2017-2026十年高考数学专项汇编专题09 数列解答题综合（一）等差、等比通项及数列求和（学生版）

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专题09数列解答题综合（一）

（等差、等比通项及数列求和）

（四大考点，31题）

考点分类十年考情（2017-2026）命题规律

1.题型固定为解答大题，位居高考数

列解答题第一问高频考位，难度基础。

2023全国乙卷、2023新课标Ⅰ卷、2.核心考查等差数列通项公式求解、

考点01等差数列2023新课标Ⅱ卷、2019北京卷、前n项和计算、数列最值分析、等差数

及其前n项和2019全国Ⅰ卷、2019上海卷、列判定证明。

全国卷、北京卷

2018Ⅱ20173.常结合等比数列性质综合设问，部

分题目结合集合元素、数列新定义拓展

考查，侧重基础公式运算与简单推理。

1.以解答题为主，多为两小问梯度设

问，难度由基础到中档递进。

2.核心考查正项等比数列通项求解、

2024全国甲卷、2020山东卷、

考点02等比数列公比运算、前n项和公式应用，结合区

2019全国Ⅱ卷、2018全国Ⅲ卷、

及其前n项和间统计数列项数创新考法。

2017山东卷

3.常结合对数变形构造新数列，考查

分组求和、裂项求和，侧重公式变形与

综合运算能力。

1.高考高频中档解答题型，为天津卷

2026天津卷、2025天津卷、2024特色必考题型，全国卷高频考查，区分

考点03等差等比天津卷、2023天津卷、2019天津度适中。

混考卷、2019浙江卷、2018浙江卷、2.核心考查等差、等比数列联立求解

2018天津卷、2017全国Ⅱ卷通项，利用数列性质证明不等式、求解

数列元素和与个数。

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3.多采用多小问梯度设问，结合新定

义数列、集合元素融合考查，综合考查

推理证明与运算能力。

1.数列解答题核心重难点，多作为压

轴小问考查，难度中档偏上。

2024全国甲卷、2023全国甲卷、2.核心考查Sn与an递推关系转化、

考点04数列递推2021新高考全国Ⅰ卷、2018全国Ⅰ构造新等差/等比数列、分段数列求和、

及数列求和卷、2018天津卷、2017全国Ⅲ卷、裂项求和、分组求和。

天津卷

20173.常结合递推公式变形、数列奇偶项

规律命题，搭配不等式证明，综合性强，

是高考拉分关键考点。

考点01等差数列及其前n项和

Saa11,S40

1.（2023·全国乙卷·高考真题）记n为等差数列n的前n项和，已知210．

a

(1)求n的通项公式；

aT

(2)求数列n的前n项和n．

n2n

b

anaS,T

2.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列n的公差为d，且d1．令n，记nn分别为数

a,b

列nn的前n项和．

3a3aa,ST21a

(1)若21333，求n的通项公式；

bST99

(2)若n为等差数列，且9999，求d．

an6,n为奇数

bn

a2a,n为偶数STa

3.（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知n为等差数列，n，记n，n分别为数列n，

bS32T16

n的前n项和，4，3．

a

(1)求n的通项公式；

1

TS

(2)证明：当n5时，nn．

4.（2019·北京·高考真题）设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．

5.（2019·全国I卷·高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．

（1）若a3=4，求{an}的通项公式；

（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

ad0,bbsina

6.（2019·上海·高考真题）已知等差数列n的公差，数列n满足nn，集合

Sx|xb,nN

n.

2

a10,d

（1）若3，求集合S；

a1

（2）若2，求d使得集合S恰好有两个元素；

（3）若集合S恰好有三个元素：bnTbn，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值.

S{a}a7S15

7.（2018·全国II卷·高考真题）记n为等差数列n的前n项和，已知1，3．

{a}

（1）求n的通项公式；

SS

（2）求n，并求n的最小值．

{a}{b}cmax{ban,ban,,ban}

8.（2017·北京·高考真题）设n和n是两个等差数列，记n1122nn

(n1,2,3,)，

max{x,x,,x}x,x,,x

其中12s表示12s这s个数中最大的数．

anb2n1c,c,c{c}

（Ⅰ）若n，n，求123的值，并证明n是等差数列；

c

nM

（Ⅱ）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，n；或者存在正整数m，使得

c,c,c,

mm1m2是等差数列．

anbn

9.（2017·北京·高考真题）已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．

a

（Ⅰ）求n的通项公式；

bbbb

（Ⅱ）求和：1352n1．

1

考点02等比数列及其前n项和

aS2S3a3

1.（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列n的前n项和为n，且nn1.

a

(1)求n的通项公式；

S

(2)求数列n的前n项和.

{a}aa20,a8

2.（2020·山东·高考真题）已知公比大于1的等比数列n满足243．

{a}

（1）求n的通项公式；

b{a}*{b}S

（2）记m为n在区间(0,m](mN)中的项的个数，求数列m的前100项和100．

{a}a2,a2a16

3.（2019·全国II卷·高考真题）已知n是各项均为正数的等比数列，132.

{a}

（1）求n的通项公式；

bloga{b}

（2）设n2n，求数列n的前n项和.

aa1，a4a

4.（2018·全国III卷·高考真题）等比数列n中，153．

a

（1）求n的通项公式；

a

SnnnSm63m

（2）记为的前项和．若，求．

aa6,aaa

5.（2017·山东·高考真题）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且12123.

(I)求数列{an}通项公式；

b

n

SbbaT

(II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知2n1nn1,求数列n的前n项和n.

考点03等差等比混考

aba2b1abb

1.（2026·天津·高考真题）已知等差数列n与等比数列n满足：1，1，212，

abb

431．

ab

(1)求数列n，n的通项公式；

1

EnxRxn*xaxb}cE

(2)记，kN，k或k，记n为n中的元素个数．

c

（i）求3n；

3n1

m

(1)amcm

（ii）求m1．

abab2,ab1,ab

2.（2025·天津·高考真题）已知数列n是等差数列，n是等比数列，112233．

ab

(1)求n，n的通项公式；

*I0,1Tpabpab...pabpab|p,p,...,p,pI

(2)nN，，有n111222n1n1n1nnn12n1n，

tTtab

（i）求证：对任意实数n，均有n1n1;

T

（ii）求n所有元素之和．

aSa1,Sa1

3.（2024·天津·高考真题）已知n为公比大于0的等比数列，其前n项和为n，且123．

aS

(1)求n的通项公式及n；

k,nak

bn

bb2k,ana

(2)设数列n满足n1kk1，其中kN*．

nakN*,且k1bab

（ⅰ）当k1时，求证：n1kn；

Sn

bi

（ⅱ）求i1．

aaa16,aa4

4.（2023·天津·高考真题）已知n是等差数列，2553．

2n1

ainN

an1

(1)求n的通项公式和i2．

b*k1kbab

(2)设n是等比数列，且对任意的kN，当2n21时，则knk1，

2k1b2k1

（Ⅰ）当k2时，求证：k；

b

（Ⅱ）求n的通项公式及前n项和．

aba4,b6，b2a2,b2a4

5.（2019·天津·高考真题）设n是等差数列，n是等比数列.已知112233.

ab

（Ⅰ）求n和n的通项公式；

1

1,2kn2k1,

c11,cn

cb,n2k,*

（Ⅱ）设数列n满足k其中kN.

ac1

（i）求数列2n2n的通项公式；

n

acnN*

2i2i

（ii）求i1.

{a}Sa4aS{b}

6.（2019·浙江·高考真题）设等差数列n的前n项和为n，3，43，数列n满足：对任意

nN,Sb,Sb,Sb

nnn1nn2n成等比数列.

{a},{b}

（1）求数列nn的通项公式；

a

Cn,nN,

n2bCC+C2n,nN.

（2）记n证明：12n

abab3ba

7.（2019·天津·高考真题）设n是等差数列，n是等比数列，公比大于0，已知11，23

b4a3

，32.

ab

（Ⅰ）求n和n的通项公式；

1,n为奇数,

cnbn为偶数,

cnacacacnN*

（Ⅱ）设数列n满足2求11222n2n.

aaaa28a2a,a

8.（2018·浙江·高考真题）已知等比数列n的公比q1，且345，4是35的等差中

bb1bn1bnan2

项．数列n满足1，数列的前n项和为2nn．

（Ⅰ）求q的值；

b

（Ⅱ）求数列n的通项公式．

9.（2018·天津·高考真题）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于

0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．

（Ⅰ）求Sn和Tn；

（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．

aSbT

10.（2017·全国II卷·高考真题）已知等差数列n的前n项和为n，等比数列n的前n项和为n，且

a1b1ab4

1，1，22.

1

ab7b

（1）若33，求n的通项公式；

T13S

（2）若3，求5.

考点04数列递推及数列求和

Sa4S3a4

1.（2024·全国甲卷·高考真题）记n为数列n的前n项和，已知nn．

a

(1)求n的通项公式；

b(1)n1nabT

(2)设nn，求数列n的前n项和n．

Saa1,2Sna

2.（2023·全国甲卷·高考真题）设n为数列n的前n项和，已知2nn．

a

(1)求n的通项公式；

an1

nT

(2)求数列2的前n项和n．

a

bn

aa1na2n1an

3.（2018·全国I卷·高考真题）已知数列n满足1，n1n，设n．

b，b，b

（1）求123；

b

（2）判断数列n是否为等比数列，并说明理由；

a

（3）求n的通项公式．

an1,n为奇数,