超越复数的多元数.doc

超越复数的多元数（一）从复平面到多维数空间白烁星河北省武安市骈山中学韩江燕摘要：本文从清晰、简明的解析原理出发，利用数形合一的数学思想，建立了元数、无穷元数等高维空间数系理论。作者在文中以三元数理论为基础，依次阐述了四元数等多元数运算的一般法则及重要性质，并给出以下有趣结论：一、一般地，一个多元数的次方根有个，分布在多维数空间中超数平面的一个圆上；二、任一给定多元数可求其指数函数。特别地，欧拉公式是多元数理论中的特例；三、如果实系数一元次代数方程在复平面上有个实数根，对虚根，那么，在多维数空间中，该方程有且仅有个实数根和个超球面（或球面）的非实数根。关键词：三元数；四元数; 元数；无穷元数；多元数；数平面;数空间;根;方程中图分类号：0153.5 泛代数一、引言复数运算实际等同于平面上一种点的演算体系，从超越复数的三元数中可以获悉，超越复数的三维空间数系也是存在的，每一个三元数可以一一对应于三维数空间中的一个点或一个起点在原点的向量。人们自然会提出下述问题：超越三维数空间的多维空间数系是否存在？如存在，在更高维的空间数系中，新数又将满足什么样的运算规律？新数系与复数的关系如何？本篇论文以三元数理论为基础，首先将数系推广至四元数，然后对多元数理论作简要概述，尝试对上述问题逐一作出解答。二、四元数的概念与表示法1.四元数的概念1.1 定义 1.2 四元数 形如的数叫做四元数。四元数通常用一个字母来表示，即全体四元数构成的数集叫做四元数集，亦称四维数空间，用带上标的字母来表示。1.3 四元数相等的条件若 （则 特别地，1.4 四维数空间建立了空间直角坐标系来表示三元数的空间叫做三维数空间，超越三维数空间到多维数空间后，采用下述定义：全体元数所构成的数集，称为元数集，亦称维数空间，用带上标的字母来表示，其中每一个元数一一对应于一个维数组，称为维数空间中的一个点。于是：实数实轴上的点；复数复平面内点；三元数三维数空间内点四元数四维数空间内点元数维数空间内点（一个维数组）2.四元数的表示2.1 四元数的代数形式四元数叫做四元数的代数形式。2.2 四元数的几何表示四元数的点表示 四维数空间内的点表示四元数。四元数的向量表示 四元数可以用向量来表示，与实数对应的点称作多维数空间的原点，实数与零向量对应（四元数集与四维数空间内所有以原点为起点的向量所组成的集合一一对应），即：四元数四维数空间内向量2.3 四元数的三角形式四元数的模 与四元数对应的向量的模（即有向线段的长度）叫做四元数的模（或绝对值）。定义：四元数模的几何意义是：四元数在四维数空间内对应的点到原点的距离。三元数的辐角与倾角 三维数空间可看作复平面绕轴旋转而成，轴与空间点可唯一确定一个平面，该平面与复平面的夹角称三元数的倾角，平面称倾角为的数平面。特别地，复平面是倾角为的数平面，无数个数平面形成了三维数空间。当点落在轴上时，倾角值不定，也就是说：实数的倾角值不定。以轴的正半轴为始边，向量所在的射线（起点是）为终边的角，叫做三元数的辐角，记做。辐角的主值 在区间内的辐角的值，叫做辐角的主值，记作,即 。非三元数的辐角有无限多个值，但辐角的主值只有一个，实数的辐角不定。四元数的三角形式及四维数空间 三元数叫做三元数的三角形式，确定了三元数所在的数平面在三维数空间中的位置，称为三元数的代数倾角，相应又称三元数的几何倾角。四元数，叫做四元数的三角形式，其中称为四元数的辐角，确定了四元数所在的超数平面在四维数空间中的位置，称为四元数的倾角。时，据，得到：，取,则有：=，显然，三元数的代数倾角是四元数倾角的特例。由高等几何知，取为自由变量，对于一组给定的，确实可以表示一个四维数空间里的二维平面。四维数空间可看作由无数个超数平面所组成,一般取为自由变量，如果允许也自由变动，就可以得到四维数空间内的每一个点，亦即可以得到整个的四维数空间。比较与可知，超数平面上的点与复平面上的点存在一一对应关系，所以超数平面与复平面具有一样多的点，复平面是超数平面的特例，此时。说明:多元数的代数形式是唯一的,但三角形式不是唯一的三元数的代数形式与相对应的三角形式的互化公式：；求：；求：由点的所在象限及共同确定（一般取最小正角）求：，时，；时，值不定，或例1：求的三角形式解：， 由知角在第一象限，又，得，所以的三角形式为：四元数的代数形式与相对应的三角形式的互化公 式：； 求：；求：由点的所在象限及共同确定;求：，在三维数空间中，