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文档简介
反比例函数的图象和性质教学目标:知识与技能:1.能用描点法画出反比例函数的图象.2.能根据图象理解和掌握反比例函数y=的性质,并能灵活运用解决函数问题.3.理解反比例函数中比例系数k(k0)的几何意义.4.初步建立反比例函数解析式与图象之间的关系.过程与方法:1.经历探索和发现反比例函数的图象的特点和性质的过程,获得研究函数性质的经验.2.通过函数图象探究函数性质,进一步体会运用数形结合思想研究函数的性质.3.经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的认识过程,培养学生观察、探究、归纳及动手能力.情感态度价值观:1.经历观察、推理、交流等过程,获得研究问题和合作交流的方法与经验,体验数学活动中的探索性和创造性.2.在数学学习过程中,进一步理解变量和常量间的辨证关系,培养严谨的科学态度,感受数学美,并发现学习的乐趣.教学重难点:【重点】用描点法画反比例函数的图象;探索反比例函数的图象特点和性质.【难点】探究反比例函数的图象特点和性质的过程及比例系数的几何意义.教学准备:【教师准备】多媒体课件【学生准备】在练习本上画两个平面直角坐标系.教学过程:(一)导课导入一:校园内有一块矩形草坪面积为200 m2,它的长y(单位:m)与宽x(单位:m)之间满足的函数关系是什么?当它的长y(单位:m)增加时,它的宽x(单位:m)将怎样变化?【师生活动】学生思考回答,并观察该反比例函数中y随x的增大而减小,教师引出课题.设计意图由生活实际情景导入新课,让学生体会生活中处处有数学,激发学生学习兴趣,同时通过观察,思考问题中长y与宽x之间的关系,很自然地由实际问题抽象出本课时学习重点之一的反比例函数图象的增减性.导入二:【复习提问】(1)以前学习一次函数、二次函数时,是用什么思路和方法研究的?(先根据函数解析式画出函数的图象,然后观察、分析、归纳得到函数的性质)(2)一次函数、二次函数的图象分别是什么?(直线、抛物线)(3)请你说出一次函数、二次函数的性质是什么.(一次函数增减性、图象所经过象限;二次函数图象开口方向、对称轴、增减性等)(4)画函数图象的基本步骤是什么?(列表、描点、连线)设计意图通过复习画函数图象的基本步骤,为本节课的学习做好铺垫,复习通过画函数图象来研究一次函数、二次函数性质的方法,让学生用类比的方法自然地构建出新知识,降低本节课的学习难度.(二) 、新知构建一、描点法画反比例函数图象画函数的图象.k=6,k=12思路一教师引导,师生共同完成,同时展示画图象的过程.(1)自变量x的取值范围是什么?函数值y的取值范围是什么?(2)画函数图象时取哪些x的值列表,使函数图象完整、准确?(师生共同完成列表)(3)在平面直角坐标系中描点.(4)如何用平滑的曲线连接各点?(5)从左到右连线时,图象与x轴、y轴有没有交点?为什么?教师强调连线时从左到右依次用平滑曲线连接,由自变量x、函数值的取值范围可得函数图象与两坐标轴没有交点,故画反比例函数图象时与画一次函数、二次函数图象时不同,坐标轴把图象分成两部分.设计意图通过师生合作,经历用描点法画函数图象的过程,培养学生动手操作能力,理解描点法画函数图象的本质,经历知识的形成,进一步体会数形结合思想,通过课件展示画图的过程,直观形象,学生既感兴趣又记忆深刻.思路二【任务】同桌合作,每人在课前准备的平面直角坐标系中画一个函数图象.【师生活动】学生独立完成列表、描点、连线,画图后,小组合作交流,发现组内成员的画图错误,并帮助改正,教师在巡视过程中及时发现常见典型错误,进行汇总,在展示完整画图过程后展示典型画图错误.(1)列表:在x的取值范围内列出函数对应值表:(教师强调:列表时取值不能太少,也不能只取正值)x-6-4-3-2-112346y=-1-1.5-2-3-66321.51y=-2-3-4-6-12126432(2)描点.(教师强调:描点时横、纵坐标易混淆)(3)连线.(教师强调:连线时用平滑曲线,不能画成折线,因为自变量x不等于0,所以画函数图象时,不能将左右两个图象连接起来)设计意图通过动手操作,让学生自己经历画反比例函数图象的过程,进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤,培养学生动手操作能力,经历知识的形成过程.通过小组合作交流,培养学生合作精神,在讨论画图结果时互相纠错的过程中,加深了学生对画函数图象的理解和认识.二、反比例函数 (k0)的性质过渡语通过函数图象可以得到函数的有关性质,让我们一起观察所画的函数图象有哪些性质吧!观察函数图象,学生在教师的引导下思考回答:(1)你能描述反比例函数图象的形状吗?(教师给出双曲线定义) (2)反比例函数图象无限延伸后与x轴、y轴有公共点吗?与函数解析式之间有什么关系?(因为自变量x、函数值y不能等于0,所以函数图象与x轴、y轴没有交点)(3)函数图象在哪个象限内?该图象关于原点O对称吗?(在第一、第三象限,关于原点O对称)(4)观察函数图象,当x0时呢?你能根据函数解析式说明理由吗?(当x0时,随着x的增大,y也减小)(5)对于反比例函数y=(m0),以上结论还成立吗?【师生活动】学生在教师设计的问题下边思考边回答,教师提示学生可以通过表格和图象两个方面思考解决问题,对回答有困难的问题,教师要给学生足够的时间思考、交流.设计意图将探究函数的性质设计成问题的形式,使学生在探究过程中有方向和目的,降低学习新知识的难度,同时进一步体会数形结合思想及由特殊到一般的研究方法.【共同总结】(1)反比例函数y=(k0)的图象是双曲线;(2)双曲线的两支分别位于第一、第三象限;(3)在每个象限内,y随着x的增大而减小;(4)两支双曲线向两边无限延伸,与坐标轴没有交点;(5)两支双曲线关于坐标原点成中心对称.三、反比例函数y=(k0)的图象与性质【导入语】回顾以上探究过程,你能用同样的方法探究函数y=(k0)的图象与性质吗?【师生活动】学生在刚才的平面直角坐标系中画函数y=-与y=-的图象.观察函数图象,小组合作交流,归纳反比例函数y=(k0)的性质.教师巡视过程中帮助学习有困难的学生,引导学生归纳反比例函数的性质.【共同归纳】(1)反比例函数y=(k0时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小;(2)当k0)(4)你能确定函数图象的位置吗?(由k2+10得函数图象在第一、三象限) (5)自变量x的取值范围是什么?(自变量x的取值范围是x0)故选D.若点(-2,y1),(-1,y2),(1,y3)在反比例函数y=的图象上,则下列结论中正确的是()A.y1y2y3B.y2y1y3C.y3y1y2D.y3y2y1解析(1)已知三点的横、纵坐标分别是什么?(2)函数值y1,y2,y3与已知点的横坐标有什么关系?(点的横坐标和纵坐标满足函数解析式)(3)已知函数解析式和自变量的值,怎样求出对应的函数值?(把点的横坐标代入函数解析式求出对应的函数值)(4)你能分别求出y1,y2,y3的值吗?三者的大小关系是什么?(把x1=-2,x2=-1,x3=1分别代入函数解析式求出y1,y2,y3)(5)反比例函数y=的图象及增减性是怎样的?(反比例函数的图象在第一、三象限,在每个象限内y随x的增大而减小)(6)你能根据函数增减性判断y1,y2,y3的大小关系吗?(第三象限图象上的点的纵坐标小于0,且y随x的增大而减小;第一象限图象上的点的纵坐标大于0) (三)、课堂小结正比例函数与反比例函数的区别与联系.函数正比例函数反比例函数关系式y=kx(k0)y=(k0)图象过原点的直线与坐标轴没有交点的双曲线自变量的取值范围全体实数x0的全体实数图象位置当k0时,图象经过第一、第三象限当k0时,图象位于第一、第三象限当k0时,y随x的增大而增大当k0时,在每一象限内,y随x的增大而减小当k0时,函数y=-的图象在()A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限解析:反比例函数y=-中,k=-50时,函数的图象位于第四象限.故选A.2.对于反比例函数y=,下列说法正确的是()A.图象经过点(1,-3)B.图象在第二、四象限C.x0时,y随x的增大而增大D.x0,图象在第一、三象限,故B错误;k0,x0时,y随x的增大而减小,故C错误;k0,x0时,y随x的增大而减小,故D正确.故选D.3.反比例函数y=的图象如图所示,以下结论: 常数m -1;在每个象限内,y随x的增大而增大;若A(-1,h),B(2,k)在图象上,则h0,所以错误;观察图象可得,在每个象限内,y随x的增大而减小,所以错误;当x=-1时,y=h0,所以hk,所以正确;反比例函数图象关于原点成中心对称,所以点P(x,y)关于原点的对称点为P(-x,-y),所以正确.故选C.4.设有反比例函数y=,(x1,y1),(x2,y2)为其图象上两点,若x10y2,则k的取值范围是.解析:因为x10y2,所以双曲线在第二、四象限,则k+20,解得k-2.故填k-2
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