中考数学一轮复习 专题6 空间与图形 6.2 图形的相似（试卷部分）课件.pptVIP

第六章圆6 2图形的相似 中考数学 广东专用 考点相似三角形的判定与性质 a组2014 2018年广东中考题组 五年中考 1 2018广东 7 3分 在 abc中 点d e分别为边ab ac的中点 则 ade与 abc的面积之比为 a b c d 答案c因为d e是边ab ac的中点 故de是 abc的中位线 所以de bc 所以 ade abc 且相似比是 所以它们的面积比是 故选c 方法总结本题考查了三角形中位线的性质 相似三角形的性质 熟练运用 相似三角形的面积比等于相似比的平方 这个性质是解题的关键 2 2018深圳 16 3分 如图 在rt abc中 c 90 ae bd分别平分 bac abc 若af 4 ef 则ac 答案 afd 45 过点d作dg ae于g 连接cf df dg fg 1 af 4 ag 3 ad acf 45 afd daf caf acf afd ac 方法总结本题考查了角平分线的定义 相似三角形的判定和性质定理 锐角三角函数和勾股定理 添加辅助线构造相似或全等三角形是常用的解题手段之一 添加辅助线构造直角三角形是运用勾股定理或锐角三角函数求线段长的常用方法 3 2018广州 16 3分 如图 直线ce是 abcd的边ab的垂直平分线 垂足为点o ce与da的延长线交于点e 连接ac be do do与ac交于点f 则下列结论 四边形acbe是菱形 acd bae af be 2 3 s四边形afoe s cod 2 3 其中正确的结论有 填写所有正确结论的序号 答案 解析由直线ce是边ab的垂直平分线可得ac cb 所以 cab cba 由四边形abcd是平行四边形可得ab cd ad bc 所以 cab acd bae cba 所以 cab acd bae 故 正确 由 cab bae ao ao aoc aoe可得 aoc aoe 从而ae ac 又ac bc ae bc 又ae cb 所以四边形acbe是平行四边形 又ac bc 四边形acbe是菱形 故 正确 由ao cd 可得 故 错误 设s afo s 由 可得s cfo 2s 再根据 afo cfd可得s dfc 4s 所以s cod 6s s coa 3s s aoe 所以s四边形afoe 4s 所以s四边形afoe s cod 4s 6s 2 3 正确 思路分析可先证明四边形acbe是平行四边形 再证明ac bc 即可证明四边形acbe是菱形 可知 正确 根据垂直平分线的性质 等边对等角 平行线的性质定理及等量代换去分析 利用相似三角形的性质去分析 和 精彩点评本题考查了平行四边形的性质和判定定理 菱形的判定定理 垂直平分线性质定理 相似三角形的判定和性质定理 4 2017广州 16 4分 如图 平面直角坐标系中o是原点 oabc的顶点a c的坐标分别是 8 0 3 4 点d e把线段ob三等分 延长cd ce分别交oa ab于点f g 连接fg 则下列结论 f是oa的中点 ofd与 beg相似 四边形degf的面积是 od 其中正确的结论是 填写所有正确结论的序号 答案 c 3 4 oc 5 oa oabc不是菱形 dof cod ebg f 4 0 c 3 4 cf cof dfo ebg odf cod ocd odf cod ebg 故 ofd与 beg不相似 故 错误 由 得 点f是oa的中点 同理可得点g是ab的中点 fg是 oab的中位线 fg ob nq aq fg ob 点d e是线段ob的三等分点 de ob s oab ob an oa bm 8 4 16 ob an 32 de fg 四边形degf是梯形 s四边形degf ob nq ob an 故 正确 od ob 错误 综上 正确 5 2017深圳 16 3分 如图 在rt abc中 abc 90 ab 3 bc 4 rt mpn中 mpn 90 点p在ac上 pm交ab于点e pn交bc于点f 当pe 2pf时 ap 答案3 解析如图 作pq ab于点q pr bc于点r 由等量代换 易得 qpe rpf qpe rpf pe 2pf pq 2pr 2bq 在rt abc中 ab 3 bc 4 ac 5 易证 aqp abc aq qp ap ab bc ac 3 4 5 记pq 4x 则aq 3x pr bq 2x ap ac 3 6 2015广东 14 4分 若两个相似三角形的周长比为2 3 则它们的面积之比是 答案4 9 解析相似三角形面积的比等于相似比的平方 相似三角形周长的比等于相似比 所以面积的比为4 9 7 2015梅州 12 3分 已知 abc中 点e是ab边的中点 点f在ac边上 若以a e f为顶点的三角形与 abc相似 则需要增加的一个条件是 写出一个即可 答案f是ac的中点 或ef bc或 aef b或 aef c或 afe b或 afe c 解析答案不唯一 根据三角形相似的判定方法相应添加条件即可 8 2017广东 25 9分 如图 在平面直角坐标系中 o为原点 四边形abco是矩形 点a c的坐标分别是a 0 2 和c 2 0 点d是对角线ac上一动点 不与a c重合 连接bd 作de db 交x轴于点e 以线段de db为邻边作矩形bdef 1 填空 点b的坐标为 2 是否存在这样的点d 使得 dec是等腰三角形 若存在 请求出ad的长度 若不存在 请说明理由 3 求证 设ad x 矩形bdef的面积为y 求y关于x的函数关系式 可利用 的结论 并求出y的最小值 解析 1 2 2 2 存在 ad 2或ad 2 ao 2 co 2 oca 30 ac 4 当点e在线段oc上 如题图 1 de ec时 则 edc 30 bdc 60 又 oca 30 dcb 60 bdc是等边三角形 dc bc 2 ad 2 当点e在oc的延长线上 如题图 2 dc ce时 则 cde 15 cdb 105 adb 75 又 dab 30 abd 75 ad ab 2 3 证明 过点d作mn oc 分别交ab oc于点m n bde 90 mdb nde 90 nde den 90 mdb den dmb dne 90 end dmb tan30 ad x dm am bm 2 bd2 bm2 dm2 x2 6x 12 y de db db2 x2 6x 12 x 3 2 0 x 4 当x 3时 y取最小值 y的最小值为 深度解析此类题是广东中考的常见压轴题 和动点相关的代数与几何综合题 本题考查了相似三角形的判定和性质 锐角三角函数的应用 勾股定理 二次函数的最值问题 存在性问题等 解析动态几何问题中的存在性问题 主要方法是 以静制动 即需要根据问题画出相应的图形 此处多数会用到分类讨论的数学思想 只要把图形画出来 动 的问题就成了 静 的问题 就达到了我们 以静制动 的目的 9 2016广州 23 12分 如图 在平面直角坐标系xoy中 直线y x 3与x轴交于点c 与直线ad交于点a 点d的坐标为 0 1 1 求直线ad的解析式 2 直线ad与x轴交于点b 若点e是直线ad上一动点 不与点b重合 当 bod与 bce相似时 求点e的坐标 解析 1 设直线ad的解析式为y kx b k 0 把点a d 0 1 的坐标代入y kx b 得解得 直线ad的解析式为y x 1 2 bod与 bce相似 且 bod是直角三角形 bce也是直角三角形 在 bce中 ebc为锐角 bce是直角三角形分两种情况 bce 90 或 bec 90 如图1 过点c作ce x轴交直线bd于点e 此时 bod bce bod bce 90 图1将y 0代入y x 3得 x 3 0 x 3 c 3 0 将x 3代入y x 1 得y 3 1 e 如图2 过点c作ce bd于点e 过点e作eh x轴于h 图2此时 bod bec bod bec 90 把y 0代入y x 1得x 1 0 x 2 b 2 0 ob 2 d 0 1 od 1 ebc beh beh hec 90 ebc hec 即 dbo hec tan dbo tan hec tan dbo tan hec 点e在直线y x 1上 设e 则点h x 0 点c 3 0 ch 3 x eh x 1 解得x 2 经检验x 2是原方程的解 x 1 2 1 2 e 2 2 综上所述 当 bod与 bce相似时 点e的坐标为或 2 2 思路分析 1 用待定系数法求直线ad的解析式 2 分类讨论 求点e的坐标 易错警示只考虑 bec 90 的情形 忽略了 bce 90 的情形 造成漏解 考点相似三角形的判定与性质 b组2014 2018年全国中考题组 1 2018湖北黄冈 5 3分 如图 在rt abc中 acb 90 cd为ab边上的高 ce为ab边上的中线 ad 2 ce 5 则cd a 2b 3c 4d 2 答案c在rt abc中 因为ce为ab边上的中线 所以ab 2ce 2 5 10 又ad 2 所以bd 8 易证 acd cbd 则cd2 ad db 2 8 16 所以cd 4 故选c 2 2017黑龙江哈尔滨 9 3分 如图 在 abc中 d e分别为ab ac边上的点 de bc 点f为bc边上一点 连接af交de于点g 则下列结论中一定正确的是 a b c d 答案c根据平行线分线段成比例定理可知 所以选项a b d错误 选项c正确 故选c 3 2016浙江杭州 2 3分 如图 已知直线a b c 直线m分别交直线a b c于点a b c 直线n分别交直线a b c于点d e f 若 则 a b c d 1 答案b a b c 又 故选b 4 2016河北 15 2分 如图 abc中 a 78 ab 4 ac 6 将 abc沿图示中的虚线剪下 剪下的阴影三角形与原三角形的是 答案c选项a与b中剪下的阴影三角形分别与原三角形有两组角对应相等 可得阴影三角形与原三角形相似 选项d中剪下的阴影三角形与原三角形有两边之比都是2 3 且两边的夹角相等 所以两个三角形也是相似的 故选c 5 2018吉林 12 3分 如图是测量河宽的示意图 ae与bc相交于点d b c 90 测得bd 120m dc 60m ec 50m 求得河宽ab m 答案100 解析易知 abd ecd 又 bd 120m dc 60m ec 50m ab 100m 6 2018内蒙古包头 18 3分 如图 在 abcd中 ac是一条对角线 ef bc 且ef与ab相交于点e 与ac相交于点f 3ae 2eb 连接df 若s aef 1 则s adf的值为 答案 解析 3ae 2eb 又ef bc aef abc s aef 1 s abc 在 abcd中 s acd s abc s adf s acd 思路分析根据3ae 2eb 得 由ef bc 得 aef abc 根据相似三角形的性质及s aef 1求得s abc 由s acd s abc及s adf s acd可求得s adf 7 2014黑龙江哈尔滨 20 3分 如图 在 abc中 4ab 5ac ad为 abc的角平分线 点e在bc的延长线上 ef ad于点f 点g在af上 fg fd 连接eg交ac于点h 若点h是ac的中点 则的值为 答案 解析 ef ad fg fd ef垂直平分gd eg ed egd edg agh adb 又 bad hag abd ahg 4ab 5ac ah ac 8 2018江西 14 6分 如图 在 abc中 ab 8 bc 4 ca 6 cd ab bd是 abc的平分线 bd交ac于点e 求ae的长 解析 bd平分 abc abd cbd ab cd abd d abe cde cbd d bc cd ab 8 ca 6 cd bc 4 ae 4 思路分析根据角平分线性质和平行线的性质求出 d cbd 进而可得bc cd 4 通过 abe cde 得出含ae的比例式 求出ae的值 方法总结证明三角形相似的常见方法 平行于三角形的一边的直线与其他两边或其延长线相交 所构成的三角形与原三角形相似 相似的基本图形可分别记为 a 型和 x 型 如图所示 在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形 9 2018内蒙古呼和浩特 24 10分 如图 已知bc ac 圆心o在ac上 点m与点c分别是ac与 o的交点 点d是mb与 o的交点 点p是ad延长线与bc的交点 且 1 求证 pd是 o的切线 2 若ad 12 am mc 求的值 解析 1 证明 连接od op a a adm apo adm apo md po 1 4 2 3 od om 3 4 1 2 又op op od oc odp ocp odp ocp bc ac ocp 90 odp 90 od ap 又od为半径 pd是 o的切线 2 由 1 知pc pd 连接cd am mc am 2mo 2r r为 o的半径 在rt aod中 od2 ad2 oa2 r2 122 9r2 r 3 od 3 mc 6 ap 18 dp 6 又 md po o是mc的中点 点p是bc的中点 bp cp dp 6 又 mc是 o的直径 bdc cdm 90 在rt bcm中 bc 2dp 12 mc 6 bm 6 易知 bcm cdm 即 md 2 思路分析第 1 问需要通过线段的比相等来寻找合适的相似三角形 进而得到角相等 第 2 问需要先求出半径 进而借助相似三角形的性质和判定解决 解题关键解决本题的关键是要寻找合适的相似三角形 并综合运用相关几何知识解决问题 10 2017上海 21 10分 如图 一座钢结构桥梁的框架是 abc 水平横梁bc长18米 中柱ad高6米 其中d是bc的中点 且ad bc 1 求sinb的值 2 现需要加装支架de ef 其中点e在ab上 be 2ae 且ef bc 垂足为点f 求支架de的长 解析 1 ad bc adb 90 d为bc的中点 bc 18米 bd 9米 又ad 6米 ab 3 米 sinb 2 be 2ae ab 3米 be 2米 ef bd ad bc ef ad bfe bda bf 6米 ef 4米 df 3米 在rt def中 de 5 米 11 2016陕西 17 5分 如图 已知 abc bac 90 请用尺规过点a作一条直线 使其将 abc分成两个相似的三角形 保留作图痕迹 不写作法 解析如图 直线ad即为所作 5分 12 2015安徽 23 14分 如图1 在四边形abcd中 点e f分别是ab cd的中点 过点e作ab的垂线 过点f作cd的垂线 两垂线交于点g 连接ga gb gc gd ef 若 agd bgc 1 求证 ad bc 2 求证 agd egf 3 如图2 若ad bc所在直线互相垂直 求的值 解析 1 证明 由题意知ge垂直平分ab ga gb 同理 gd gc 在 agd和 bgc中 ga gb agd bgc gd gc agd bgc ad bc 5分 2 证明 agd bgc agb dgc 在 agb和 dgc中 agb dgc agb dgc 8分 又 age dgf agd egf agd egf 10分 3 如图1 延长ad交gb于点m 交bc的延长线于点h 则ah bh 图1由 agd bgc 知 gad gbc 在 gam和 hbm中 gad gbc gma hmb agb ahb 90 12分 age agb 45 又 agd egf 14分 本小题解法有多种 如可按图2和图3作辅助线求解 过程略 图2图3 深度分析 1 由线段的垂直平分线的性质容易得出ga gb gd gc 由 sas 可证明 agd bgc 再由对应边相等即可证得结论 2 需要运用两次相似 由 agb dgc和 可证 agb dgc 得出比例式 同时可证 agd egf 从而可证 agd egf 3 延长ad交gb于点m 交bc的延长线于点h 则ah bh 由 agd bgc 得出 gad gbc 再求出 agb ahb 90 得出 age agb 45 求出 由 agd egf 即可得出的值 考点相似三角形的判定与性质 c组教师专用题组 1 2018重庆 9 4分 如图 已知ab是 o的直径 点p在ba的延长线上 pd与 o相切于点d 过点b作pd的垂线交pd的延长线于点c 若 o的半径为4 bc 6 则pa的长为 a 4b 2c 3d 2 5 答案a连接do pd与 o相切于点d pdo 90 bc pc pcb 90 do bc pod pbc pa 4 故选a 思路分析利用切线的性质得出 pdo 90 再利用相似三角形的判定和性质求出结果 2 2016重庆 8 4分 abc与 def的相似比为1 4 则 abc与 def的周长比为 a 1 2b 1 3c 1 4d 1 16 答案c因为 abc与 def的相似比为1 4 所以由相似三角形周长的比等于相似比 得 abc与 def的周长比为1 4 故选c 3 2016黑龙江哈尔滨 9 3分 如图 在 abc中 d e分别为ab ac边上的点 de bc be与cd相交于点f 则下列结论一定正确的是 a b c d 答案a de bc ade abc 故选项a正确 故选a 4 2015内蒙古呼和浩特 7 3分 如图 有一块矩形纸片abcd ab 8 ad 6 将纸片折叠 使得ad边落在ab边上 折痕为ae 再将 aed沿de向右翻折 ae与bc的交点为f 则 cef的面积为 a b c 2d 4 答案c在题中的第三个图中 ad 6 ab 4 de 6 因为bf de 所以 abf ade 所以 即 解得bf 4 所以cf 2 所以s cef ce cf 2 5 2015江苏南京 3 2分 如图 在 abc中 de bc 则下列结论中正确的是 a b c d 答案c de bc ade abc 故选项a b错误 根据 相似三角形的周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方 可知选项c正确 选项d错误 故选c 6 2014河北 13 3分 在研究相似问题时 甲 乙同学的观点如下 对于两人的观点 下列说法正确的是 a 两人都对b 两人都不对c 甲对 乙不对d 甲不对 乙对 答案a由题意知新三角形与原三角形的对应角相等 所以两个三角形相似 甲的观点正确 新矩形与原矩形的对应角相等 但对应边的比并不相等 所以新矩形与原矩形不相似 乙的观点也正确 故选a 7 2014贵州贵阳 7 3分 如图 在方格纸中 abc和 epd的顶点均在格点上 要使 abc epd 则点p所在的格点为 a p1b p2c p3d p4 答案c由题图可知 e a 90 要使 abc epd 则 2 所以ep 2ab 6 点p所在的格点为p3 故选c 8 2014辽宁沈阳 8 3分 如图 在 abc中 点d在边ab上 bd 2ad de bc交ac于点e 若线段de 5 则线段bc的长为 a 7 5b 10c 15d 20 答案c由题意可得 ade abc 相似比为 所以bc 3de 15 故选c 9 2014江苏南京 3 2分 若 abc a b c 相似比为1 2 则 abc与 a b c 的面积的比为 a 1 2b 2 1c 1 4d 4 1 答案c相似三角形的面积比等于相似比的平方 故选c 10 2018安徽 14 5分 矩形abcd中 ab 6 bc 8 点p在矩形abcd的内部 点e在边bc上 满足 pbe dbc 若 apd是等腰三角形 则pe的长为 答案3或 解析在矩形abcd中 ad bc 8 在 abd中 由勾股定理可得bd 10 ab ad 根据 pbe dbc可知p点在线段bd上 当ad pd 8时 由相似可得 pe 当ap pd时 p点为bd的中点 pe cd 3 故答案为3或 思路分析根据ab ad及已知条件先判断p点在线段bd上 再根据等腰三角形腰的情况分两种情况 ad pd 8 ap pd 再由相似三角形中对应边的比相等求解即可 难点突破判断p点在线段bd上是解答本题的突破口 11 2018贵州贵阳 15 4分 如图 在 abc中 bc 6 bc边上的高为4 在 abc的内部作一个矩形efgh 使ef在bc边上 另外两个顶点分别在ab ac边上 则对角线eg长的最小值为 答案 解析如图 作am bc于点m 交hg于点n 设he x 由题意知 am 4 bc 6 四边形efgh是矩形 hg ef ahg abc 即 hg eg2 hg2 he2 x2 0 x 4 当x 时 eg2有最小值 最小值为 即eg有最小值 最小值为 方法指导解决本题的方法是设he x 利用相似三角形的性质用x表示hg的长 利用勾股定理 用x表示出eg2 求eg2的最小值即可得eg的最小值 12 2017长沙 16 3分 如图 abo三个顶点的坐标分别为a 2 4 b 6 0 o 0 0 以原点o为位似中心 把这个三角形缩小为原来的 可以得到 a b o 已知点b 的坐标是 3 0 则点a 的坐标是 答案 1 2 解析 点a的坐标为 2 4 以原点o为位似中心 把这个三角形缩小为原来的 由位似变换的性质知 点a 的坐标是 即 1 2 13 2016毕节 19 5分 在 abc中 d为ab边上一点 且 bcd a 已知bc 2 ab 3 则bd 答案 解析 bcd a b b dcb cab bd 14 2017辽宁鞍山 16 3分 在 abc中 ab ac 6 a 2 bdc bd交ac边于点e 且ae 4 则be de 答案20 解析延长ca到f 使得af ab 连接bf 则 f abf bac bac 2 bdc f bdc feb dec feb dec ae 4 ab ac 6 ef 10 ce 2 be de 20 15 2016江苏南京 15 2分 如图 ab cd相交于点o oc 2 od 3 ac bd ef是 odb的中位线 且ef 2 则ac的长为 答案 解析 ef是 odb的中位线 oe od ef bd ac bd ef bd ac ef ac 16 2016湖北武汉 16 3分 如图 在四边形abcd中 abc 90 ab 3 bc 4 cd 10 da 5 则bd长为 答案2 解析如图 连接ac 过点d作de bc 交bc的延长线于e abc 90 ab 3 bc 4 ac 5 cd 10 da 5 ac2 cd2 ad2 acd 90 acb dce 90 acb bac 90 bac dce 又 abc dec 90 abc ced 即 ce 6 de 8 在rt bed中 bd 2 17 2018湖北武汉 23 10分 在 abc中 abc 90 1 如图1 分别过a c两点作经过点b的直线的垂线 垂足分别为m n 求证 abm bcn 2 如图2 p是边bc上一点 bap c tan pac 求tanc的值 3 如图3 d是边ca延长线上一点 ae ab deb 90 sin bac 直接写出tan ceb的值 解析 1 证明 m n abc 90 mab mba nbc mba 90 mab nbc abm bcn 2 过点p作pm ap交ac于点m 过点m作mn pc交bc于点n 则 pmn apb tan pac 设pn 2t 则ab t bap apb mpc apb 90 bap c mpc c cn pn 2t 易得 abp cba ab2 bp bc t 2 bp bp 4t bp t bc 5t tanc 3 在rt abc中 sin bac tan bac 过点a作ag be于点g 过点c作ch be交eb的延长线于点h deb 90 ch ag de 同 1 的方法得 abg bch 设bg 4m ch 3m ag 4n bh 3n gh bg bh 4m 3n ab ae ag be eg bg 4m n 2m eh eg gh 4m 4m 3n 8m 3n 8m 6m 14m 在rt ceh中 tan ceb 思路分析 1 利用同角的余角相等判断出 mab nbc 即可得出结论 2 作pm ap mn pc 先判断出 pmn apb 得出 设pn 2t 则ab t 再判断出 abp cba 设pn 2t 根据相似三角形的性质可求得bp t 则bc 5t 即可得出结论 3 作ag be ch be 先判断出 同 1 的方法得 abg bch 所以 设bg 4m ch 3m ag 4n bh 3n 进一步得出关于m n的等式 解得n 2m 最后得出结论 18 2018陕西 20 7分 周末 小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽 测量时 他们选择了河对岸岸边的一棵大树 将其底部作为点a 在他们所在的岸边选择了点b 使得ab与河岸垂直 并在b点竖起标杆bc 再在ab的延长线上选择点d 竖起标杆de 使得点e与点c a共线 已知 cb ad ed ad 测得bc 1m de 1 5m bd 8 5m 测量示意图如图所示 请根据相关测量信息 求河宽ab 解析 cb ad ed ad abc ade 90 bac dae abc ade 3分 5分 bc 1m de 1 5m bd 8 5m ab 17m 河宽ab为17m 7分 思路分析首先根据 abc ade bac dae判定 abc ade 再根据相似三角形的性质得出 进而可求得ab的值 方法指导解与三角形有关的实际应用题时应注意的事项 审题 结合图形通读题干 第一时间锁定采用的知识点 如 观察题图是否含有已知度数的角 如果含有 考虑利用锐角三角函数解题 如果仅涉及三角形的边长 则采用相似三角形的性质解题 筛选信息 由于实际问题文字阅读量较大 因此筛选有效信息尤为关键 构造图形 只要是与三角形有关的实际问题都会涉及图形的构造 如果题干中给出了相应的图形 则可直接利用所给图形进行计算 必要时可添加辅助线 若未给出图形 则需要通过 中获取的信息构造几何图形进行解题 19 2017湖北武汉 23 10分 已知四边形abcd的一组对边ad bc的延长线相交于点e 1 如图1 若 abc adc 90 求证ed ea ec eb 2 如图2 若 abc 120 cos adc cd 5 ab 12 cde的面积为6 求四边形abcd的面积 3 如图3 另一组对边ab dc的延长线相交于点f 若cos abc cos adc cd 5 cf ed n 直接写出ad的长 用含n的式子表示 解析 1 证明 adc 90 edc adc 180 edc 90 又 abc 90 edc abc 又 e为公共角 edc eba ed ea ec eb 2 过点c作cf ad 交ae于点f 过点a作ag eb 交eb的延长线于点g 在rt cdf中 cos fdc 又cd 5 df 3 cf 4 又s cde 6 ed cf 6 ed 3 ef ed df 6 abc 120 g 90 g bag abc bag 30 在rt abg中 bg ab 6 ag 6 cf ad ag eb efc g 90 又 e为公共角 efc ega eg 9 be eg bg 9 6 s四边形abcd s abe s ced be ag 6 9 6 6 6 75 18 3 ad 详解 过点c作ch ad 交ae于点h 则ch 4 dh 3 eh n 3 tan e 过点a作ag df 交df于点g 设ad 5a 则dg 3a ag 4a fg fd dg 5 n 3a 由ch ad ag df e f知 afg ceh a ad 深度解析本题属于与相似三角形有关的几何综合题 考查了相似三角形的判定和性质 直角三角形的30度角的性质等知识 同时也考查了 转化 的数学思想 解题的关键是学会添加常用辅助线 构造常见的相似三角形基本图形来解决问题 对于第 2 问 还可以运用 转化 的数学思想来解题 通过作辅助线转化为图1后直接运用第 1 问的结论 结合勾股定理即可求得四边形的面积 20 2015佛山 24 12分 如图 在 abcd中 对角线ac bd相交于点o 点e f是ad上的点 且ae ef fd 连接be bf 它们分别与ao相交于点g h 1 求eg bg的值 2 求证 ag og 3 设ag a gh b ho c 求a b c的值 解析 1 四边形abcd是平行四边形 ad bc ad bc aeg cbg ae ef fd bc ad 3ae gc 3ag bg 3eg eg bg 1 3 4分 2 证明 由 1 知gc 3ag ac 4ag ao ac 2ag go ao ag ag 7分 3 ae ef fd bc ad 3ae af 2ae ad bc afh cbh 即ah ac 由 2 知ac 4ag a ag ac b ah ag ac ac ac c ao ah ac ac ac a b c 5 3 2 12分 21 2015江苏南京 20 8分 如图 abc中 cd是边ab上的高 且 1 求证 acd cbd 2 求 acb的大小 解析 1 证明 cd是边ab上的高 adc cdb 90 又 acd cbd 4分 2 acd cbd a bcd 在 acd中 adc 90 a acd 90 bcd acd 90 即 acb 90 8分 22 2015山东威海 23 10分 1 如图 已知 acb dce 90 ac bc 6 cd ce ae 3 cae 45 求ad的长 2 如图 已知 acb dce 90 abc ced cae 30 ac 3 ae 8 求ad的长 图 图 解析 1 连接be 1分 图 acb dce 90 acb ace dce ace 即 bce acd 又 ac bc dc ec acd bce ad be 3分 ac bc 6 ab 6 4分 bac cae 45 bae 90 在rt bae中 ab 6 ae 3 be 9 ad 9 5分 2 连接be 6分 图 在rt acb和rt dce中 abc dec 30 tan30 acb dce 90 acb bcd dce bcd 即 acd bce acd bce 8分 bac 60 cae 30 bae 90 在rt acb中 ac 3 abc 30 ab 6 在rt bae中 ab 6 ae 8 be 10 9分 ad 10分 23 2014安徽 17 8分 如图 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中 给出了格点 abc 顶点是网格线的交点 1 将 abc向上平移3个单位得到 a1b1c1 请画出 a1b1c1 2 请画一个格点 a2b2c2 使 a2b2c2 abc 且相似比不为1 解析 1 作出 a1b1c1 如图所示 4分 2 本题是开放题 答案不唯一 只要作出的 a2b2c2满足条件即可 如图 8分 24 2014浙江绍兴 20 8分 课本中有一道作业题 有一块三角形余料abc 它的bc 120mm 高ad 80mm 要把它加工成正方形零件 使正方形的一边在bc上 其余两个顶点分别在ab ac上 问加工成的正方形零件的边长为多少mm 小颖解得此题的答案为48mm 小颖善于反思 她又提出了如下的问题 1 如果原题中所要加工的零件是一个矩形 且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成 如图 此时 这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm 请你计算 2 如果原题中所要加工的零件只是一个矩形 如图 这样 此矩形零件的两条边长就不能确定 但这个矩形面积有最大值 求达到这个最大值时矩形零件的两条边长 图 图 x 40 2 2400 当x 40 即pq 40mm pn 60mm时 矩形面积最大 考点相似三角形的判定与性质 三年模拟 a组2016 2018年模拟 基础题组 1 2018广州海珠统考 4 如果两个相似正五边形的边长比为1 10 则它们的面积比为 a 1 2b 1 5c 1 100d 1 10 答案c相似多边形的面积比等于相似比的平方 故选c 2 2018东莞校级一模 10 如图 abc与 aef中 ab ae bc ef b e ab交ef于d 给出下列结论 c e ade fdb afe afc fd fb 其中正确的结论是 a b c d 答案b在 abc与 aef中 abc aef sas af ac afe c afc c afe afc 正确 由 b e ade fdb 可知 ade fdb 正确 无法得到 c e fd fb 综上可知 正确 故选b 3 2016广州海珠模拟 7 如图 abc和 a1b1c1是以点o为位似中心的位似三角形 若c1为oc的中点 ab 4 则a1b1的长为 a 1b 2c 4d 8 答案b c1为oc的中点 a1b1c1与 abc的位似比为 a1b1c1与 abc的相似比为 ab 4 a1b1 2 故选b 4 2016深圳实验中学二模 6 如图 l1 l2 l3 直线a b与l1 l2 l3分别相交于点a b c和点d e f 若 de 4 则ef的长是 a b c 6d 10 答案c l1 l2 l3 ef 6 故选c 5 2017广州海珠三模 9 如图所示 一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的 矩形abcd沿ef对开后 再把矩形efcd沿mn对开 依次类推 若各种开本的矩形都相似 那么等于 a 0 618b c d 2 答案b设ab为x ad为y 各种开本的矩形都相似 则有 即 x2 y2 x 0 y 0 故选b 6 2017珠海模拟 7 如图 abcd中 点e是边ad的中点 ec交对角线bd于点f 则ef fc等于 a 3 2b 3 1c 1 1d 1 2 答案d平行四边形abcd中 ad bc且ad bc 因为e为ad的中点 所以de ad bc 因为ad bc 所以 def bcf 所以ef fc de bc 1 2 故选d 7 2017深圳十一校联考 6 如图 在 abc中 ad be是两条中线 则s edc s abc a 1 2b 2 3c 1 3d 1 4 答案d ad be是 abc的两条中线 de是 abc的中位线 de ab edc abc s edc s abc 1 4 故选d 8 2016广州海珠二模 8 如图 下列条件不能判定 adb abc的是 a abd acbb adb abcc ab2 ad acd 答案d a a 又 abd acb adb abc a a 又 adb abc adb abc a a 又ab2 ad ac 即 adb abc 若 则需 a b d不能判定 adb abc 故选d 9 2018广州海珠统考 12 如图 在平面直角坐标系中 点a的坐标为 1 2 ab x轴于点b 以原点o为位似中心 将 oab放大为原来的2倍得到 oa1b1 且点a1在第二象限 则点a1的坐标为 答案 2 4 解析因为点a的坐标为 1 2 以原点o为位似中心 将 oab放大为原来的2倍 且点a1在第二象限 所以横坐标和纵坐标都将变为原来的2倍 故点a1的坐标为 2 4 10 2018广州越秀模拟 14 一天 小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度 在同一时刻 小青的影长为2米 旗杆的影长为20米 若小青的身高为1 60米 则旗杆的高度为米 答案16 解析如图 oa da ce da ced oab 90 cd ob cda oba aob ecd 即 解得oa 16 11 2017中山纪念中学模拟 13 如图 平行于bc的直线de把 abc分成的两部分面积相等 则 答案 解析 de bc ade b 又 a a ade abc 12 2017茂名三模 12 如图 正方形abcd中 e f分别为ab bc的中点 af与de相交于点o 则 答案 解析易证 dae abf ade baf 四边形abcd是正方形 baf oad 90 ade oad 90 aod 90 显然 b 90 aod b 又 ado baf aod fba 13 2016梅州二模 13 如图 在 abc中 ab 9 ac 12 bc 18 d为ac上一点 dc ac 在ab上取一点e得 ade 若图中两个三角形相似 则de的长是 答案6或8 解析 dc ac ad ac ac 12 ad 4 若 ade acb 则 de 6 若 ade abc 则 de 8 综上 de的长是6或8 14 2018江门二中3月月考 21 如图所示 在5 5的方格纸上建立平面直角坐标系 a b两点的坐标分别是a 1 0 b 0 2 1 请以格点为顶点画出 def 使 def满足 def oab 且 def与 oab的相似比是2 2 请写出d e f的坐标 解析 1 如图所示 def即为所求 2 由图可知 d 2 0 e 4 0 f 2 4 注 本题答案不唯一 15 2016乐昌调考 20 如图 在 abc中 ab ac 点p d分别是bc ac边上的点 且 apd b 1 求证 ac cd cp bp 2 若ab 10 bc 12 当pd ab时 求bp的长 解析 1 证明 ab ac b c apc bap b apc apd dpc 且 apd b bap dpc abp pcd ab cd cp bp ab ac ac cd cp bp 2 pd ab apd bap 易知 apd c bap c 又 b b bap bca ab 10 bc 12 bp 一 选择题 每小题3分 共6分 b组2016 2018年模拟 提升题组 时间 40分钟分值 50分 1 2016汕尾二模 8 如图 已知cd是rt abc的斜边ab上的高 则下列各式不正确的是 a bc2 bd abb cd2 bd adc ac2 ad abd bc ad ac bd 答案d由 acd abc得 ac2 ad ab 由 bcd bac得 bc2 bd ab 由 acd cbd得 cd2 bd ad a b c三项均正确 故选d 思路分析题图中有三对相似三角形 根据相似列比例式 进而得等积式 判断各选项正误 易错警示读题不细 将 不正确 看成 正确 错选a项 2 2016陆丰三模 9 如图 以点o为位似中心 将 abc放大得到 def 若ad oa 则 abc与 def的面积之比为 a 1 2b 1 4c 1 5d 1 6 答案b ad oa abc与 def的位似比为 abc与 def的相似比为 abc与 def的面积比为 故选b 二 填空题 每小题4分 共8分 3 2017顺德模拟 12 在rt abc中 bac 90 ab 3 m为边bc上的点 连接am 如图所示 如果将 abm沿直线am翻折后 点b恰好落在边ac的中点处 那么点m到ac的距离是 答案2 解析如图 作mn ac于n 翻折后点b落在ac的中点处 ac 2ab 6 由翻折知 1 2 45 易证mn ba 3 2 1 mn an 显然 abc nmc 设mn x 则an x nc 2x an nc x 2x 6 x 2 即mn 2 4 2016深圳罗湖模拟 14 如图 在rt abc中 ac 8 bc 6 直线l经过点c 且l ab p为l上一个动点 若 abc与 pac相似 则pc 答案6 4或10 解析在rt abc中 ab 10 当 apc bca时 pc 6 4 当 apc cba时 apc cba pc ab 10 三 解答题 共36分 5 2018福田一模 22 如图 在 abc中 o是ac上一点 o与bc ab分别切于点c d 与ac相交于点e 连接bo 1 求证 ce2 2de bo 2 若bc ce 6 则ae ad 解析 1 证明 连接cd od cd交ob于点f bc与 o相切于c bco 90 ec为 o的直径 cde 90 bco cde bc bd分别与 o相切于c d bc bd oc od bo垂直平分cd 从而在rt bco中 由cf bo得 cbo dce