【步步高】高考数学第一轮知识点巩固题库 第6讲 抛物线（含解析）新人教A版 (1).doc

第6讲 抛物线一、选择题1抛物线x2(2a1)y的准线方程是y1，则实数a()a. b. c d解析 根据分析把抛物线方程化为x22y，则焦参数pa，故抛物线的准线方程是y，则1，解得a.答案d2若抛物线y22px(p0)的焦点在圆x2y22x30上，则p()a. b1c2 d3解析 抛物线y22px(p0)的焦点为(，0)在圆x2y22x30上，p30，解得p2或p6(舍去)答案 c3已知抛物线c：y24x的焦点为f，直线y2x4与c交于a，b两点，则cosafb()a. b. c d解析由得x25x40，x1或x4.不妨设a(4,4)，b(1，2)，则|5，|2，(3,4)(0，2)8，cosafb.故选d.答案d4已知双曲线c1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线c2：x22py(p0)的焦点到双曲线c1的渐近线的距离为2，则抛物线c2的方程为()ax2y bx2ycx28y dx216y解析1的离心率为2，2，即4，.x22py的焦点坐标为，1的渐近线方程为yx，即yx.由题意，得2，p8.故c2：x216y，选d.答案d5已知直线l过抛物线c的焦点，且与c的对称轴垂直，l与c交于a，b两点，|ab|12，p为c的准线上一点，则abp的面积为()a18 b24 c36 d48解析如图，设抛物线方程为y22px(p0)当x时，|y|p，p6.又p到ab的距离始终为p，sabp12636.答案c6已知p是抛物线y24x上一动点，则点p到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是()a. b. c2 d.1解析由题意知，抛物线的焦点为f(1,0)设点p到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点p到y轴的距离为|pf|1，所以点p到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|pf|1.易知d|pf|的最小值为点f到直线l的距离，故d|pf|的最小值为，所以d|pf|1的最小值为1.答案d二、填空题7已知动圆过点(1,0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.答案y24x8已知抛物线y24x的焦点为f，准线与x轴的交点为m，n为抛物线上的一点，且满足|nf|mn|，则nmf_.解析 过n作准线的垂线，垂足是p，则有pnnf，pnmn，nmfmnp.又cosmnp，mnp，即nmf.答案 9如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米解析如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py.由题意a(2，2)代入x22py，得p1，故x22y.设b(x，3)，代入x22y中，得x，故水面宽为2米答案210过抛物线y22x的焦点f作直线交抛物线于a，b两点，若|ab|，|af|bf|，则|af|_.解析设过抛物线焦点的直线为yk，联立得，整理得，k2x2(k22)xk20，x1x2，x1x2.|ab|x1x211，得，k224，代入k2x2(k22)xk20得，12x213x30，解之得x1，x2，又|af|b0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线yx2相切(1)求a与b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为f1，f2，直线l1过f2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点p.求线段pf1的垂直平分线与l2的交点m的轨迹方程，并指明曲线类型解(1)由e ，得.又由原点到直线yx2的距离等于椭圆短半轴的长，得b，则a.(2)法一由c1，得f1(1,0)，f2(1,0)设m(x，y)，则p(1，y)由|mf1|mp|，得(x1)2y2(x1)2，即y24x，所以所求的m的轨迹方程为y24x，该曲线为抛物线法二因为点m在线段pf1的垂直平分线上，所以|mf1|mp|，即m到f1的距离等于m到l1的距离此轨迹是以f1(1,0)为焦点，l1：x1为准线的抛物线，轨迹方程为y24x.12已知抛物线c：y24x，过点a(1,0)的直线交抛物线c于p、q两点，设.(1)若点p关于x轴的对称点为m，求证：直线mq经过抛物线c的焦点f；(2)若，求|pq|的最大值思维启迪：(1)可利用向量共线证明直线mq过f；(2)建立|pq|和的关系，然后求最值(1)证明设p(x1，y1)，q(x2，y2)，m(x1，y1)，x11(x21)，y1y2，y2y，y4x1，y4x2，x12x2，2x21(x21)，x2(1)1，1，x2，x1，又f(1,0)，(1x1，y1)(1，y2)，直线mq经过抛物线c的焦点f.(2)由(1)知x2，x1，得x1x21，yy16x1x216，y1y20，y1y24，则|pq|2(x1x2)2(y1y2)2xxyy2(x1x2y1y2)2412216，当，即时，|pq|2有最大值，|pq|的最大值为.13设抛物线c：x22py(p0)的焦点为f，准线为l，a为c上一点，已知以f为圆心，fa为半径的圆f交l于b，d两点(1)若bfd90，abd的面积为4 ，求p的值及圆f的方程；(2)若a，b，f三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与c只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值解(1)由已知可得bfd为等腰直角三角形，|bd|2p，圆f的半径|fa|p.由抛物线定义可知a到l的距离d|fa| p.因为abd的面积为4 ，所以|bd|d4 ，即2p p4 ，解得p2(舍去)或p2.所以f(0,1)，圆f的方程为x2(y1)28.(2)因为a，b，f三点在同一直线m上，所以ab为圆f的直径，adb90.由抛物线定义知|ad|fa|ab|.所以abd30，m的斜率为或.当m的斜率为时，由已知可设n：yxb，代入x22py得x2px2pb0.由于n与c只有一个公共点，故p28pb0，解得b.因为m的纵截距b1，3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.14如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点p(1,2)，a(x1，y1)，b(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当pa与pb的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线ab的斜率解(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p0)点p(1,2)在抛物线上，222p1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)