【步步高】（广东专用）高考数学二轮复习 专题训练八 第2讲 坐标系与参数方程 理.docVIP

第2讲坐标系与参数方程考情解读高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识1直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，设m是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则，.2直线的极坐标方程若直线过点m(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：；(2)直线过点m(a,0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过点m(b，)且平行于极轴：sin b.3圆的极坐标方程若圆心为m(0，0)，半径为r的圆的方程为220cos(0)r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：r；(2)当圆心位于m(r,0)，半径为r：2rcos ；(3)当圆心位于m(r，)，半径为r：2rsin .4直线的参数方程过定点m(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)5圆的参数方程圆心在点m(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数，02)6圆锥曲线的参数方程(1)椭圆1的参数方程为(为参数)(2)抛物线y22px(p0)的参数方程为(t为参数)热点一极坐标与直角坐标的互化例1在以o为极点的极坐标系中，直线l与曲线c的极坐标方程分别是cos()3和sin28cos ，直线l与曲线c交于点a、b，则线段ab的长为_答案16解析cos()cos cos sin sin cos sin 3，直线l对应的直角坐标方程为xy6.又sin28cos ，2sin28cos .曲线c对应的直角坐标方程是y28x.解方程组，得或，所以a(2，4)，b(18,12)，所以ab16.即线段ab的长为16.思维升华(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性 (1)在极坐标系(，)(00)的一个交点在极轴上，则a_.答案(1)(，)(填(，)亦可)(2)解析(1)2sin 代入cos 1可得2sin cos 1，即2或2，解得或又(，)与(，)为同一点，故二者可以任填一个(2)(cos sin )1，即cos sin 1对应的普通方程为xy10，a(a0)对应的普通方程为x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.将代入x2y2a2得a.热点二参数方程与普通方程的互化例2已知直线l的参数方程为(t为参数)，p是椭圆y21上的任意一点，则点p到直线l的距离的最大值为_答案解析由于直线l的参数方程为(t为参数)，故直线l的普通方程为x2y0.因为p为椭圆y21上的任意一点，故可设p(2cos ，sin )，其中r.因此点p到直线l的距离是d.所以当k，kz时，d取得最大值.思维升华参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形 (2013广东)已知曲线c的参数方程为(t为参数)，c在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为_答案cos sin 20解析由(t为参数)，得曲线c的普通方程为x2y22.则在点(1,1)处的切线l的方程为y1(x1)，即xy20.又xcos ，ysin ，l的极坐标方程为cos sin 20.热点三极坐标与参数方程的综合应用例3在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为(为参数)m是c1上的动点，p点满足2，点p的轨迹为曲线c2.(1)c2的参数方程为_；(2)在以o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与c1的异于极点的交点为a，与c2的异于极点的交点为b，则|ab|_.答案(1)(为参数)(2)2解析(1)设p(x，y)，则由条件知m.由于m点在c1上，所以即从而c2的参数方程为(为参数)(2)曲线c1的极坐标方程为4sin ，曲线c2的极坐标方程为8sin .射线与c1的交点a的极径为14sin ，射线与c2的交点b的极径为28sin.所以|ab|21|2.思维升华(1)曲线参数方程有很多优点：曲线上任一点坐标都可用一个参数表示，变元只有一个特别对于圆、椭圆、双曲线有很大用处很多参数都有实际意义，解决问题更方便比如：直线参数方程(为倾斜角，t为参数)，其中|t|pm|，p(x，y)为动点，m(x0，y0)为定点(2)求两点间距离时，用极坐标也比较方便，这两点与原点共线时，距离为|12|，这两点与原点不共线时，用余弦定理求解无论哪种情形，用数形结合的方法易得解题思路 (1)(2013湖北)在直角坐标系xoy中，椭圆c的参数方程为(为参数，ab0)，在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆o的极坐标方程分别为sin()m(m为非零常数)与b.若直线l经过椭圆c的焦点，且与圆o相切，则椭圆c的离心率为_答案解析椭圆c的标准方程为1，直线l的标准方程为xym，圆o的方程为x2y2b2，由题意知，a2b22b2，a23b2，e.(2)在平面直角坐标系xoy中，以原点o为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线c1的参数方程为(为参数)，曲线c2的极坐标方程为(cos sin )1，若曲线c1与c2相交于a、b两点|ab|的值为_；点m(1,2)到a、b两点的距离之积为_答案2解析由曲线c1的参数方程可得曲线c1的普通方程为yx2(x0)，由曲线c2的极坐标方程可得曲线c2的直角坐标方程为xy10，则曲线c2的参数方程为(t为参数)，将其代入曲线c1的普通方程得t2t20，设a、b两点对应的参数分别为t1、t2，则t1t2，t1t22，所以|ab|t1t2|.由可得|ma|mb|t1t2|2.1主要题型有极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，在极坐标方程或参数方程背景下的直线与圆的相关问题2规律方法方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度3极坐标方程与普通方程互化核心公式，.4过点a(0，0) 倾斜角为的直线方程为.特别地，过点a(a,0)，垂直于极轴的直线l的极坐标方程为cos a.平行于极轴且过点a(b，)的直线l的极坐标方程为sin b.5圆心在点a(0，0)，半径为r的圆的方程为r2220cos(0)6重点掌握直线的参数方程(t为参数)，理解参数t的几何意义.真题感悟1(2014陕西)在极坐标系中，点(2，)到直线sin()1的距离是_答案1解析点(2，)化为直角坐标为(，1)，直线sin()1化为(sin cos )1，yx1，xy10，点(，1)到直线xy10的距离为1.2(2014江苏)在平面直角坐标系xoy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y24x相交于a，b两点，线段ab的长为_答案8解析将直线l的参数方程代入抛物线方程y24x，得24，解得t10，t28.所以ab|t1t2|8.押题精练1在直角坐标系中圆c的参数方程为 (为参数)，若以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆c的极坐标方程为_答案4sin 解析由参数方程消去得圆c的方程为x2(y2)24，将xcos ，ysin ，代入得(cos )2(sin 2)24，整理得4sin .2已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点o处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同直线l的极坐标方程为，点p(1cos ，sin )，参数0,2)(1)点p轨迹的直角坐标方程为_；(2)点p到直线l距离的最小值为_答案(1)(x1)2y21(2)41解析(1)由得点p的轨迹方程(x1)2y21.(2)由，得，sin cos 9.曲线c的直角坐标方程为xy9.圆(x1)2y21的圆心(1,0)到直线xy9的距离为4，所以|pq|min41.(推荐时间：40分钟)1(2014安徽改编)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆c的极坐标方程是4cos ，则直线l被圆c截得的弦长为_答案2解析直线l的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程是yx4，圆c的极坐标方程4cos 化为直角坐标方程是x2y24x0.圆c的圆心(2,0)到直线xy40的距离为d.又圆c的半径r2，因此直线l被圆c截得的弦长为22.2圆心为c(3，)，半径为3的圆的极坐标方程为_答案6cos()解析设极点为o，m(，)为圆上任意一点，过oc的直线与圆交于另一点o，直角三角形omo中，6cos|，即6cos()3已知点m的极坐标为(6，)，则点m关于y轴对称的点的直角坐标为_答案(3，3)解析点m的直角坐标为xcos 6cos 3，ysin 6sin 3.即m(3，3)，所以它关于y轴对称的点为(3，3)4直线cos 2关于直线对称的直线的极坐标方程为_答案sin 2解析直线cos 2的直角坐标方程为x2，直线的直角坐标方程为yx，所以所求的直线方程为y2.其极坐标方程为sin 2.5若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的倾斜角为_答案150解析由直线的参数方程知，斜率ktan ，为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150.6将参数方程(0t5)化为普通方程为_答案x3y50，x2,77解析化为普通方程为x3(y1)2，即x3y50，由于x3t222,77，故曲线为线段7(2012陕西)直线2cos 1与圆2cos 相交的弦长为_答案解析直线2cos 1可化为2x1，即x；圆2cos 两边同乘得22cos ，化为直角坐标方程是x2y22x.将x代入x2y22x得y2，y.弦长为2.8已知曲线c：(参数r)经过点(m，)，则m_.答案解析将曲线c：(参数r)化为普通方程为x21，将点(m，)代入该椭圆方程，得m21，即m2，所以m.9(2013重庆)在直角坐标系xoy中，以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若极坐标方程为cos 4的直线与曲线(t为参数)相交于a，b两点，则|ab|_.答案16解析将极坐标方程cos 4化为直角坐标方程得x4，将x4代入得t2，从而y8.所以a(4,8)，b(4，8)所以|ab|8(8)|16.10(2012天津)已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p0，焦点为f，准线为l.过抛物线上一点m作l的垂线，垂足为e.若|ef|mf|，点m的横坐标是3，则p_.答案2解析根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y22px，所以y6p，所以e，f，所以3，所以p24p120，解得p2(负值舍去)11已知曲线c：(为参数)和直线l：(t为参数，b为实数)，若曲线c上恰有3个点到直线l的距离等于1，则b_.答案解析将曲线c和直线l的参数方程分别化为普通方程为x2y24和yxb，依题意，若要使圆上有3个点到直线l的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到1，解得b.12已知曲线c1的极坐标方程为4sin ，曲线c2的极坐标方程为(r)，曲线c1，c2相交于点m，n，则线段mn的长为_答案2解析由4sin ，得24sin ，即曲线c1的直角坐标方程为x2y24y0，由(r)得，曲线c2的直角坐标方程为yx.把yx代入x2y24y0，得x2x2x0，即x2x0，解得x10，x2，y10，y21.|mn|2.即线段mn的长为2.13在极坐标系中，直线sin与圆2cos 的位置关系是_答案相离解析直线的直角坐标方程为xy10，圆的直角坐标方程为(x1)2y21，圆心为c(1,0)，半径为r1，圆心到直线的距离d1.故直线与圆相离14已知极坐标系中，极点为o，将点a绕极点逆时针旋转得到点b，且oaob，则点b的直角坐标为_答案(，)解析依题意，点b的极坐标为，cos coscos cos sin sin ，sin sinsin cos cos sin ，xcos 4，ysin 4.15(2013辽宁改编)在直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴正半轴