【步步高】（浙江专用）高考数学 考前三个月 专题二 第一讲集合与常用逻辑用语.DOC

专题二集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合与常用逻辑用语1集合的概念、运算(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形(4)重要结论abaab；ababa.2命题两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性.3充要条件设集合ax|x满足条件p，bx|x满足条件q，则有从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(pq，qp)abp是q的必要不充分条件(qp，pq)bap是q的充要条件(pq)abp是q的既不充分也不必要条件(pq，qp)a与b互不包含1 (2013辽宁)已知集合ax|0log4x1，bx|x2，则ab等于()a(0,1) b(0,2 c(1,2) d(1,2答案d解析ax|1x4，bx|x2，abx|1x22 (2013北京)“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的()a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件答案a解析当时，ysin(2x)sin 2x过原点当曲线过原点时，k，kz，不一定有.“”是“曲线ysin(2x)过原点”的充分不必要条件3 (2012山东)已知全集u0,1,2,3,4，集合a1,2,3，b2,4，则(ua)b为()a1,2,4 b2,3,4c0,2,4 d0,2,3,4答案c解析ua0,4，b2,4，(ua)b0,2,44 (2013天津)已知下列三个命题：若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；直线xy10与圆x2y2相切其中真命题的序号是()a bc d答案c解析对于命题，设球的半径为r，则3r3，故体积缩小到原来的，命题正确；对于命题，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题，圆x2y2的圆心(0,0)到直线xy10的距离d，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确5 (2013四川)设p1，p2，pn为平面内的n个点，在平面内的所有点中，若点p到点p1，p2，pn的距离之和最小，则称点p为点p1，p2，pn的一个“中位点”例如，线段ab上的任意点都是端点a、b的中位点现有下列命题：若三个点a，b，c共线，c在线段ab上，则c是a，b，c的中位点；直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；若四个点a，b，c，d共线，则它们的中位点存在且唯一；梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点其中的真命题是_(写出所有真命题的序号)答案解析|ca|cb|ab|，当且仅当点c在线段ab上等号成立，即三个点a，b，c，点c在线段ab上，点c是a，b，c的中位点，故是真命题如图(1)，在rtabc中，c90，p是ab的中点，chab，点p，h不重合，则|pc|hc|.又|ha|hb|pa|pb|ab|，|ha|hb|hc|pa|pb|pc|，点p不是点a，b，c的中位点，故是假命题如图(2)，a，b，c，d是数轴上的四个点，若p点在线段bc上，则|pa|pb|pc|pd|ad|bc|，由中位点的定义及可知，点p是点a，b，c，d的中位点显然点p有无数个，故是假命题如图(3)，由可知，若点p是点a，c的中位点，则点p在线段ac上，若点p是点b，d的中位点，则点p在线段bd上，若点p是点a，b，c，d的中位点，则p是ac，bd的交点，梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故是真命题题型一集合的概念与运算问题例1(1)(2012湖北)已知集合ax|x23x20，xr，bx|0x0，t，则st等于 ()a(1,2) b(0,2)c(1，) d(2，)答案d解析sx|x11x|x0，tx|x2或x2题型二命题的真假与否定问题例2下列叙述正确的个数是()l为直线，、为两个不重合的平面，若l，则l；在abc中，“a60”是“cos a”的充要条件；若向量a，b满足ab0，则a与b的夹角为钝角a1 b2c3 d0审题破题判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识进行判定答案a解析对于，直线l不一定在平面外，错误；注意到abc中条件，正确；ab4x3均成立；若log2xlogx22，则x1；“若ab0且c”的逆否命题其中真命题只有()a bc d答案a解析中不等式可表示为(x1)220，恒成立；中不等式可变为log2x2，得x1；中由ab0，得，而c1；綈q：x2(2a1)xa(a1)0，解得綈p：x1或xa1或x0且a1，则“函数f(x)ax在r上是减函数”是“函数g(x)(2a)x3在r上是增函数”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件答案a解析由题意知函数f(x)ax在r上是减函数等价于0a1，函数g(x)(2a)x3在r上是增函数等价于0a1或1a2，“函数f(x)ax在r上是减函数”是“函数g(x)(2a)x3在r上是增函数”的充分不必要条件(2)设ax|0，bx|0xm，若b是a成立的必要不充分条件，则m的取值范围是()am1答案d解析00x1.由已知得，0xm0x1，但0x10x1.典例设非空集合sx|mxl满足：当xs时，有x2s.给出如下三个命题：若m1，则s1；若m，则l1；若l，则m0.其中正确命题的个数是()a0 b1 c2 d3解析m1时，lm1且x21，l1，故正确m时，m2，故l.又l1，正确l时，m2且m0，则m0，正确答案d得分技巧创新性试题中最常见的是以新定义的方式给出试题，这类试题要求在新的情境中使用已知的数学知识分析解决问题，解决这类试题的关键是透彻理解新定义，抓住新定义的本质，判断给出的各个结论，适当的时候可以通过反例推翻其中的结论阅卷老师提醒在给出的几个命题中要求找出其中正确命题类的试题实际上就是一个多项选择题，解答这类试题时要对各个命题反复进行推敲，确定可能正确的要进行严格的证明，确定可能错误的要举出反例，这样才能有效避免答错试题1 已知集合ax|x2x20，bx|ax1，若abb，则a等于()a或1 b2或1c2或1或0 d或1或0答案d解析依题意可得abbba.因为集合ax|x2x202,1，当x2时，2a1，解得a；当x1时，a1；又因为b是空集时也符合题意，这时a0，故选d.2 (2013浙江)已知函数f(x)acos(x)(a0，0，r)，则“f(x)是奇函数”是“”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件答案b解析f(x)acosasin x为奇函数，“f(x)是奇函数”是“”的必要条件又f(x)acos(x)是奇函数f(0)0k(kz).“f(x)是奇函数”不是“”的充分条件3 已知集合a(x，y)|x，y为实数，且x2y21，b(x，y)|x，y为实数，且yx，则ab的元素个数为()a0 b1c2 d3答案c解析集合a表示的是圆心在原点的单位圆，集合b表示的是直线yx，据此画出图象，可得图象有两个交点，即ab的元素个数为2.4 已知集合px|x21，ma若pmp，则a的取值范围为()a(，1 b1，)c1,1 d(，11，)答案c解析由px|x21得px|1x1由pmp得mp.又ma，1a1.5 下列命题中错误的是()a命题“若x25x60，则x2”的逆否命题是“若x2，则x25x60”b若x，yr，则“xy”是“xy2中等号成立”的充要条件c已知命题p和q，若pq为假命题，则命题p与q中必一真一假d命题“若xy，则x|y|”的逆命题是真命题答案c解析易知选项a，b，d都正确；选项c中，若pq为假命题，根据真值表，可知p，q必都为假，故c错专题限时规范训练一、选择题1 (2013陕西)设全集为r，函数f(x)的定义域为m，则rm为()a1,1b(1,1)c(，11，)d(，1)(1，)答案d解析由题意得m1,1，则rm(，1)(1，)2 (2013山东)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件答案a解析由题意知：綈pq(逆否命题)p綈q.3 (2012湖南)命题“若，则tan 1”的逆否命题是()a若，则tan 1 b若，则tan 1c若tan 1，则 d若tan 1，则答案c解析由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan 1，则.4 设集合a1,2,3,4,5,6，b4,5,6,7,8，则满足sa且sb的集合s的个数是()a57 b56 c49 d8答案b解析由sa知s是a的子集，又a1,2,3,4,5,6，满足条件sa的s共有2664(种)可能又sb，b4,5,6,7,8，s中必含4,5,6中至少一个元素，而在满足sa的所有子集s中，不含4,5,6的子集共有238(种)，满足题意的集合s的可能个数为64856.5 设集合axr|x20，bxr|x0，则“xab”是“xc”的()a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件答案c解析ax|x20x|x2(2，)，bx|x0x|x2(，0)(2，)abc.“xab”是“xc”的充要条件6 设有两个命题，p：不等式a的解集为r；q：函数f(x)(73a)x在r上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a的取值范围是()a1a2 b2ac2a d1a的解集为r；ba|f(x)(73a)x在r上是减函数由于函数y的最小值为1，故aa|a1，即a2，所以ba|a2要使这两个命题中有且只有一个真命题，a的取值范围为(ra)b(rb)a，而(ra)b1，)(，2)1,2)，(rb)a2，)(，1)，因此(ra)b(rb)a1,2)，故选a.7 已知p：0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()a(，1) b1,3c1，) d3，)答案c解析100(x1)(x1)0p：1x1.当a3时，q：xa；当a3时，q：x3.綈p是綈q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，即pq且qp，从而可推出a的取值范围是a1.8 下列命题中是假命题的是()a存在，r，使tan()tan tan b对任意x0，有lg2xlg x10cabc中，ab的充要条件是sin asin bd对任意r，函数ysin(2x)都不是偶函数答案d解析对于a，当0时，tan()0tan tan ，因此选项a是真命题；对于b，注意到lg2xlg x120，因此选项b是真命题；对于c，在abc中，由abab2rsin a2rsin bsin asin b(其中r是abc的外接圆半径)，因此选项c是真命题；对于d，注意到当时，ysin(2x)cos 2x是偶函数，因此选项d是假命题综上所述，选d.二、填空题9 已知集合axr|x1|2，z为整数集，则集合az中所有元素的和等于_答案3解析axr|x1|2xr|1x1，结合数轴易知m1.11已知命题p：“对任意x1,2，x2ln xa0”是真命题，则实数a的取值范围是_答案解析命题p：ax2ln x在1,2上恒成立，令f(x)x2ln x，f(x)x，当1x0，f(x)minf(1)，a.12给出下列命题：“数列an为等比数列”是“数列anan1为等比数列”的充分不必要条件；“a2”是“函数f(x)|xa|在区间2，)上为增函数”的充要条件；“m3”是“直线(m3)xmy20与直线mx6y50互相垂直”的充要条件；设a，b，c分别是abc三个内角a，b，c所对的边，若a1，b，则“a30”是“b60”的必要不充分条件其中真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)答案解析对于，当数列an是等比数列时，易知数列anan1是等比数列；但当数列anan1是等比数列时，数列an未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此正确对于，当a2时，函数f(x)|xa|在区间2，)上是增函数，因此不正确对于，当m3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m3，也可能得出m0，因此不正确对于，由题意，得，当b60时，有sin a，注意到ba，故a30；但当a30时，有sin b，b60或b120，因此正确三、解答题13已知函数f(x) 的定义域为集合a，函数g(x)lg(x22xm)的定义域为集合b.(1)当m3时，求a(rb