行列式的例题.doc

行列式的例题一直接用行列式的性质计算行列式1试证明证明：先用行列式的加法性质拆第一列，再用初等变换化简得 =右2计算n阶行列式解：当n=1时，D1=a1+b1 ， 当n=2时，D2=（a1+b1）（a2+b2）-（a1+b2）（a2+b1） =（a1-a2）（b1-b2）当n3时,将第一行乘（-1）加到其余各行后，可得这些行对应成比例，即综上所述 。3 n阶行列式D中每一个元素aij分别用数bi-j(b0)去乘得到另一个行列式D1 ，试证明D1=D 。 证明： 首先将行列式D的每行分别提出b1,b2,bn，再由每列分别提出b-1,b-2,b-n可得 4已知求（1）A51+2A52+3A53+4A54+5A55；（2）A31+A32+A33及A34+A35 。解：由行列式的性质可知 (1) A51+2A52+3A53+4A54+5A55=(2)5A31+5A32+5A33+3A34+3A35 =2A31+2A32+A33+A34+A35 =解出A31+A32+A33=0，A34+A35 =0 。二利用行列式的性质化为上（下）三角形行列式计算1 计算n阶行列式解：(解法1) 依次按第i列的x倍加到第i-1列去（i=n,n-1,2），再将最后1行依次换到第一行得= xn+a1xn-1+an .（解法2） 直接按第n行展开Dn=an(-1)n+1(-1)n-1+an-1(-1)n+2x(-1)n-2+(-1)n+n(a1+x)xn-1=an+an-1x+a1xn-1+xn（解法3）递推法，按第一列展开得 Dn=xDn-1+an(-1)n+1(-1)n-1=xDn-1+an = x(Dn-2+an-1)+an= xn-1D1+a2xn-2+an = xn-1(a1+x)+a2xn-2+an = xn+a1xn-1+a2 xn-2+an 。2计算n阶行列式。解：依次将第i行乘（-1）加到第i+1行（i=n-1,n-2,1），再将第2，3，n 列全加到第1列。 再将n-1阶行列式的第1行乘（-1）加到其余各行后，将第1，2，n-2列全加到第n-1列，得=n(n+1)/2 (-1) (n-1)(n-2)/2(-n)n-2(-1)= n(n+1)/2 (-1)(n-1)n/2 nn-2三利用递推法计算行列式1 计算n阶行列式解： 将行列式按第n列展开，可得 =xDn-1+ayn-1Dn= xDn-1+ayn -1=x(xDn-2+ayn-2)+ ayn-1=xn-1D1+ayn -1+ayn-2x+ +ayxn-2=xn+a(xn-1+xn-2y+xyn-2+yn-1)注：此题可按第一行展开即得结果。2 计算n阶行列式解： 将行列式按第一行展开，可得Dn=(a+)Dn-1 - aDn-2Dn-aDn-1 = (Dn-1 - aDn-2)=2(Dn-2 - aDn-3)= = n-2(D2 -aD1)D1=a+ , D2 = (a+)2 a ,Dn-aDn-1 = n , Dn-1 - aDn-2 = n-1 , , D2 - aD1 = 2,将上述n-1个子式分别乘1 , a , a2, ,an-2后再相加得Dn = an-1D1 + n +a n-1 + + an-2 2 = an+an-1 +an-2 2 + + a n-1+ n .四利用范德蒙行列式计算和证明1 计算n阶行列式。解： 把Dn+1的第n+1行换到第1行，第n行换到第2行，同时将Dn+1的第n+1列换到第1列，第n列依次换到第2列，再有范德蒙行列式，得 。2 已知方程，求x 。解：由行列式的加法性质，原方程可化为 =(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0得x=1或x=2或x=3。五行列式的应用1 证明三条不同的直线ax+by+c=0 , bx+cy+a=0 , cx+ay+b=0 相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0。 证明 先证“必要性”：设三直线交于一点，即方程组 有一解（x0 ,y0 ,1），即方程组有非零解，由克莱姆法则知即 =(a+b+c)(c-b)(b-c)-(a-c)(a-b)=(a+b+c)(ab+ac+bc-a2-b2-c2)= - (a+b+c)/ 2(a-b)2 +(b-c)2 +(a-c)2)=0当a=b=c时等号成立，这时与三直线互异矛盾。故只能a+b+c=0 .再证“充分性”：当a+b+c=0时，即有非零解，不妨取（x0 ,y0 ,1），所以三直线有交点，而三直线互异，故必有唯一交点。2 求一个一元二次多项式f(x)，使满足f(1)=0,f(2)=3,f(-3)=28 。