【状元之路】高中数学 柯西不等式与排序不等式单元测评 新人教A版选修45.doc

单元测评(三)柯西不等式与排序不等式(时间：90分钟满分：120分)第卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分1若3x22y21，则3x2y的取值范围是()a0，b，0c， d5,5解析：|3x2y|，从而3x2y .答案：c2若x、y、m、n(0，)，且1，则xy的最小值是()amn b4mnc()2 d. 解析：xy(xy)2()2.答案：c3若2x3y4z10，则x2y2z2取到最小值时的x，y，z的值为()a.， b.，c1， d1，解析：当且仅当时，x2y2z2取到最小值，联立可得x，y，z.答案：b4已知a，b，x1，x2为互不相等的正数，若y1，y2，则y1y2与x1x2的关系为()ay1y2x1x2 by1y2x1x2cy1y2x1x2 d不能确定解析：a，b，x1，x2为互不相等的正数，y1y2x1x2.答案：c5若x、y、zr，且1，则x的最小值是()a5 b6c8 d9解析：x29，故所求最小值为9.答案：d6若a、b、cr，且abc1，则的最大值是()a1 b.c3 d9解析：因为3(abc)(111)(abc)()2，所以，故所求最大值为.答案：b7若x1，x2，xn取不同的正整数，则m的最小值是()a1 b2c1 d1解析：设a1，a2，an是x1，x2，xn的一个排列，且满足a1a2an，故a11，a22，ann.又因为1，所以a11123n1，故所求最小值为1.答案：c8若xyz1，则的最小值为()a. b.c. d.答案：c9m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的和为117，对所有这样的m与n,3m2n的最大值是()a35 b37c38 d41答案：b10已知x、y、z是非负实数，若9x212y25z29，则函数u3x6y5z的最大值是()a9 b10c14 d15解析：(3x6y5z)212()2()2(3x)2(2y)2(z)29(9x212y25z2)81，3x6y5z9.故u3x6y5z的最大值为9.答案：a第卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11设x，yr，则(xy)的最小值是_解析：(xy)2()252.答案：5212若xyz6，则x2y2z2的最小值为_解析：(121212)(x2y2z2)(xyz)262，x2y2z212.故x2y2z2的最小值为12.答案：1213已知x、y、z为正数，且xyz(xyz)1，则(xy)(yz)的最小值为_答案：214若x1、x2、x3大于0，且x1x2x31，则x1xx3x1x2x的最大值为_答案：三、解答题：本大题共4小题，满分50分15(12分)已知实数a、b、c满足a2bc1，a2b2c21，求证：c1.证明：因为a2bc1，a2b2c21，所以a2b1c，a2b21c2.由柯西不等式：(1222)(a2b2)(a2b)2，5(1c2)(1c)2，整理得，3c2c20，解得c1.所以c1.(12分)16(12分)已知abc1，且a、b、c是正数，求证：9.证明：左边2(abc)(ab)(bc)(ca)(111)29.(或(ab)(bc)(ca)332 2 2 9)9.(12分)17(12分)设x0，求证：1xx2xn(2n1)xn.证明：(1)当x1时，1xx2xn，由排序原理：顺序和反序和，得11xxx2x2xnxn1xnxxn1xn1，即：1x2x4x2n(n1)xn.(4分)又x，x2，xn,1为序列1，x，x2，xn的一个排列，乱序和反序和，得1xxx2xn1xnxn11xnxxn1xn1xxn1，得xx3x2n1xn(n1)xn.(8分)将和相加得：1xx2x2n(2n1)xn，(2)当0x1时，1xx2xn，成立，也成立由(1)(2)得，原不等式成立(1