13s121220130.方法二同方法一求得d.sn20nn2n2.nn*，当n12或13时，sn有最大值，且最大值为s12s13130.方法三同方法一求得d.又由s10s15得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或13时，sn有最大值且最大值为s12s13130.(2)an4n25，an14(n1)25，an1an4d，又a1412521.所以数列an是以21为首项，以4为公差的递增的等差数列令由得n6)，求数列的项数n.思维启迪：在等差数列中，若mnpq，则amanapaq，在涉及数列前n项和及某些项和的问题中常用到此性质解由题意可知a1a2a636anan1an2an5180得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216.a1an36.又sn324，18n324.n18.探究提高本题的解题关键是将等差数列性质mnpqamanapaq与前n项和公式sn结合在一起，采用整体思想，简化解题过程 (1)设数列an的首项a17，且满足an1an2 (nn)，则a1a2a17_.(2)等差数列an中，a1a2a324，a18a19a2078，则此数列前20项和等于_答案(1)153(2)180解析(1)an1an2，an为等差数列an7(n1)2，a17716225，s17153.(2)由已知可得(a1a2a3)(a18a19a20)2478(a1a20)(a2a19)(a3a18)54a1a2018s202020180.整体思想在等差数列解题中的应用典例：(12分)设等差数列an的前n项和snm，前m项和smn (mn)，求它的前mn项的和smn.审题视角(1)smna1(mn)d(mn)，这样只要求出a1d即可(2)由sn，sm可以构造出a1d，并求出规范解答解方法一设an的公差为d，则由snm，smn，得4分得(mn)a1dnm，mn，a1d1.8分smn(mn)a1d(mn)(mn)12分方法二设snan2bn (nn*)，则4分得a(m2n2)b(mn)nm.6分mn，a(mn)b1，a(mn)2b(mn)(mn)，smn(mn)12分温馨提醒(1)本题的两种解法都突出了整体思想，其中方法一把a1d看成了一个整体，方法二把a(mn)b看成了一个整体，解起来都很方便(2)整体思想是一种重要的解题方法和技巧这就要求学生要掌握公式，理解其结构特征(3)本题的易错点是，不能正确运用整体思想的运算方法，不能建立数量间的关系，导致错误.方法与技巧1 等差数列的判断方法(1)定义法：an1and (d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2 (nn*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：snan2bn (a、b为常数)an是等差数列2 方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解失误与防范1如果pqrs，则apaqaras，一般地，apaqapq，必须是两项相加，当然也可以是aptapt2ap.2当公差d0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d0时，an为常数3公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列a组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 (2012福建)等差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差为()a1 b2 c3 d4答案b解析方法一设等差数列an的公差为d，由题意得解得d2.方法二在等差数列an中，a1a52a310，a35.又a47，公差d752.2 数列an为等差数列，a1033，a21，sn为数列an的前n项和，则s202s10等于()a40 b200 c400 d20答案c解析s202s10210(a20a10)100d，又a10a28d，3318d，d4，s202s10400.3 已知等差数列an满足a1a2a3a1010，则有 ()aa1a1010 ba2a1000，所以a30，a80，前