常微分方程教案(王高雄)第二章.pdfVIP

第二章 目录 内容提要及其它 1 第二章 一阶微分方程的初等解法 初等积分 2 第一节 变量分离方程与变量变换 2 一 变量分离方程 2 二 可化为变量分离方程的类型 6 1 齐次方程 6 2 可化为变量分离方程 7 三 应用例题选讲 10 第二节 线性方程与常数变易法 11 第三节 恰当方程与积分因子 15 一 恰当方程 15 二 积分因子 20 第四节 一阶隐含方程与参数表示 23 一 可以解出y 或x 的方程 24 二 不显含y 或x 的方程 25 本章小结及其它 27 内容提要及其它内容提要及其它 授课题目 章 节 第二章 一阶微分方程的初等解法 教材及主要参考 书 注明页数 教材 教材 常微分方程 第三版 王高雄等 高等教育出版社 2006 年 p30 74 主要参考书 主要参考书 1 常微分方程 东北师范大学微分方程教研室编 高等教育出版社 2005 p1 70 2 常微分方程教程 丁同仁等编 高等教育出版社 1991 p1 20 3 偏微分方程数值解法 第 2 版 陆金甫 关治 清华大学出版社 2004 p1 12 4 常微分方程习题解 庄 万主编 山东科学技术出版社 2003 p28 169 5 微分方程模型与混沌 王树禾编著 中国科学技术大学出版社 1999 p15 158 6 差分方程和常微分方程 阮 炯编著 复旦大学出版社 2002 p38 124 目的与要求 目的与要求 掌握变量分离方程 齐次方程 线性方程 伯努利方程和恰当方程的解法 理解变量变换 思想方法和积分因子方法 并能应用于求解一些特殊的常微分方程 掌握四类典型的一阶隐方 程的解法 能熟练求解变量分离方程 齐次方程 线性方程 伯努利方程 恰当方程和四类典型的一 阶隐方程 领会变量变换思想方法和积分因子方法 并能应用于求解一些特殊的常微分方程 教学内容与时间安排 教学方法 教学手段 教学内容与时间安排 教学方法 教学手段 教学内容教学内容 第 1 节 变量分离方程与变量变换 第 2 节 线性方程与常数变易法 第 3 节 恰当方程与积分因子 第 4 节 一阶隐方程与参数表示 可以解出 或yx 的方程 不显含 或yx 的方程 时间安排 时间安排 8 学时 教学方法 教学方法 讲解方法 教学手段 教学手段 传统教学方法与多媒体教学相结合 教学重点分析 教学重点分析 熟悉各种类型方程的初等解法 并且能正确而又敏捷地判断方程的类型 从而用初等方法 求解 教学难点分析 教学难点分析 本章的教学难点是判断微分方程的类型 以及方程的转化 即把能转化为用初等方法求解 的方程 2 1 第二章第二章 一阶微分方程的初等解法 初等积分 一阶微分方程的初等解法 初等积分 一阶微分方程的初等解法 即把微分方程的求解问题化为积分问题 用数学方法经过有限次代数运 算和作有限次不定积分 将微分方程的解用初等函数或初等函数的待积式来表达 这种方法 习惯上称 为初等积分法或求积法 能用初等积分法求解的微分方程称为可积方程 初等积分法的实质 就是尽可能设法把所遇到的微分方程之求解问题转化为积分 求原函数 问题 应当指出 只有少数特殊类型的微分方程 才可能用初等积分法求解 在多数情况下 初等积分法是不 适用的 因此 对于微分方程中常见的类型在什么情况下能用初等积分法求解 是一个很重要而又有实 际意义的问题 本章将着重研究一阶微分方程 yxfy 中几类可积方程的求解问题 同时对一阶隐式方程和高阶方程中的某些特殊可积函数类型的求解问题 也可作适当地介绍 第一节第一节 变量分离方程与变量变换变量分离方程与变量变换 一 变量分离方程一 变量分离方程 形如 yxfy 2 1 的方程 称为变量分离方程 这里 yxf 分别是yx 的连续函数 下面讨论方程 2 1 的解法 如果0 y 可将 2 1 改写为 dxxf y dy 这样 变量就 分离 出来了 两边积分 得到 cdxxf y dy 2 2 这里把积分常数明确写出来 而把c dxxf y dy 分别理解为 1 xf y 的某一个原函数 把 2 2 作为确定是yx的隐函数的关系式 于是 对于任一常数c 微分 2 2 的两边 就知 2 2 所确定的隐函数满足方程 2 1 因而 2 2 是 2 1 的通解 2 2 注注 如果存在 使 0 y0 0 y 直接代入 可知 0 yy 也是 2 1 的解 可能它不包含在方程 的通解 2 2 中 必须予以补上 例例 1 求解方程 y x dx dy 解 将变量分离 得到 xdxydy 两边积分 有 222 22 cxy 因而 通解为 cyx 22 这里是任意正常数 或者 解出cy 写出显函数形式的解 2 xcy 例例 2 求解方程xy dx dy cos 2 并求满足初始条件 当0 x时 1 y的特解 解 将变量分离 得到 xdx y dy cos 2 两边积分 有 cx y sin 1 因而 通解为 cx y sin 1 这里是任意正常数 此外 方程还有解c0 y 把初始条件当时 代入通解中 得 0 x1 y1 c 因而 所求特解为 x y sin1 1 例例 3 求yxp dx dy 的通解 其中是 xpx的连续函数 解 将原方程进行变量分离 得到 dxxp y dy 两边积分 即得 2 3 cdxxpy ln 这里是任意常数 由对数定义 即有 cdxxp ey 即 dxxpce ey 令 c ec 得到 dxxp cey 2 4 此外 显然也是 2 3 的解 如果在 2 4 中允许0 c 则0 y也就包括在 2 4 中 其中c 是任意常数 例例 4 求方程 x y dx dy 2 5 的通解 解 将方程 2 5 改写为 对称 形式 0 xdyydx 2 6 当时 分离变量后积分 依次得 xy 00 x dx y dy 1 lnc x dx y dy 0 1 c 1 lnlnlncxy 0 1 c 取指数函数 得到 xcy 1 0 1 c 或 cxxcy 1 2 7 其中可以取正值也可以取负值 但不能为零 因为在积分过程中的积分常数时无意义 c0 1 c 讨论 和的情形 0 0 xy 0 0 yx 2 4 从方程 2 6 或 2 5 不难看出 0 y是它的一个解 这个解是由于分离变量时用除而失掉的 如 果认定常数可以取值0 c 那么失掉的解0 y就包含在解 2 7 中 故方程 2 6 即 2 5 的通解 为 cxy 2 8 其中是任意常数 它可以在c 1 R上任意取值 这样一来 虽然在积分过程中 对积分常数作了一定限制 但最终结果表明 这个限制将被取消而不影响积分常数的任意性 当时 方程 2 5 的右端无意义 应该考虑方程 0 x y x dy dx 此方程的 对称 形式仍然是方程 2 6 显然也是方程 2 6 的一个解 而这个解不能从通解 2 7 中得到 因为只有0 x c时才 有 然而积分常数c虽然可以任意取值 但所取的值都必须是有限制 所以说通解 2 7 中不包 括解 如果允许c 那么也就包括在通解 2 7 中 0 x 0 x 所以 这个结果与用积分曲线方法求的解一样 例例 5 R L 电路电路 参见本书 P4 例 2 如图 1 2 的 R L 电路 它包含电感 L 电阻 R 和电源 E 设0 t时 电路中没有电流 问题 当开关 K 合上后 电流 I 应该满足的微分方程 基本假定 假定 R L E 都是常数 解 第一步建立微分方程解 第一步建立微分方程 分析 引用关于电路的基尔霍夫 Kirchhoff 第二定律 在闭合回路中 所有支路上的电压的代数 和等于零 又有电学中的基本知识得 经过电阻 R 的电压降是 RI 而经过电感 L 的电压降是 dt dI L 于是 由基尔霍夫 Kirchhoff 第二定律得到 0 RI dt dI LE 1 8 或 L E I L R dt dI 1 8 求出的应当满足的条件 tII 当时 1 9 0 t0 I 如果假定在时 电源突然短路 因而 E 变为零 此后亦保持为零 那么电流 I 满足 方程 0 tt 0 II 2 5 0 I L R dt dI 1 10 及条件 当时 1 11 0 tt 0 II 第二步 利用分离变量方法求解微分方程 仿例 1 的方法 利用分离变量法 联合 1 10 和 1 11 可以求解得到 t L R eCI 0 其中 0 0 t L R eC 二 可化为变量分离方程的类型二 可化为变量分离方程的类型 有的微分方程从表面上看 不是可分离变量的微分方程 但是 通过适当的变量替换 就可以很容 易地化为 变量分离方程 在这里 介绍两类这样的方程 1 齐次方程 齐次方程 形如 x y g dx dy 2 9 的方程 称为齐次方程齐次方程 这里是的连续函数 下面讨论齐次 2 9 的求解方法 该方法的要点是 利用变量代换将 2 9 化为变量分离方程 利用变换来解微分方程是一种常用的技巧 作变量变换 x y u 2 10 即uxy 于是 求复合函数的导数 u dx du x dx dy 2 11 将 2 10 和 2 11 代入 2 9 则原方程变为 ugu dx du x 整理后 得到 x uug dx du 2 12 于是方程 2 12 就是一个分离变量方程 例例 6 求解方程 tan x y x y dx dy 2 6 解 解题要点 作变量变换 x y u 求复合函数的导数 整理 分离变量微分方程 利用分离变量方法求解该微分方程 注意 讨论零解是否在通解中 结果表明零解在通解中 零解是否在通解中 结果表明零解在通解中 例例 7 求解方程 0 2 xyxyyyxy 解 解题要点 变形 改写原方程为齐次微分方程 0 ln xyxyyxy dx d 变量变换 xyu 则 x u y 代入原方程即可得到可分离变量方程 uu dx du xln 分离变量后积分 依次得到 x dx uu du ln cxu ln cx eu 原方程的通解为 cxcx e x yexy 1 或 2 7 下面再介绍一个可分离变量方程的应用 2 可化为变量分离方程 可化为变量分离方程 形如 222 111 cybxa cybxa dx dy 2 13 的方程经过适当地变量变换可转化为变量分离方程 变量分离方程 均为常数 222111 c b a c b a 下面分三种情形来讨论 1 的情形 0cc 21 此时 2 13 变为齐次方程 于是可用第一类方程的求解方法来求解 事实上 有 x y g x y ba x y ba ybxa ybxa dx dy 22 11 22 11 2 0 ba ba 22 11 即 2 1 2 1 b b a a 的情形 事实上 此时有 2 1 2 1 b b a a 可设比值为 即kk b b a a 2 1 2 1 则 2 13 变为 ybxa f cybxa c ybxa k cybxa cybxa dx dy 22 222 122 222 111 2 14 令 则方程 2 14 可化为 ybxau 22 u fba dx du 22 即为分离变量方程 3 0 ba ba 22 11 及不全为零的情形 21 c c 通过分析知道 此时方程 2 13 右端的分子 分母都是的一次式 因此 y x 0cybxa 0cybxa 222 111 2 15 2 8 代表xy平面上两条相交的直线 设交点的坐标 显然 0 或0 因为否则0 即交点为坐标原点 此时必有 就变为 第一种情形了 1 于是 根据解析几何的知识 要将所考虑的情形化为情形 1 只需作坐标平 移即可 即把坐标原点移至 0cc 21 0 0 就行了 事实上 若令 yY xX 2 16 则 2 15 化为 0YbXa 0YbXa 22 11 从而 2 13 变为 X Y g YbXa YbXa dX dY 22 11 2 17 大家分析知道 2 17 为齐次方程 因此 有求解这种情形的一般步骤为 解联立代数方程 2 15 设其解为 y x 作平移变换 2 16 将方程化为齐次方程 2 17 利用齐次方程的求解方法求解 代回原变量 得到原方程的解 推广 一 求解 2 13 的方法和步骤可用于求解更一般形式的方程 cybxa cybxa f dx dy 222 111 一 以下形式的方程均可以通过适当的变量变换变为变量分离方程 cbyax f dx dy 0dy xy xgdx xy yf xy f dx dy x 2 x y xf dx dy 2 0 ydxxdy y x N ydyxdx y x M 其中为的齐次函数 但次数可以不 同 y x N y x M 例例 9 求解方程 3yx 1yx dx dy 2 18 2 9 解 1 解联立方程 03yx 01yx 得 令 2y 1x 2yY 1Xx 代入原方程 2 18 则有 YX YX dX dY 再令 X Y u 即 uXY 则 2 18 化为 du uu21 u1 X dX 2 两边积分 得 c 1u2ulnXln 22 记 1 c ce 并代回原变量 就得 1 22 cXXY2Y 即 1 22 c 1x 1x 2y 2 2y 此外 容易验证 即 也是方程 2 18 的解 01u2u 2 0XXY2Y 22 所以 原方程的通解为 c 1x 1x 2y 2 2y 22 其中c是任意常数 三 应用例题选讲三 应用例题选讲 例例 10 探照灯反射镜面的形状 问题 问题 在制造探照灯的反射镜面时 总是要求将点光源射出的光线平行地反射出去 以保证探照灯 有良好的方向性 试求反射镜面的几何形状 解 分析 解 分析 取光源所在处为坐标原点 而轴平行于 的反射方向 如图 2 3 设所求曲面由曲线 x光 0z x fy 上 的 绕轴旋转而成 则求反射镜面的问题归结为平面 的曲线y 问题 xxy x f 2 10 假设 假设 过曲线上任一点作切线 则由光的反射定律 入射角等于反射角 容易得 到 x fy y x MNT 21 从而 ONOM 注意到 NP MP tan dx dy 2 及 22 yxOM yMP xOP 就得到函数所满足的微分方程 x fy 22 yxx y dx dy 这就是齐次方程 以下利用齐次方程的求解方法即可得到问题的解 注意 在求解齐次方程时除了作变换 x y u 以外 还可以作变换 y x v 也可以将原方程化为可分离变 量方程 例例 11 已知 试求函数的一般表达式 0 x 1dt t f x f x 0 x f 解 解题思路 设法变成微分方程 利用变上限积分所确定的定积分是变上限的函数 于是 假定 再利用变上限定积分与被积函数的关系 有 x 0 dt t f x F x f dt t f x F x 0 所以原方程化为 1 x F x F 上述方程就是一个可分离变量微分方程 则可以用可分离变量方程的方法求解 第二节第二节 线性方程与常数变易法线性方程与常数变易法 一阶线性微分方程 0 x cy x b dx dy x a 在的区间上可以写成 0 x a x Qy x P dx dy 2 19 2 11 今后主要讨论形如 2 19 的方程 对于有零点的情形分别在 x a0 x a 的相应区间上讨论 这里假 设在考虑的区间上是的连续函数 x Q y x Px 若 2 19 变为 0 x Q y x P dx dy 2 3 2 3 称为一阶齐次线性方程 若 2 19 变为一阶非齐次线性方程 一阶非齐次线性方程 0 x Q 2 3 是分离变量方程 已在前一节讨论过了 它的通解为 dx x P cey 这里c是任意常数 所以 主要讨论非齐次线性方程 2 19 的通解的求法 通过分析 不难看出 2 3 是 2 19 的 特殊情形 两者既有联系又有差别 因此 可以设想它们的解之间也应该有某种联系而又有区别 于是 我们试图从方程 2 3 的通解 2 4 的形式去求出方程 2 19 的通解 显然 如果 2 4 中恒保持 为常数 它必不可能是 2 19 的通解 故 我们假想 在 2 4 中 将常数变为的待定函数 使它满足方程 2 19 从而求出 为此 令 c cx x c x c dx x P e x cy 2 20 对 2 20 两端微分 得到 dx x Pdx x P e x P x ce dx x dc dx dy 2 21 把 2 20 2 21 代入 2 19 得到 x Qe x c x Pe x P x ce dx x dcdx x Pdx x Pdx x P 即 dx x P e x Q dx x dc 积分得到 c e x Q x c dx x P 2 22 这里c 是任意常数 将 2 22 代入 2 20 得到 c e x Q dx x Py dx x P 2 23 这就是 2 19 的通解 这种将常数变易为待定函数的方法 通常称为常数变易法 常数变易法 注意 注意 1 常数变易法的本质实际上是一种变量变换方法变量变换方法 通过变换 2 20 将原方程变为可分离变量方 程 2 常数变易方法的特点强调求解过程 强调求解过程 例例 12 求方程 1nx 1x eny dx dy 1x 的通解 这里为常数 n 2 12 解 步骤 改写原方程为标准的一阶非齐次线性方程 求对应齐次方程的通解 应用常数变易法求原方程的通解 例例 13 求方程 2 yx2 y dx dy 的通解 解 问题 原方程不是未知函数的线性方程 于是设法改写原方程为非齐次线性方程 所以 有 y yx2 dy dx 2 即 x y 2 y dy dx 2 24 如果把看成未知函数 看作自变量 这样 对于及xyx dy dx 来说 方程 2 24 就是一个线性方程 下 面的求解过程就是和标准的一阶非齐次线性方程的求解方法一样了 步骤 改写原方程为标准的一阶非齐次线性方程 求对应齐次方程的通解 应用常数变易法求原方程的通解 例例 14 一类特殊方程的求解 形如 n y x Qy x P dx dy 2 25 的方程 称为伯努利 伯努利 Bernoulli 方程 方程 这里为的连续函数 是常数 x Q x Px1 0n 解 利用变量变换可将伯努利方程化为线性方程 事实上 对于0y 用乘 2 25 的两端 得 到 n y x Qy x Py dx dy y n1n 2 26 引入变量变换 2 27 n1 yz 从而 x Q n1 z x P n1 dx dz 2 28 2 28 是一阶非齐次线性方程 于是可以利用上述求解一阶非齐次线性方程的方法求解 然后代回原 来的变量 得到原方程的通解 主意 在时 还有解0n 0y 例例 15 求方程yx2y4 xy 2 的通解 解 改写原方程为 2 13 2 1 xy2y x 4 y 这是一个伯努利 伯努利 Bernoulli 方程 方程 2 1 n 作变换 2 1 2 1 1 n1 yyyu 于是 有 dx dy y 2 1 dx du 2 1 将此代入原方程 整理得到一阶非齐次线性方程 xu x 2 dx du 它的通解为 cx lnxu 2 将换成u 2 1 y 便得到原方程的通解 24 cx lnxy 例例 16 黎卡堤 Riccati 方程 x fy x qy x p y 2 2 29 其中是在区间内的已知连续函数 x f x q x p和 b a 分析 方程 2 29 看起来很简单 但是早在 1841 年法国数学家刘维尔 Liouville 就已经证明了 这个方程 在一般情况下 它的解是不能用初等函数的有限次积分以及有限次代数运算而而得到 但是 在特殊情况下 可以求出黎卡堤方程的解来 即在知道黎卡堤方程的一个或几个特解的情况 下 就可以求出黎卡堤方程的解来 注 在这里 观察法观察法 起到了很大的作用 设是黎卡堤方程 2 29 的一个已知解 则有 x yy 1 x fy x qy x py 1 2 1 1 2 30 若令 其中u是新的未知函数 将它代入方程 2 29 并注意到恒等式 2 30 立刻得 到关于的伯努利方程 uyy 1 u 2 1 u x pu x qy x p2 u 2 31 再令 u 1 v 则方程 2 31 化为关于的线性方程 vv和 x pv x qy x p2 v 1 2 32 因此 如果知道黎卡堤方程的一个特解 那么它的通解通过两次求积得到 实际上 只要作代换 2 14 v 1 yy 1 2 33 可将黎卡堤方程 2 29 化为关于的线性方程 2 32 于是利用常数变易法找出线性方程 2 32 的通解 然后利用代换 2 33 便得到黎卡堤方程 2 29 的通解 vv和 例例 17 求方程 0 x4y 1x4 y y 1x2 x 2 的通解 解 分析 原方程是黎卡堤方程 于是就要用观察法找出一个特解来 并得到是该方程的一个特 解 1y 求解过程 利用黎卡堤方程的解体方法 作变换 u 1 1y 代入原方程 则原方程化为线性方程 1x2 x 1 u 1x2 x 1x4 u 由一阶非齐次线性方程的求解方法不难得到线性方程的通解为 1x2 x cx x u 故原方程的通解为 cx cx2 cx 1x2 x 1y 2 到目前为止 所介绍的可分离变量方程 齐次方程和线性方程都是利用初等积分求解的标准方程 在实际问题中出现的微分方程是多种多样的 如果能够找到适当地变量代换 把有关的微分方程化为上 述标准方程之一 那么原来的微分方程的通解也就容易求出来了 这时初等积分法中最常用的方法 当 然如何确定变量代换 是比较困难的无通法可循 一般而言 主要根据每一个方程的特点去寻找 这就 要靠在实践中多总结经验 才能够逐步达到熟能生巧的地步 同时 通过黎卡堤方程的求解 还可以看出 初等积分法的局限性 即并非所有一阶方程都能使用 这个方法求解 所以 在以后的讨论中以二元函数的全微分为基础来介绍一阶方程的另一种求解方法 积分因子方法 第三节第三节 恰当方程与积分因子恰当方程与积分因子 一 恰当方程一 恰当方程 定义 设给定方程 0M x y dxN x y dy 3 1 其中 M x y和是在平面上某区域内的已知连续函数 且在内的每一点处 N x yDD M x y和 2 15 N x y不同时为零 如果方程 3 1 的左端是某一个已知函数的全微分 即 u x y M x y dxN x y dydu 那么 就说方程是恰当方程或全微分方程恰当方程或全微分方程 补充 全微分的定义 如果二元函数的偏导数在平面上某区域内有存在 且 uu x y D xy u u在内连续 则函数 在内可微 即有 D uu x y D xy duu dxu dy 于是 由全微分的定义 有 uu dudxdy xy 因此 当而且仅当存在函数 使得 uu x y uu M x yN x y xy 3 2 时 方程 3 1 才是恰当方程 并可写成下列形式 0du x y 设方程 3 1 是恰当方程 则 0du x y 现在证明隐函数方程 u x yc 3 3 是恰当方程的通解 这里是积分常数 c 事实上 设可微函数 yx c 是由隐函数方程 3 3 所确定的隐函数 将它代入 3 3 中得关 于x的恒等式 u xx cc 上式对求微分 并利用等式 3 2 得关于的另一恒等式 xx M xx c dxN xx cx c dx 0 故隐函数方程 3 3 是恰当方程 3 1 的通解 这样一来 就建立了函数和 3 1 恰当方程的通解之间的关系 而函数称为已给恰 当方程的通解 u x y u x y 例例 18 求方程 0ydyxdx 2 16 的通解 解 容易看出 方程的左端是函数 u x yxy 2 11 22 2 的全微分 因此 原方程的通解是 xyc 22 111 222 或 xyc 22 例例 19 求方程 xy dxxy dy 3 0 的通解 解 方程的左端一下看不出是拿一个函数的全微分 不过可以将方程中的括号打开 重新组合为若干组 使得每组都容易知道它是某一个函数的全微分 于是有 x dxydxxdyydy 3 0 或 dxxyy 42 11 0 42 所以 u x yxxyy 42 11 42 因此 原方程是一个恰当方程 它的通解为 xxyyc 42 11 42 1 4 或 xxyyc 42 42 显然 如果事先知道方程 3 1 确实是恰当方程 那么 只有在这种情况下 将方程 3 1 的左 端重新分组 才有可能求得函数 当然这并不是说 事先知道方程 3 1 是一个恰当方程 总是可以通过重新分组比较容易求得函数 uu x y uu x y 因此 就出现如下两个问题需要解决 如何判断方程 3 1 是一个恰当方程 当是一个恰当方程时 又如何求出函数 uu x y 和方程 3 1 的通解 于是 有定理回答这两个问题 定理 设方程 M x y dxN x y dy 0 3 1 的函数 M x y和在单连通区域内连续和有关于 N x yDx和的一阶连续偏导数函数 且在内的 每一点处 yD M x y和不同时为零 那么方程 3 1 为恰当方程的充分和必要条件是 N x y M x yN x y yx 3 4 2 17 在内恒成立 D 证明 必要性 设 3 1 是一个恰当方程 则必存在着一个函数 使得 y x u uu M x yN x y xy 在内恒成立 由假设 D Mu yx y 2 和 Nu xy x 2 在内都是连续的 因此 D uu x yy x 22 从而可知 3 4 在内恒成立 D 充分性 设判定条件 3 4 在内恒成立 如果能够找到满足条件 3 2 的函数 那么方 程 3 1 便是恰当方程 为此 在区域D内任意选取一定点 D u x y xy 00 则由等式 x x u x yMy dh y 0 3 5 定义的二元函数 显然满足 3 2 中的第一个等式 其中是的任意可微函数 下面的任 务是如何选择使得由 3 5 表示的函数满足 3 2 中的第二个等式 今在 3 5 中 对 求微分 并应用积分对参数 u x y h yy h y u x yy y的微分法则 有 x x uMy dh y yy 0 由条件 3 4 上式又可写为 x x uNy dh y y N x yN xyh y 0 0 为了使 u N x y y 只须令 亦即只要选取 h yN xy 0 y y h yN x t dt 0 0 3 6 这样 就得到了满足条件 3 2 的函数 y x u xy xy u x yMy dN x t dt 00 0 3 7 根据前面已证明的结论 令 为任意常数 即得恰当方程 3 1 的通解 u x yc c 2 18 xy xy My dN x t dtc 00 0 3 8 注意 注意 同理 可以由下面等式 y y u x yN x t dtk x 0 定义二元函数 用类似的推导 从 u x y u M x y x 定出 x x k xMy d 0 0 3 9 从而得到 xy xy u x yMy dN x t dt 00 0 3 10 再令 即得到恰当方程 3 1 的通 u x yc xy xy My dN x t dtc 00 0 3 11 公式 3 8 或 3 11 中的积分下限和在选取时应注意积分有意义和计算简单 容易求出通解 如果应用线积分与路径无关的理论 那么不用上述推导 就可立即得到公式公式 3 8 或 3 11 其实 在实际求解时 不必记住公式 3 8 或 3 11 比较简单的方法是将上面推证过程的定积 分用不定积分代替去求函数 求解恰当方程的具体步骤归纳如下 u x y 先将所给的方程化成对称形式方程 M x y dxN x y dy 0 3 1 然后检验方程是否是满足判定条件 M x yN x y yx 3 4 如果判定条件 3 4 成立 则方程 3 1 是恰当方程 从而下列等式成立 uu M x yN x y xy 由 3 2 中的第一个等式 对积分 得 x u x yM x y dxh y 3 12 其中不定积分中的当作参数 是的任意可微函数 y h yy 在等式 3 12 两端对求微分 利用 3 2 中的第二个等式 用代替左端的y N x y u y 得 N x yM x y dxh y y 或 h yN x y y M x y dx 2 19 3 13 方程 3 13 对y积分得 h yN x yM x y dx dy y 3 14 最后将所求得的代入 再令 h y u x yc 即得恰当方程 3 1 的通解 M x y dxN x yM x y dx dyc y 0 3 15 例例 20 求方程 cos x ye dxxy dy 33 的通解 通积分 解 因为 x M x yye 3 cosN x yxy 3 于是 M x yN x y yx 3 故原方程是恰当方程 所以存在函数使得 u x y x u M x yye x 3 cos u N x yxy y 3 由第一个恒等式 xx u x yyedxh yxyeh y 33 并应用第二个恒等式得 cosh yxxy 33 cosh yy 因此 和 故原方程的通解为 sinh yy sin x u x yxyey 3 sin x xyeyc 3 有时候根据判别条件 5 4 确认所给方程是恰当方程后 并不需要按照上述的一般方法来求恰当 方程的通解 通常用观察法凑微分观察法凑微分的方法求恰当方程的通解是比较方便的 即采取将原方程重新分组的 办法 先把那些本身已经构成全微分的项分去 再把剩下的项凑成全微分 这样就容易求出恰当方程的 通解了 见前例 2 所以 在使用这种方法时 熟记下面的二元函数的全微分公式是有益的 2 20 ln arctan ln ydxxdyd xy ydxxdyy d xx ydxxdyx d yy ydxdyx d xyy ydxxdyx d xyy ydxxdyxy d xyx y 2 2 22 22 1 2 3 16 二 积分因子二 积分因子 M x y dxN x y dy 0 3 1 在前面对恰当方程求解进行讨论时 恰当方程可以通过积分求出它的通解 因此 能否将一个非恰 当方程化为恰当方程就有很大的意义 那么 就要问 能否把一个非恰当方程通过适当地变形处理化为 一个方程呢 回答是肯定的 为此 先看一个例题 例例 21 求解方程 ydxyx dy 0 解 因为 M x yy N x yyx 所以 MN yx 11 故 原方程不是恰当方程 但如果在原方程两端同乘以 y 2 1 并分组 于是有 ydxxdy dy yy 2 1 0 故 上述方程的通解为 ln x yc y 在这里就给 y 2 1 一个专门的名字就叫做积分因子积分因子 定义 如果存在连续可微的函数 x y 0 使得 2 21 x y M x y dxx y N x y dy 0 3 17 为一恰当方程 即存在函数v 使 x y M x y dxx y N x y dydv 3 18 则称为方程的积分因子 此时 是 3 18 的通解 也就是 3 1 的通解 v x yc 分析 3 16 知道 一个非恰当方程有各种形式的积分因子 而对于一般的非恰当方程 3 1 在满 足某些条件时 可以证明 它的积分因子也是存在的 并且积分因子不唯一 它的积分因子也是存在的 并且积分因子不唯一 积分因子的求法 分析 根据恰当方程的判定条件 函数 为一积分因子的充分必要条件 MN yy 即 MN NM xyyx ln ln MN NM xyyx 3 19 方程 3 19 是一个以为未知函数 x y 的一阶偏微分方程 只要求出它的一个非零解 x y 即可 但是在一般情况下 求偏微分方程 3 19 的解远比求常微分方程 3 1 的解困难得多 尽管如此 方 程 3 19 还是为求解方程 3 1 提供了寻找某些特殊积分因子的途径 下面仅介绍三种情况 积分因子只是积分因子只是x的函数的函数 设方程 3 1 的积分因子只是x的函数 x 则有 ln ln ln d yyxdx 00 从而由 3 19 有 ln dM N dxyx N 如果 则有 N x y 0 ln dM dxNyx N 1 3 20 方程 3 20 的左端只是x的函数 要使方程 3 20 有解 其充分和必要条件是它的右端表达式与变 量无关 令 y MN F x Nyx 1 2 22 则由 3 20 有 ln d F x dx 积分后有 dx x F ce 3 21 或 exp MN xdx Nyx 1 不难证明 由方程 3 20 所确定的函数 x 是方程 3 19 的解 因此 x 是方程 3 1 的积分 因子 例例 22 求线性方程 yp x yf x 的通解 积分因子方法 解 改写成对称形式 判定是否为恰当方程 求积分因子 利用恰当方程的求解方法求解所得的新方程 积分因子只是积分因子只是y的函数的函数 用类似的方法可以求出此时的积分因子的形式 exp MN ydy Myx 1 例例 23 求方程 xydxxydy 22 210 的通解 解 MN Mxy Nxyxx yx 22 2122 则所给方程不是恰当方程 但是 MN G y Myxy 12 故原方程有只依赖于变量的积分因子 y exp exp exp ln MN ydydyy Myxyy 2 2 121 用 y y 2 1 乘以原方程得到恰当方程 xx dxdy yyy 2 22 21 10 2 23 然后用分组方法 并恰当方程的求解方法得原方程的通解为 xycy 22 1 具有具有 x yx y 形状的积分因子 略 形状的积分因子 略 第四节第四节 一阶隐含方程与参数表示一阶隐含方程与参数表示 复习 一阶常微分方程的一般形式为 F x y y 0 到目前为止 我们已经讨论了的某些形式的通解问题 参见 2 1 2 3 但是有时是难以解 出的 或者即便求出了 yf x y yf x y yf x y 而其表达式很复杂也不便求解 所以 我们就得寻 求其它方法来解方程 这就是本节将要讨论的参数方法 为此 我们讨论下面四种情况 yf x y xf y y F x y 0 F y y 0 分析上面四种情况 实际上只有两大类 一 可以解出 或一 可以解出 或yx 的方程 的方程 讨论形如 dy y