第五章课件1 自动控制原理.ppt

第五章线性系统的频域分析法 5 1引言5 2频率特性5 3开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制5 4频率域稳定判据5 5稳定裕度5 6闭环系统的频域性能指标 本章主要内容 本章介绍了控制系统频域分析法的相关概念和基本原理 包括频率特性的基本概念 典型环节和系统的频率特性 频率域稳定判据 系统的相对稳定性 系统的闭环频率特性和系统性能的频域分析方法 本章重点 通过本章学习 应重点掌握频率特性的概念与性质 典型环节及系统开环频率特性曲线的绘制和分析方法 控制系统稳定性的频域分析法 系统稳定裕度的概念和计算方法 5 1引言 频域分析法是经典控制理论中对系统进行分析与综合的又一重要方法 与时域分析法和根轨迹法不同 频域分析法不是根据系统的闭环极点和零点来分析系统的时域性能指标 而是根据系统对正弦信号的稳态响应 即系统的频率特性来间接地揭示系统的动态特性和稳态特性 并且可以简单 迅速地判断某些环节或者参数对系统动态特性和稳态特性的影响 并能指明改进系统的方向 频域分析法具有以下特点 1 频率特性物理意义明确 控制系统及其元部件的频率特性可以用分析法和实验方法来确定 并可用多种形式的曲线表示 利于采用图解法进行系统分析与综合 2 对于一阶系统和二阶系统 频域性能指标和时域性能指标有确定的对应关系 对于高阶系统 两者也存在近似对应关系 3 应用频域稳定性判据 可以根据系统的开环频率特性研究闭环系统的稳定性 而不必求解系统的闭环特征方程式 4 控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求 5 频率响应分析法不仅适用于线性定常系统 还可以推广应用于某些非线性系统 一 频率特性的基本概念 5 2频率特性 频率特性的概念 设系统结构如图 由劳斯判据知系统稳定 给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦 Ar 1 0 5 1 2 2 5 4 曲线如下 给稳定的系统输入一个正弦 其稳态输出是与输入 同频率的正弦 幅值随 而变 相角也是 的函数 用一个简单的RC网络说明频率特性的基本概念 微分方程为 传递函数为 设输出电压为 瞬态分量 稳态分量 稳态响应为 若将输出的稳态响应与输入正弦信号用复数表示 并求它们的复数比 可以得到 完整地描述了网络在正弦输入电压作用下 稳态输出时电压幅值和相角随正弦输入电压频率变化的规律 称为网络的频率特性 对于稳定的线性定常系统 在正弦信号的作用下 系统输出的稳态分量为输入同频率的正弦信号 其振幅与输入正弦信号的振幅之比称为幅频特性 其相位与输入正弦信号的相位之差称为相频特性 系统的频率响应与输入正弦信号的复数比称为系统的频率特性 幅频特性描述系统对于不同频率的输入信号在稳态情况下的衰减 或放大 特性 相频特性描述系统的稳态输出对于不同频率的正弦输入信号的相位滞后 或超前 特性 将频率特性表达式和传递函数表达式比较频率特性与传递函数之间的关系为 结论 当传递函数中的复变量s用j 代替时 传递函数就转变为频率特性 反之亦然 频率特性除了向量形式外 还可写成复数形式幅频特性 相频特性和实频特性 虚频特性之间具有下列关系 到目前为止 我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种 微分方程 传递函数和频率特性等 它们之间的关系如下 二 频率特性的几何表示法 在工程分析与设计中 常用的频率特性几何表示方法有 幅相频率特性曲线 对数频率特性曲线和对数幅相特性曲线 1 幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线是以频率为参变量 将频率特性的幅频特性和相频特性同时表示在复数平面上 当从变化时 向量的端点在复数平面上的运动轨迹即为幅相频率特性曲线 绘有幅相频率特性曲线的图称为极坐标图 2 对数频率特性曲线对数频率特性曲线包括对数幅频特性和对数相频特性两条曲线 这两条曲线连同它们的坐标组成了对数坐标图或称伯德图 设系统的频率特性为 定义 对数幅频特性对数相频特性 3 对数幅相特性曲线对数幅相特性曲线又称为尼柯尔斯图线 对应的曲线图称为对数幅相图或尼柯尔斯图 尼柯尔斯图线是将对数幅频特性和对数相频特性合起来绘制成一条曲线 其横坐标表示对数相频特性的相角 纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数 5 3开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 一 典型环节的频率特性1 比例环节传递函数频率特性 1 幅相频率特性幅频特性相频特性显然 比例环节的幅频特性和相频特性都与频率无关 幅相频率特性是 G 平面实轴上的一个定点 其坐标为 K j0 K j 0 2 对数频率特性对数幅频特性是一平行于 轴 高度为20lgK dB 的直线 对数相频特性是一与0 线重合的直线 20lgK dB o 2 积分环节传递函数频率特性 1 幅相频率特性幅频特性相频特性积分环节的幅频特性与 成反比积分环节的相频特性恒为积分环节的幅相频率特性是一条与负虚轴重合的直线 0 j 2 对数频率特性积分环节的对数幅频特性是一条直线 斜率为对数相频特性是一条平行于横坐标的直线 0 1 dB 1 10 0 20 20 20dB dec o 90 90 0 0 1 1 10 3 微分环节传递函数频率特性 1 幅相频率特性幅频特性相频特性微分环节的幅频特性与 成正比微分环节的相频特性恒为微分环节的幅相频率特性是一条沿正虚轴变化的直线 j 0 0 2 对数频率特性微分环节的对数幅频特性是一条斜率为20dB dec的直线 并且和零分贝线交于 1的点 对数相频特性是一条与 无关 恒为的水平直线 20dB dec 4 惯性环节传递函数频率特性 1 幅相频率特性幅频特性相频特性 0 j 0 45o 1 T K 2 对数频率特性工程上常采用的简便作图方法 在低频段 在高频段 交点频率称为惯性环节的交接频率 惯性环节的对数幅频特性曲线可用上述低频渐近线和和高频渐近线组成的折线近似表示 dB 20dB dec 1 T o 90 用渐近线近似表示对数幅频特性必然存在误差 越靠近交接频率误差越大 最大误差发生在交接频率处 其值为 若需要精确对数幅频特性曲线可以在近似曲线的基础上 利用误差曲线对近似曲线进行修正而得 5 一阶微分环节传递函数频率特性 1 幅相频率特性幅频特性相频特性一阶微分环节的幅相频率特性是位于第一象限内过 1 j0 点且平行于虚轴的直线 0 j 0 1 2 对数频率特性一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线以横轴互为镜像对称 20dB dec 6 振荡环节传递函数频率特性 1 幅相频率特性幅频特性相频特性 j 0 1 0 当阻尼比较小时 振荡环节的幅频特性出现谐振峰值 谐振峰值所对应的频率称为谐振频率 将振荡环节的幅频特性公式对 求导并令其等于零 求得谐振频率和阻尼比的关系式代入振荡环节的幅频特性公式求得谐振峰值 2 对数频率特性在低频段 在高频段 交点频率称为振荡环节的交接频率 dB 40dB dec 1 T o 180 误差修正曲线 7 二阶微分环节传递函数频率特性 1 幅相频率特性幅频特性相频特性 1 j 2 对数频率特性显然 二阶微分环节和振荡环节的对数频率特性曲线以横轴互为镜像对称 研究振荡环节所得到的结论 也可以类推到二阶微分环节 40dB dec 8 延迟环节传递函数频率特性 1 幅相频率特性幅频特性相频特性 j 1 2 对数频率特性 dB o 二 开环幅相曲线的绘制对自动控制系统进行频域分析时 通常是根据开环系统的频率特性来判断闭环系统的稳定性和估算闭环系统时域响应的各项性能指标 或者根据开环系统的频率特性绘制闭环系统的频率特性 然后再分析及估算时域性能指标 因此 掌握开环系统的频率特性曲线的绘制和特点是十分重要的 首先介绍幅相频率特性曲线的一般规律与特点 然后举例说明概略绘制开环幅相曲线的方法 设系统开环传递函数的一般形式为系统的开环频率特性为 1 开环幅相曲线的起点在低频段 2 开环幅相曲线的终点在高频段 3 开环幅相曲线与实轴的交点将求出的交点频率代入即可计算出开环幅相曲线与实轴的交点坐标值 4 开环幅相曲线的变化范围 象限 单调性 例1已知某单位反馈系统 其开环传递函数为试绘制概略开环幅相曲线 解 系统的开环频率特性 曲线的起点 该系统是 型系统 系统的幅相曲线起始于相角为 90 的无穷远处 曲线的终点 系统的幅相曲线以 3 0 90 270 方向终止于坐标原点 曲线的变化范围 系统幅相曲线的相角将由 90 单调减小到 270 曲线平滑地变化 低频渐近线 曲线与实轴的交点 得出开环幅相曲线与实轴交点的坐标为 例2已知系统的开环传递函数为试绘制概略开环幅相曲线 解 系统的开环频率特性该系统是 型系统 开环幅相曲线的起点 开环幅相曲线的终点 三 开环对数频率特性曲线的绘制 设系统的开环传递函数由n个典型环节串联组成 即系统的开环频率特性为 开环对数幅频特性和开环对数相频特性分别为由此可见 若系统开环传递函数由n个典型环节串联组成 其对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线可由各典型环节的对数频率特性曲线叠加而得 例3绘制开环系统的对数频率特性四个典型环节 开环对数幅频特性曲线有如下特点 1 低频段的确定低频段 最左端直线 取决于比例环节和积分环节 即 1 低频段的斜率为 20vdB dec v为开环系统中所包含的串联积分环节的个数 2 在 1时 低频段或其延长线 当 1的频率范围内有交接频率时 的分贝值是20lgK 3 低频段或其延长线与零分贝线的交点频率为 2 交接频率及线段斜率变化量的确定在典型环节的交接频率处 对数幅频近似特性曲线的斜率要发生变化 变化的情况取决于典型环节的类型 遇到惯性环节 在交接频率处斜率改变 20dB dec遇到振荡环节 在交接频率处斜率改变 40dB dec遇到一阶微分环节 在交接频率处斜率改变 20dB dec遇到二阶微分环节 在交接频率处斜率改变 40dB dec 绘制对数幅频特性曲线的步骤归纳如下 1 将系统的开环传递函数化成典型环节串联组成的标准形式 2 根据系统的开环增益K 计算20lgK的分贝值 3 在 1处 标出L 1 20lgK点 过 20lgK 1 点绘制斜率为 20vdB dec的低频段 4 根据交接频率绘制出相应的线段 5 若有必要 可以利用误差修正曲线 对交接频率附近的曲线进行修正 则可以得到精确的特性曲线 例4已知某系统的开环传递函数为试绘制其开环对数幅频特性曲线 解 先将开环传递函数为化成典型环节串联组成的标准形式 在图中处标出L 1 20dB 过 20 1 点画一条斜率为 20dB dec的直线 它就是低频段的渐近线 在横坐标上标出各典型环节的交接频率惯性环节的交接频率一阶微分环节的交接频率振荡环节的交接频率在各交接频率处依次改变斜率 直接绘制开环对数幅频特性曲线的渐近线 w w L w j w 200 例5已知某系统的开环传递函数为试绘制其开环对数幅频特性曲线 解 四 最小相位系统和非最小相位系统 1 定义在s右半平面上既没有极点 又没有零点的传递函数称为最小相位传递函数 对应的系统称为最小相位系统 反之 在s右半平面上有极点或零点的传递函数称为非最小相位传递函数 对应的系统称为非最小相位系统 2 最小相位系统的特征对于最小相位系统 其对数幅频特性和相频特性具有一一对应的关系 即根据系统的对数幅频特性 可以唯一地确定系统的相频特性和传递函数 反之亦然 而非最小相位系统就不存在这种关系 这两种系统在 时的对数幅频特性曲线斜率均为 20 n