高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1 双曲线及其标准方程课件 北师大版选修21.ppt

第三章 3双曲线 3 1双曲线及其标准方程 1 掌握双曲线的定义 2 掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程 3 理解双曲线标准方程的推导过程 并能运用标准方程解决相关问题 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一双曲线的定义把平面内到两个定点f1 f2的距离的等于常数 大于零且小于 f1f2 的点的轨迹叫作 这两个定点叫做双曲线的 两个焦点间的距离叫做双曲线的 答案 焦距 差的绝对值 双曲线 焦点 知识点二双曲线的标准方程 答案 a2 b2 0 c 0 c 思考 1 双曲线定义中 将 小于 f1f2 改为 等于 f1f2 或 大于 f1f2 的常数 其他条件不变 点的轨迹是什么 答案当距离之差等于 f1f2 时 动点的轨迹就是两条射线 端点分别是f1 f2 当距离之差大于 f1f2 时 动点的轨迹不存在 2 确定双曲线的标准方程需要知道哪些量 答案a b的值及焦点所在的位置 答案 返回 知识点三双曲线与椭圆的比较双曲线 椭圆的标准方程及它们之间的区别与联系 答案 mf1 mf2 2a 2a f1f2 mf1 mf2 2a 0 2a f1f2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 题型探究重点突破 题型一求双曲线的标准方程例1根据下列条件 求双曲线的标准方程 解析答案 解析答案 p q两点在双曲线上 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似 可以先根据其焦点位置设出标准方程 然后用待定系数法求出a b的值 若焦点位置不确定 可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解 此方法思路清晰 但过程复杂 注意到双曲线过两定点 可设其方程为mx2 ny2 1 mn 0 通过解方程组即可确定m n 避免了讨论 从而简化求解过程 跟踪训练1求适合下列条件的双曲线的标准方程 1 两个焦点的坐标分别是 5 0 5 0 双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8 解由双曲线的定义知 2a 8 所以a 4 又知焦点在x轴上 且c 5 所以b2 c2 a2 25 16 9 解析答案 解因为焦点在x轴上 解析答案 解得a2 8 b2 4 解析答案 题型二双曲线定义的应用 1 若双曲线上一点m到它的一个焦点的距离等于16 求点m到另一个焦点的距离 由双曲线的定义得 mf1 mf2 2a 6 又双曲线上一点m到它的一个焦点的距离等于16 假设点m到另一个焦点的距离等于x 则 16 x 6 解得x 10或x 22 故点m到另一个焦点的距离为10或22 解析答案 反思与感悟 2 如图 若p是双曲线左支上的点 且 pf1 pf2 32 试求 f1pf2的面积 解将 pf2 pf1 2a 6两边平方得 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 36 pf1 2 pf2 2 36 2 pf1 pf2 36 2 32 100 在 f1pf2中 由余弦定理得 且 f1pf2 0 180 f1pf2 90 反思与感悟 f1pf2 反思与感悟 1 求双曲线上一点到某一焦点的距离时 若已知该点的横 纵坐标 则根据两点间距离公式可求结果 若已知该点到另一焦点的距离 则根据 pf1 pf2 2a求解 注意对所求结果进行必要的验证 负数应该舍去 且所求距离应该不小于c a 2 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时 首先要注意定义中的条件 pf1 pf2 2a的应用 其次是要利用余弦定理 勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算 在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用 解析答案 由双曲线的定义和余弦定理得 pf1 pf2 6 f1f2 2 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos60 所以102 pf1 pf2 2 pf1 pf2 所以 pf1 pf2 64 题型三与双曲线有关的轨迹问题 解析答案 反思与感悟 2sina sinc 2sinb 2 bc ab 2 ac 反思与感悟 由双曲线的定义知 点c的轨迹为双曲线的右支 除去与x轴的交点 反思与感悟 1 求解与双曲线有关的点的轨迹问题 常见的方法有两种 列出等量关系 化简得到方程 寻找几何关系 由双曲线的定义 得出对应的方程 2 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意 双曲线的焦点所在的坐标轴 检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支 跟踪训练3如图所示 已知定圆f1 x 5 2 y2 1 定圆f2 x 5 2 y2 42 动圆m与定圆f1 f2都外切 求动圆圆心m的轨迹方程 解析答案 返回 解圆f1 x 5 2 y2 1 圆心f1 5 0 半径r1 1 圆f2 x 5 2 y2 42 圆心f2 5 0 半径r2 4 设动圆m的半径为r 则有 mf1 r 1 mf2 r 4 mf2 mf1 3 10 f1f2 返回 1 已知f1 3 3 f2 3 3 动点p满足 pf1 pf2 4 则p点的轨迹是 a 双曲线b 双曲线的一支c 不存在d 一条射线解析因为 pf1 pf2 4 且4 f1f2 由双曲线定义知 p点的轨迹是双曲线的一支 当堂检测 1 2 3 4 5 b 解析答案 解析答案 a 5b 3c 5d 9解析由题意知 34 n2 n2 16 2n2 18 n2 9 n 3 b 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 d 解析由标准方程得a2 10 b2 2 解析答案 4 已知双曲线中a 5 c 7 则该双曲线的标准方程为 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 5 p是双曲线x2 y2 16的左支上一点 f1 f2分别是左 右焦点 则 pf1 pf2 所以a2 16 2a 8 因为p点在双曲线左支上 所以 pf1 pf2 8 8 课堂小结 1 双曲线定义中 pf1 pf2 2a 2ab不一定成立 要注意与椭圆中a b c的区别 在椭圆中