【志鸿全优设计】七年级数学上册 1.6 有理数的乘方例题与讲解 （新版）沪科版.doc

1.6有理数的乘方1有理数的乘方的意义及有关名称(1)一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，即，这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方(2)幂：乘方的结果叫做幂在乘方运算an中，a叫做底数，n叫做指数，an叫做幂，即(如图)(3)乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算(因数相同的乘法运算)，幂是乘方运算的结果也就是说，an既表示n个a相乘，又表示n个a相乘的结果(4)an看作乘方运算时，读作a的n次方；当an看作a的n次方的结果时，读作a的n次幂如34中，底数是3，指数是4，读作3的4次方或3的4次幂又如(3)4中，底数是3，指数是4，读作3的4次方或3的4次幂(5)一个数可以看作这个数本身的一次方例如：5就是51,51就是5，指数1通常省略不写(6)底数是分数或负数时，要用括号把底数括起来如(1)2，分别表示(1)(1)，.【例1】 把下列式子写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么？(1)(3.14)(3.14)(3.14)(3.14)(3.14)；(2)；(3) 分析：5个3.14相乘，写成(3.14)5,6个相乘可写成6,2n个m相乘，写成m2n.解：(1)(3.14)(3.14)(3.14)(3.14)(3.14)(3.14)5，其中底数是3.14，指数是5.(2)6，其中底数是，指数是6.(3)m2n，其中底数是m，指数是2n.2.有理数的乘方的运算法则(1)乘方运算的符号法则乘方是特殊的乘法，由乘法法则，我们能得出乘方运算的符号法则：正数的任何次乘方都取正号，负数的奇次乘方取负号，负数的偶次乘方取正号(2)乘方的运算步骤非零有理数的乘方，先根据乘方运算的符号法则判断结果的符号，再将其绝对值乘方；即：根据幂指数的奇、偶性直接确定幂的符号；计算绝对值的乘方乘方是特殊的乘法，由乘法法则，我们能把乘方运算化归为我们熟悉的乘法运算如，(3)4(3)(3)(3)(3)81(不是3和4相乘)(2)()().(3)几点注意an与(a)n的意义完全不同，an表示an的相反数，(a)n表示n个a相乘如14(1111)1，底数是1；(1)4(1)(1)(1)(1)1，底数是1.当底数是带分数时，必须先化为假分数，再进行乘方计算如，(1)2()2()().若一个有理数的平方(可推广到偶次方)等于它本身，那么这个有理数是0或1.若一个有理数的立方(可推广到奇次方)等于它本身，那么这个有理数是0或1.0的正数次方是0.【例2】 计算：(1)(3)4；(2)34；(3)3；(4)；(5)(1)101；(6)( 13).分析：(1)(3)4表示4个3相乘；(2)34表示34的相反数，即34(3333)；(3)3表示3个相乘；(4)表示33除以4的商的相反数；(5)(1)101表示101个1相乘，(1)1011，在进行乘方运算时，首先根据符号法则确定符号，然后再计算绝对值，幂的绝对值等于底数绝对值的乘方；(6)底数是带分数，乘方时要先把带分数化成假分数解：(1)(3)4(3333)81；(2)34(3333)81；(3)3()；(4)；(5)(1)1011；(6)( 1)3(3).3有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算(1)有理数的运算，加减叫第一级运算，乘除叫第二级运算，乘方、开方(以后再学)叫第三级运算(2)有理数混合运算的顺序先乘方，再乘除，后加减同级运算，按照从左到右的顺序进行如果有括号，先做括号里的运算(括号的运算顺序是：先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的)(3)在进行有理数混合运算时，除遵循以上原则外，还要根据具体的题目的特点，灵活使用运算律，使运算准确而快捷【例3】 计算：(1)350221；(2).分析：(1)先算乘方，再把除法转化为乘法，计算乘除运算，最后算加减；(2)此题运算顺序是：第一步计算(1)和(1)；第二步做乘法；第三步做乘方运算；第四步做除法解：(1)原式350413501350131.(2)原式(2)()23(27).4科学记数法(1)大数的表示方法在日常生活中我们会遇到一些特别大的数，这些数在读、写、算时都不方便，于是用如下的简洁方法来表示这些较大的数：用更大的数量级来表示；根据10n的特点，来表示这些较大的数(2)科学记数法的概念一般地，一个绝对值大于10的数都可记成a10n的形式，其中1a10，n等于原数的整数位数减1，这种记数方法叫做科学记数法(3)大于10的数用科学记数法表示时，a，n的确定方法：10的指数n比原数的整数位数少1，用科学记数法表示大于10的数，只要先数一下原数的整数位数即可求出10的指数n.a是整数位数只有一位的数例如：341 257.31的整数位数是6，则n615，所以用科学记数法表示为3.412 573 1105.将原数的小数点从右向左移动，一直移到最高位的后面(即保留一位整数)，这时得到的数就是a，小数点移动的位数就是n，如1 300 000 000人1.3109人，38万千米380 000千米3.8105千米辨误区 用科学记数法时应注意的几点(1)不要误认为a就是零前面的数，如误把426 000记作426103.(2)n等于原数的整数位数减1.不要误认为n就是该数后面零的个数(3)a是整数位数只有一位的数如果原数是负数，负数前面的“”号不能丢【例4】 用科学记数法表示下列各数：(1)687 000 000；(2)5 000 000 000；(3)367 000.分析：(1)把687 000 000写成a10n时，a6.87，它是将原数的小数点向左移动8位得到的，即n8，所以687 000 0006.87108；(2)把5 000 000 000写成a10n时，a5，它是将原来的小数点向左移动9位得到的，即n9，所以5 000 000 0005109；(3)把367 000写成a10n时，a3.67，它是将原来的绝对值的小数点向左移动5位得到的，即n5，所以367 0003.67105.解：(1)687 000 0006.87108；(2)5 000 000 0005109；(3)367 0003.67105.5有理数乘方的运算有理数乘方运算的步骤：确定幂的符号；计算幂的绝对值有理数的乘方是一种特殊的乘法运算因数相同的乘法运算，幂是乘方运算的结果在幂的形式中，底数是因数，指数是相同因数的个数因此有理数的乘方运算可以转化为乘法来运算，先根据有理数乘方的符号法则确定幂的符号，再根据乘方的意义把乘方转化为乘法，来计算幂的绝对值，最后得出幂的结果例如计算(5)3，先确定幂的符号为“”，再计算53125，即(5)3125.正确理解有理数乘方的意义是进行乘方运算的前提，千万不能把底数与指数直接相乘在进行有理数的乘方运算时要辨别清楚底数和指数，以及符号问题，避免出错【例51】 计算：(1)33；(2)(2)2；(3)(32)3；(4)(2)3.分析：运算时，先确定符号，再计算乘方(1)负号在幂的前面，结果是负数；(2)负数的偶次幂，结果是正数；(3)先计算底数326，再计算(6)3；(4)先计算(2)3，其结果是负数，再加上前面的负号，最后结果是正数解：(1)33(333)27；(2)(2)24；(3)(32)3(6)3216；(4)(2)3(8)8.辨误区 进行乘方运算时应注意的问题在进行乘方运算时，一定要避免出现把底数与指数直接相乘的运算错误如33(33)9，这是由于没有理解乘方的意义导致的【例52】 计算(0.25)10412的值分析：直接求(0.25)10和412比较麻烦，但仔细观察可以发现(0.25)100.2510，表示10个0.25相乘，而412表示12个4相乘，这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律就比较容易求出结果了解：(0.25)104120.2510412(0.2510410)42(0.254)104211616.6.写出用科学记数法表示的原数把用科学记数法表示的数a10n“还原”成原数，原数的整数位数等于n1；原数等于把a的小数点向右移动n位所得的数，若向右移动位数不够，应用0补上数位谈重点 科学记数法的误区把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法表示的数还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法【例6】 下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？(1)3104；(2)2.25105；(3)6.32103；(4)赤道长约4104千米；(5)按365天计算一年有3.153 6107秒分析：将科学记数法a10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数也可以先把10n化成通常表示的数，再与a相乘即可，但转化时要注意1后面0的个数就是n.解：(1)3104310 00030 000；(2)2.251052.25100 000225 000；(3)6.321036.321 0006 320；(4)4104千米40 000千米；(5)3.153 6107秒31 536 000秒7.有理数运算中的技巧运算顺序规定：先算高级运算，再算低级运算，同级运算，按从左到右的顺序进行在进行有理数的运算时，若能根据算式的结构特征，选择适当的方法，灵活应用运算律和运算法则，可使问题化繁为简，化难为易，运算过程迅捷简便，起到事半功倍的奇效对于较复杂的计算问题，计算时不要急于下手，应该先整体观察，分析算式的结构特征和各数之间的关系，寻找简捷的解题途径，进行合理、快速的运算在有理数混合运算中，先算乘方，再算乘除乘除运算在一起时，统一化成乘法往往可以约分而使运算简化；遇到带分数通分时，可以写成整数与真分数和的形式，如2，而将化成，因而避免把化为，也可以简化运算解技巧 有理数的混合运算在进行有理数的混合运算中，先确定运算顺序，注意恰当使用运算定律分数、小数的乘除混合运算，通常把小数化为分数，带分数化成假分数含有多重括号时，去括号的一般方法是由内向外，即依次去掉小、中、大括号，也可以由外向内计算过程中应时时重视符号【例7】 计算：(1)32(84)2.52()24；(2)1(2)0.752.分析：(1)此题是有理数的混合运算，有小括号可以先做小括号内的，把32化成假分数，可以写成(32)的形式，而()24，若用分配律又较为方便(2)在运算的同时把前两个除法转化为乘法去掉绝对值、把小数转化为分数，然后进一步计算即可解：(1)32(84)2.5224(32)()6.251216182216.25121.026.25124.73.(2)1(2)0.752()()1()1123.8有理数乘方运算的应用有理数的乘方运算在现实生活中有广泛的应用，给生活中经常出现的大数的读写带来了极大的方便比如，一层楼高约3米，一张纸的厚度只有0.1毫米，0.1毫米与3米相比几乎可以忽略不计，如果我们将纸对折、再对折，如此这样对折20次后，其厚度将比30层楼房还要高，这就是有理数乘方的神奇魔力，在现实生活中有着很广泛的应用【例8】 据科学家测算，用1吨废纸造出的再生好纸相当于0.30.4亩森林木材的造纸量某市今年大约有6.7104名初中毕业生，每个毕业生离校时大约有12千克废纸，若他们都把废纸送到回收站生产再生好纸，则至少可使森林免遭砍伐的亩数为_(用科学记数法表示)解析：本题可分步计算出废纸回收的数量，再算出因废纸回收使森林免遭砍伐的最少亩数：废纸回收的数量：6.7104128.04105(千克)804(吨)；因废纸回收使森林免遭砍伐的最少亩数是8040.3241.2(亩)，用科学记数法表示为2.412102亩答案：2.4121029.利用乘方解决规律性问题乘方运算是新学的一种重要的计算方法，乘方运算中有很多规律性变化，目前主要有三种：一个数的乘方运算中，个位数字总是呈现一定的循环规律乘方运算中的数或数列的变化呈现一定的规律性，如：2,4，8，16，32，.等式运算中的规律性变化，如：12021,22123，32225，42327，.乘方运算中规律性变化灵活多样，有时还伴有符号的变化，并与和、差、等式相结合，更不容易发现其中的规律，因此识别较难由特殊到一般，发现探索规律，是解决这类问题的关键，要注意观察：一是看参与计算的数与顺序间的变化规律，二是看结果的变化与顺序之间的规律由特殊入手，猜想、验证，得出正确结论与有理数的乘方有关的探究题主要有以下几种：(1)个位数字是几，在中考中经常涉及到，例如3n的个位数字是3,9,7,1,3,9,7,1，依次循环；(2)拉面的条数、折纸的张数、握手的次数、绳子的长度、细胞分裂的个数等，都利用2n或n求解【例91】 观察下列算式：212,224,238,2416,2532,2664,27128，通过观察，用你所发现的规律确定227的个位数字是()a2b4c6d8解析：观察式子的变化发现，从2的1,2,3,4,5，次方的结果看，个位数以2,4,8,6,2,4，循环，所以每四次一循环，而2746余3，所以227的个位数字是8，故选d.答案：d【例92】 观察下列各式：1112,13422；135932；13571642，.请猜想前15个奇数的和是_解析：1个奇数等于12，前2个奇数的和等于22，前3个奇数的和等于32，猜想前15个奇数的和是152.答案：1357929152225【例93】 观察下面一列数：2,5,10，x,26,37,50，65，根据规律，其中x表示的数是_解析：观察数列发现，每个数都是对应的顺序