高考数学试题(新课程卷)分类解析(十一)--计数原理、.pdf

N O 7 8 2 O 1 O J o u r n a l o f C h i n e s e Ma t h e ma t i c s E d u c a t i o n 2 0 1 0年第 7 8期 摘要 2 0 1 0 年新课程高考对计数原理与概率统计内容的考查 充分体现了 普通高中数学课程标准 实验 的要求 分层抽样 频 率分布 直方 图 样本估 计总体 样 本数 据的数 字特征 古典 概型 分布列和期望 二项分布等重点问题构成高考题的主体 几何概型 条件概率 正态分布 独立性检验和回归分析等新 增 内容有所体现 同时 对 文理要求 的不同 在 高考试题 中也 有非常明显的区别 鉴于此 新一年的高考复习要立足 借 通高 中数学课程标准 实验 和教材 强化基础 全面提升 关键词 新课程高考 概率 统计 试题分析 复习建议 计数原理和概率与统计是高中数学新课程中的重要内容 分 类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本 最重要的方法 统计是研究如何合理收集 整理 分析数据的科 学 它为人们制定决策提供依据 概率是研究随机现象规律的科 学 它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题 的方法 同时为统计学的发展提供 了理论基础 一 文理科要求的比较分析 针对这部分内容 普通高中数学课程标准 实验 对文科 和理科的要求有显著差异 见表 1 和表 2 表 1 考试内容与要 求 文科 1 理解随机抽样 学会用简单随机抽样方法从总体中抽 取样本 了解分层抽样和系统抽样方法 2 了解分布的意义和作用 会列频率分布表 画频率分 布直方 图 频率折线图 茎叶图 体会它们各 自的特点 3 能合理 地选取 样 本 从样 本数 据 中提取基 本 的数 字 特征 如 中位数 平均数 方差 标 准差等 并作 出合理 的 统计 解释 4 会用样本 的频率 分布估计总体分 布 会 用样本的基本 数字特征估计总体 的基本数字特征 5 会作两个有关联 变量的数据的散点 图 并利用散点 图 直观认识变量间的相关关系 能根据给 出的线性 回归方程 系数 公式建立线性回归方程 6 了解独立性检验的基本思想 方法 和简单应用 1 了解 随机事件发生 的不确定性和频率 的稳定 性 了解 概率的意义以及频率与概率的区别 2 了解两个互斥事件的概率加法公式 概率 3 理解古典概型及其概率计算公式 会用列举法计算一 些随机事件所含 的基本事件数及事件发生 的概率 4 了解随机数的意义 能运用模拟方法估计概率 初步 体会几何概 型的意义 在文科要求的基础上 理科又增加了计数原理 引入了离 散型随机变量的分布列及其均值 方差等内容 进而学会利用 离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象 表2 考试内容与妻求 理科 1 理解分类加 法计数原理 分 步乘 法计数原理 能根据 具体 问题 的特征 选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理 计数 解决一些简单 的实际问题 原理 2 理解排 列 组合的概念 理解排 列数公式 组合数公 式 并能解决简单的实际问题 3 会用二项式定理解决 与二项展开式有关的简单问题 1 理解 取有限值 的离散型 随机变 量及其 分布列 的概 念 认识分布列对于刻画随机现象 的重要性 2 理解超几何分布并能进行简单的应用 3 了解条件概率 和两个事件相互独立 的概 念 理 解 次 统计 独立 重复试 验的模 型及二项 分布 并能解决 一些简单 的 实际 概率 问题 4 理解取 有限值 的离散型 随机变量 均值 方 差的概念 能计算简单离散型随机变量的均值 方差 并能解决一些实际 问题 5 了解正态分布 曲线的特点及 曲线所表示的意义 二 考点分类统计分析 2 0 1 0年全国各地新课程高考数学试卷中 考查计数原理和 概率与统计的题型全面 知识点覆盖面广 但有所侧重 大多 数试卷中包含两道小题和一道大题 分值在 2 2分左右 具体情 况见表 3 表 4和表 5 表 3 2 0 1 0年高考数学新课程试卷对计数原理的考查分析 卷别 题型 题号 分值 考查 的知识点 安徽卷 填空题 1 2 5 二项展开式 中某一特殊项 的求解方法 北京卷 选择题 4 5 部分元素不相邻 的排列 广东卷 选择题 8 5 排列 湖南卷 选择题 7 5 分类计数原理与组合 问题 辽宁卷 填空题 1 3 5 二项展开式的通项 二项式常数项的求解方法 山东卷 选择题 8 5 有特殊元 素和特殊位置要求的排 列问题 陕西卷 选择题 4 5 二项展开式 的通项 上海卷 填空题 1 4 4 分类计数原理 排列组合的综合 天津卷 选择题 1 0 5 分类计数原理 排列组合的综合 染色问 题 浙江卷 填空题 1 7 4 排列组合的综合 收稿 日期 2 0 1 0 0 7 0 5 作者简介 孙旭东 1 9 7 1 一 男 江苏南京人 中学高级教师 主要从事数学教育与中学教学研究 7 3 表 4 2 0 1 0年高考数学新课 程试卷对概率与统计 的考查分析 文科 卷别 题型 题号 分值 考查 的知识点 选择题 1 0 5 古典概型 安徽卷 填空题 1 4 5 抽样方法 利用样本估计总体 解答题 l 8 1 3 频数 频率及频率分布直方图 数据处理能力和运用意识 选择题 3 5 古典概型 北京卷 填空题 l 2 5 抽样方法 频率分布直方图 选择题 9 5 茎叶图 中位数 和平均数的计算 福建卷 填空题 1 4 5 频率分布直方 图 解答题 1 8 l 2 古典概型 与平 面向量的知识 结合 填空题 1 2 5 中位数 简单 的线性 回归方程 广东卷 解答题 l 7 1 2 对 2 2列联表的简单分析 分层抽样 古典概型 选择题 3 5 简单的线性 回归方程 湖南卷 填空题 1 l 5 几何概型 解答题 1 7 l 2 分层 抽样 古典概型 江苏卷 填 空题 4 5 频率分布直方图 填 空题 l 3 5 古 典概型 辽宁卷 解 答题 l 8 1 2 频率分布直方图 对 2 X 2列联表的简单分析 独立性 检验 新课程全国卷 解答题 l 9 l 2 2 2列联表 的简单分析 独立性检验 分层抽样 选择题 6 5 样本数据的数字特征 平均数 方差 山东卷 解答题 1 9 1 2 古典概型 对立事件的概率计算 选择题 4 5 样本数据的数字特征 平均数 方差 估算 陕西卷 解答题 1 9 1 2 分层抽样 用样本估计总体 古典概型 填空题 5 4 分层抽样 上 海卷 填 空题 l 0 4 古典概型 天津卷 解答题 l 8 l 2 古典概型 填空题 1 1 4 茎叶图 中位数的计算 浙 江卷 填空题 1 7 4 古典概型 与平 面向量结合 表 5 2 0 1 0年高考数学新课程试卷对概率与统计的考查分析 理科 卷别 题型 题号 分值 考查 的知识点 填空题 1 5 5 互斥事件以及互斥事件的概率加法公式 条件概率 安徽卷 解答题 2 1 l 3 离散型随机变量的分布列 相互独立事件的概率乘法公式 填空题 l l 5 抽样方法 频率分布直方 图 北京卷 解答题 l 7 l 3 离散型随机变量 的分布列 相互独立事件 的概率乘法公式 离散型随机变量的期望值 填空题 l 3 5 n 次独立重复试验模型 福建卷 解答题 1 6 1 3 古典概型 离散型随机变量的分布列 和期望 选择题 7 5 正态分布 广东卷 解答题 1 7 1 2 频率分布直方图 离散型随机变量的分布列 超几何分布模型 填空题 1 1 5 几何概型 湖南卷 解 答题 1 7 l 2 频率分布直方图 离散型随机变量 的分布列和期望 填空题 4 5 频率分布直方 图 江苏卷 解答题 2 2 l 0 离散型随机变量的分布列 二项分布 选择题 3 5 相互独立事件的概率乘法公式 辽宁卷 解答题 1 8 l 2 古典概型 频率分布直方图 对 2 2 列联表的简单分析 独立性检验 选择题 6 5 二项 分布及其期望 新课程全国卷 解答题 1 9 1 2 2 2列联表的简单分析 独立性检验 分层抽样 7 4 续表 卷别 题型 题 号 分值 考查的知识点 选择题 5 5 正态分布 山东卷 选择题 6 5 样本数据 的数字特征 平均数 方差 解答题 2 0 1 2 离散型随机变量的分布列和期望 相互独立事件 对立事件的概率计算 填 空题 1 3 5 几何概型 与定积分结合 陕西卷 解答题 1 9 1 2 分层抽样 用样本估计总体 古典概型 舍对立事件的概率计算 填空题 6 4 离散型随机变量的分布列和期望 上海卷 填空题 9 4 互斥事件的概率加法公式 填空题 1 l 4 茎叶图 平均数 天津卷 解答题 1 8 l 2 二项分布及其概率计算公式 离散型随机变量的分布列 互斥事件和相互独立事件 浙江卷 解答题 1 9 1 4 随机事件的概率 离散型随机变量的分布列和期望 二项分布 在 2 0 1 0年各地的新课程高考数学试卷中 对这部分内容的 考查 重视基础 重视应用 背景公平 难度恰当 这些基础 性问题构成试题的主体 同时 新增加的内容和文理科学生的差 异也得到 了足够的重视 1 重点知识 重点考查 1 对统计知识的考查 分层抽样 频率分布直方图 样本估计总体 样本数据的数 字特征 平均数 方差等 是考查重点 例 1 江 苏卷 4 某棉 纺厂为 了了解 一批棉花 的质量 从 中随机抽测了 1 0 0根棉花纤维的长度 棉花纤维的长度是棉花 质量的重要指标 所得数据都在区间 5 4 0 中 其频率分布直 方图如图 1 所示 则在抽测的 1 0 0根中 有 根棉花纤维 的长度小于 2 0 m m 图 1 解 i由图 1 知棉花纤维 的长度小 于 2 0 mm的根数为 0 0 1 5 0 0 1 X 5 0 0 4 5 1 0 0 3 0 点评 本题以棉花纤维的长度为背景 考查了频率分布直 方 图的意义 每 一个 小矩形 的面 积反 映的是 频率 所有小 矩形 的面积之和为 1 对频率分布直方图的考查在 2 0 1 0年的考题 中 多次出现 这类题一般都是容易题 例 2 安徽卷 文 l 4 某地有居民 1 0 0 0 0 0户 其中普通家 庭 9 9 0 0 0户 高收人家庭 1 0 0 0户 从普通家庭中以简单随机抽 样方式抽取 9 9 0户 从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取 1 0 0户进行调查 发现共有 1 2 0户家庭拥有 3套或 3 套 以上住 房 其中普通家庭 5 O户 高收入家庭 7 0户 依据这些数据并结 合所掌握的统计知识 你认为该地拥有 3套或 3 套以上住房的 家庭所占比例的合理估计是 解 通过对抽取样本的统计分析来估计总体的特征是统计 中的一种重要方法 通过简单随机抽样方式抽取到每一户家庭是等可能的 因此 普通家庭中拥有 3 套或 3套以上住房的家庭可以估计有 9 9 0 0 0 5 0 0 0户 高收入家庭中拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭 一 可以估计有 l 0 0 0 7 0 0户 因此估计此地共有 5 7 0 0户 家庭拥有 3 套或 3 套以上住房 所占比例的合理估计是 5 7 0 0 1 0 00 0 0 5 7 点评 本题是分层抽样问题 根据拥有3套或 3套以上住 房的家庭所占的比例 估计 1 0 0 0 0 0户居民中拥有 3套或 3套以 上住房的户数是解题的关键 这类题一般都是容易题 2 对概率知识的考查 古典概型 离散型随机变量的分布列和期望 二项分布等 是重点考查对象 这类问题构成高考解答题的主体 例 3 安徽卷 文 1 O 甲从正方形四个顶点中任意选择两 个顶点连成直线 乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶 点连成直线 则所得的两条直线相互垂直的概率是 A 百 3 B 4 c 音 D 解 正方形四个顶点可以确定 6条直线 甲乙各自任选一 条共有 3 6 个基本事件 两条直线相互垂直的情况有 5种 4组 邻边和对角线 包括 1 0个基本事件 所 以所求事件 的概率等于 5 1 8 例 4 浙江卷 理 l 9 如 图 2 一 个小球从 处投入 通过管道 自上 而下落到 A或 B或 C 已知小球从每 个叉 口落人左右两个管道的可能性是 相等的 某商家按上述投球方式进行 促销活动 若投入的小球落到 A 日 C 则分别设为l 2 3等奖 1 已知获得 1 2 3等奖的折扣 图2 率分别为 5 0 7 0 9 0 记随变量 为获得 k k l 2 3 等奖的折扣率 求随机变量 的分布列及期望 喏 7 5 2 若有 3 人次 投入 l 球为1 人次 参加促销活动 记随 机变量 为获得 1 等奖或 2等奖的人次 求 尸 叼 2 解 1 由题意得 的分布列为 I 5 0 7 0 9 0 I P 3 3 l 6 8 1 6 fJ E 睾 7 0 9 0 7 5 2 由 J 可 知 获 i导 I 等 奖 或 2 等 奖 的 概 率 为 音 由 题意 得 日 f 3 9 1 2 1 一 点评 解决这类问题的关键是随机变量分布列的确定 本题 中 由于小球 从每个又 口落入左右两个管道的可能性是 相等 的 即 概 率 都 为 争 因 此 小 球 左 侧 到 达 J 处 的 概 率 为 争 争 从右 侧到达 D处 的概 率 为 1 1 1 1 即小 球 落到 D 处 的 概 率 为 从 而 小 球 落 到 A 处 的 概 率 为 音 落 到 B 处 的 概 率 为 落 到 c 处 的 概 率 为 去 在 计 算 中 互 斥 事 件 对 立 事件 概率加法公 式 相互独立事件 的概 率乘法公 式是常用 的 工具 2 新增 内容 全面考查 在原有大纲要求的基础上 普通高中数学课程标准 实 验 在这部分增加了一些内容 包括几何概型 条件概率 正 态分布 独立性检验和回归分析等 这些知识在 2 0 1 0年的高考 题中也有体现 但出现的频率不高 且都以直接应用的基础题 为主 例 5 湖南卷 理 1 1 在区间 一 1 2 上随机取一个数 则j I 1 的概率为一 解 由I X l 1 得 一 1 1 区间长度为 2 而区问 1 2 的长度为3 故 P I I 1 点评 本题考查几何概型 这类问题一般都是容易题 例 6 广东卷 理7 已知随机变量 服从正态分布 3 1 且 P 2 4 0 6 8 2 6 则 4 A 0 1 5 8 8 B 0 1 5 8 7 C 0 1 5 8 6 D 0 1 5 8 5 解 因为 v 3 1 所以 P 4 1 1 P 2 X 4 1 0 6 8 2 6 0 1 5 87 点评 随机变量X N 3 1 表明此正态曲线关于直线 7 6 3对称 例 7 辽宁卷 理 1 8 为了比较注射 A 曰两种药物后产 生的皮肤疱疹的面积 选取 2 0 0只家兔做试验 将这 2 0 0只家兔 随机地分成两组 每组 1 0 0只 其中一组注射药物 A 另一组 注射药物 1 甲 乙是 2 0 0只家兔中的 2只 求甲 乙分在不同组的 概率 2 表 6和表 7分别是注射药物 和 曰后的试验结果 疱 疹面积单位 m m 2 表 6 注射药物 A后皮肤疱疹 面积的频数分布表 疱疹面积 6 O 6 5 6 5 7 0 7 0 7 5 7 5 8 0 频数 3 0 4 0 2 0 l O 表 7 注射药物 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 6 O 6 5 6 5 7 0 7 0 7 5 7 5 8 o 8 0 8 5 频数 1 0 2 5 2 0 3 0 1 5 完成下面频率分布直方图 图3和图4 并比较注射两 种药物后疱疹面积的中位数大小 组距 面积 图 3 注射药物 A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 组距 面积 图 4 注射药物 B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 完成下面 2 2列联表 并回答能否有 9 9 9 的把握认为 注射药物A后的疱疹面积与注射药物 后的疱疹面积有差异 疱疹面积小于 7 0 m m 疱疹面积不小于7 0 m m 合计 注射药物 6 注射药物 B d 合计 附 解 1 甲 乙两只家兔分在不同组的概率为 D 一2 C 1 00 一 一一 1 9 9 2 如图 5和图6所示 面积 图5 注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 组距 面积 图6 注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 可以看出注射药物 后的疱疹面积的中位数在 6 5至 7 0之 间 而注射药物 曰后的疱疹面积的中位数在 7 O至 7 5之间 所 以注射药物 后疱疹面积的中位数小于注射药物 曰后疱疹面积 的中位数 如下表 疱疹面积小于 7 0 mm 疱疹面积不小 于 7 0 仃 n 合计 注射药 物 A n 7 0 b 3 O 1 o 0 注射药物 B c 3 5 d 6 5 1 0 0 合计 1 0 5 9 5 n 2 0 0 Q Q I Q 2 4 5 6 一 1 00 1 0 0 1 05 95 由于 1 0 8 2 8 所 以有 9 9 9 的把握认 为 注 射药 物 A 后的疱疹面积与注射药物 曰后的疱疹面积有差异 点评 统计案例是新增内容 在 2 0 1 0年的新课程全 国卷 广东卷文科中考查了2 2列联表以及根据表中的数据 比例 对 问题做出直观判断 在辽宁卷中 完整地考查 了独立性检验的一 般方法 这部分内容在近几年的新课程高考中出现的频率较低 3 文理要求 分层考查 韭通高中数学课程标准 实验 对文科和理科的要求 在高考试题中有非常明显的区别 如对计数原理和二项式定理 的考查 只出现在理科试卷中 对概率问题的考查 文科一般 只考查古典概型 对问题中计数能力的要求仅限于会通过枚举 得到 理科会在文科的基础上 要求会用排列组合的方法来加 以计数 必须注意 这里对排列组合计数的要求也不高 一般会 直接使用就可以 例8 辽宁卷 理1 3 1 f 一 1 的展开式中的常 数项为 解 f 一 1 的展开式的通项为 l c 一 1 一 当r 3时 T 4 一 C 一 2 0 当r 4时 T s 1 5 因此常数项为一 2 0 1 5 一 5 点评 本题考查了二项展开式的通项以及利用通项公式求 某一特定项的方法 例 9 湖南卷 理 7 在某种信息传输过程中 用 4个数字 的一个排列 数字允许重复 表示一个信息 不同排列表示不 同信息 若所用数字只有 0和 1 则与信息 O 1 1 0至多有两个对 应位置上的数字相同的信息个数为 A 1 0 B 1 1 C 1 2 D 1 5 解 由于每一个位置上的数字不是 0就是 1 故只要从 至 多 出发 考虑位置即可 与信息 0 l 1 0至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括 三类 第一类 与信息 O l 1 0有 2个对应位置上的数字相同有 C j 6 个 第二类 与信息 0 1 1 0有 1 个对应位置上的数字相同有 C 4 个 第三类 与信息0 1 1 0没有一个对应位置上的数字相同有 C 1 个 所以与信息 0 1 1 0至多有两个对应位置上的数字相同的信息 个数为 6 4 1 1 1 个 点评 相对于原大钢 新课程高考对排列组合问题的专门 考查力度有下降的趋势 而常常将其与概率 问题结合在一起 在解决概率问题的过程中需要使用计数的方法 加以考查 由 于这类问题具有很高的思维价值 2 0 1 0年仍然有地 区将其作为 小题的压轴题来加以考查 如上海卷理科第 1 4题 天津卷理科 第 1 O题 浙江卷理科第 1 7题 例 1 0 陕西卷 文 1 9 为了解学生身高情况 某校以 1 0 的比例对全校 7 0 0名学生按性别进行分层抽样调查 测得身高 情况 的统计图如图 7和 图 8所示 1 5 l O 5 0 图 8 77 I 估计该校男生的人数 2 估计该校学生身高在 1 7 0 1 8 5 c m之间的概率 3 从样本中身高在 1 8 0 1 9 0 c n l 之间的男生中任选 2人 求至少有 1 人身高在 1 8 5 1 9 0 e m之间的概率 解 1 样本中男生人数为 4 0 由分层抽样比例为 1 0 估 计全校男 生人数为 4 0 0 2 由统计图知 样本中身高在 1 7 0 1 8 5 c m之间的学生有 1 4 1 3 4 3 1 3 5人 样本容量为 7 0 所以样本中学生身 高在 1 7 0 1 8 5 e m之间的频率 0 5 故由f估计该校学 U 生身高在 1 7 0 1 8 0 e m之间的概率P l 0 5 3 样本中身高在 1 8 0 1 8 5 e m之间的男生有 4人 设其编 号为 样本中身高在 1 8 5 1 9 0 e m之间的男生有 2 人 设其编号为 从上述 6 人中任取 2人的树状图如图 9 所示 一 图 9 故从样本中身高在 1 8 0 1 9 0 c m之间的男生中任选 2人的所 有可能结果数为 l 5 其中至少有 1人身高在 1 8 5 1 9 0 c m之间 的可能结果数为 9 因此所求概率P 0 6 1 点评 本题的第 3 问是一个古典概型 解决本题的关键是 求出从 6人 中任选两人的组合数 基本事件总数 和选出的两 人中至少有一人身高在 1 8 5 1 9 0 C T I 的组合数 这两个计数问题 都可 以通过简单的数得到结论 而不必使用排列组合的知识 同 样 在 2 0 1 0年陕西卷理科第 l 9题中 需要计算从 1 0人中任选 2人的组合数 不使用一些计数原理的知识 仅简单的数 会比 较复杂 三 新题分析 计数原理和概率与统计问题是高考中的必考点 特别是概 率与统计是考查必然与或然数学思想和数学建模的素材 是考 查学生应用意识的载体 2 0 1 0年高考对这部分内容的考查应该 是既注重重点 又关注创新 例 1 1 陕西卷 文 4 如图 1 0和图 1 1 样本 A和 B分别 取 自两个不同的总体 它们的样本平均数分别为 和 样本 标准差分别为 和 则 7 8 图 l 0 图 1 1 A J X A 口 s A s 口 B 礼 s B C X A X B A s 口 D X A 口 S 口 解 观察折线图 显然 1 0s 点评 本题考查样本的两个特征数 一般对特征数的考查 往往停留在 算 上 而本题以折线图的形式给出数据 通过 对折线图的分析 加上对平均数与方差意义的理解 本题可以 只想不算 例 1 2 安徽卷 文 1 8 某市 2 0 1 0年 4月 1 13 4月 3 0日对 空气污染指数的监测数据如下 主要 污染物为可吸入颗粒物 61 76 7 0 5 6 81 91 92 91 75 81 88 6 7 1 O1 1 03 95 91 77 86 81 8 3 82 8 2 6 4 7 9 8 6 8 5 7 5 71 4 9 4 5 1 完成频率分布表 2 作出频率分布直方图 3 根据国家标准 污染指数在 0 5 0之间时 空气质量为 优 在 5 l 1 o 0之间时 为良 在 1 0 1 1 5 0之间时 为轻微污 染 在 1 5 1 2 0 0之间时 为轻度污染 请你依据所给数据和上述标准 对该市的空气质量给出一 个简短评价 解 1 频率分布表 分组 4 l 5 1 5 l 6 1 6 l 7 1 7 l 8 1 8 1 9 1 9 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 频数 2 l 4 6 l O 5 2 1 1 1 l 1 1 频率 1 5 3 0 l 5 5 3 6 l 5 2 频率分布直方图如图 1 2所示 染指数 图 1 2 3 答对下述两条中的一条即可 该市一个月中空气污染指数有 2天处于优的水平 占当 月 天 数 的 古 有 2 6 天 处 于 良 的 水 平 占 当 月 天 数 的 吾 处 于优或良的天数共有 2 8天 占当月天数的百 1 4 说明该市空气 质量 基 本 良好 十 芒 曰 一 一一一一 叶 卜 1 r A 0 一 A 一一一 一 轻微污染有 2 天 占当月天数的 污染指数在 8 0以 1 J 上 的接近轻微 污染 的天数有 1 5天 加上处 于轻微污染 的天数 共有 1 7天 占当月天数的 超过 5 0 说明该市空气质量 jU 有待进一步改善 点评 统计数据 分析数据 计算一些数字特征 是高考 中常考的方面 本题在原有的基础上 要求根据数据得出一些判 断 问题有 开放性 能有效反 映学生对统计的认 识 例 1 3 浙 江 卷 文 1 7 如图 1 3 在平行 四边形 A B C D 中 0是 A C与 B D的交点 P Q M N 分 别 是 线 段 O A O B O C O D的 中点 在 A D P M C中任取 一 点记 为 图 1 3 在 B p N D中任取一点记为 设 G为满足 向量 的点 则在上述的点 G组成的集合中的点 落在平行四边形 A B C D外 不合边界 的概率为 一 解 G点共有 1 6种取法 而只有 E为 P 中一点 F为 p N中一点时 落在平行四边形内 或边界 故不符合要求 的G 点只有4 个 因此所求的概率为 I 点评 这是以几何图形为背景 将平面向量与古典概型有 机组合在一起的一道题 四 复习建议 新课程高考以来 除了在排列组合上出现了个别比较复杂 的压轴小题之外 各地对这部分内容的考查的难度都限定在容 易题或中等难度 偏下 但它们在试卷中所 占的分值却不小 只要脉络清晰 基础扎实 计算准确 都能得满分 因此只要扎 实做好本专题的复习 回报率是比较高的 1 全面复习 有所侧重 排列组合和概率与统计的知识内容比较多 也比较碎 在复 习过程中 要仔细研究 普通高中数学课程标准 实验 和考 试大纲 深刻理解这些纲领性文件对这部分内容的要求 1 有重点 对于选择文科的学生 统计中的系统抽样 样本的表示方 法 茎叶图 折线图 频率分布表 频率分布直方图等 样本 的数字特征 平均数 中位数 众数 方差等 及其反映的统 计意义 概率中的古典概型 互斥与对立事件的概率等 这些 是考试的重点 对于理科学生 离散型随机变量的分布列 计算 中涉及排列与组合问题 二项分布 超几何分布等也是考试的 重点 2 不遗漏 不能有侥幸心理 有些内容在高考中出现