三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第二章 函数 2.3 函数的奇偶性与周期性课件.ppt

2 3函数的奇偶性与周期性 1 奇函数 偶函数的概念一般地 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 那么函数f x 就叫做偶函数 一般地 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 那 f x f x f x f x 么函数f x 就叫做奇函数 2 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性一般都按照定义严格进行 一般步骤是 1 考察定义域是否关于 2 根据定义域考察表达式f x 是否等于f x 或 f x 若f x f x 则f x 为奇函数 若f x f x 则f x 为偶函数 若f x f x 且f x f x 则f x 既是奇函数又是偶函数 若f x f x 且f x f x 则f x 既不是奇函数又不是偶函数 即非奇非偶函数 原点对称 3 奇 偶函数的性质 1 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 2 在公共定义域内 1 两个奇函数的和是奇函数 两个奇函数的积是偶函数 2 两个偶函数的和 积是偶函数 3 一个奇函数一个偶函数的积是奇函数 4 几个常用的结论 1 若奇函数y f x 在x 0处有意义 则 即图象经过原点 若y f x 为偶函数 则 2 若函数y f x 的定义域关于原点对称 则f x f x 为偶函数 f x f x 为奇函数 f x f x 为偶函数 3 几个常见类型函数的奇偶性a 函数f x ax a x为偶函数 函数f x ax a x为奇函数 b 函数f x 为奇函数 c 函数f x loga为奇函数 d 函数f x loga x 为奇函数 f 0 0 f x f x f x 5 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的任何值时 都有 那么就称函数y f x 为周期函数 t为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数 那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期 f x t f x 1 下列函数中 既是奇函数又是增函数的为 a y x 1b y x3c y d y x x 答案dy x 1是非奇非偶函数 y x3是减函数 y 在 0 上为减函数 y x x 为奇函数 当x 0时 y x2为增函数 由奇函数性质得y x x 在r上为增函数 故选d c 2 若函数f x 为奇函数 则a a b c d 1答案a解法一 由题意知f x f x 恒成立 即 即 x a x a 恒成立 所以a 故选a 解法二 因为f x 的定义域为 又因为奇函数定义域关于原点对称 所以a c 3 若偶函数f x 在 1 上是增函数 则下列关系式中成立的是 a f f 1 f 2 b f 1 f f 2 c f 2 f 1 fd f 2 f f 1 答案d由题意得f 2 f 2 又 2 1 f x 在 1 上是增函数 所以f 2 f 2 f f 1 故选d c 4 设函数f x x r 为奇函数 f 1 f x 2 f x f 2 则f 5 a 0b 1c d 5答案c令x 1 则f 1 2 f 1 f 2 f 2 f 1 f 1 2f 1 1 f x 2 f x 1 f x 4 f x 2 1 f x 4 f x 2 f 5 f 1 2 故选c c 5 2015浙江丽水教学质量检测 若函数f x ax 1 x a 为偶函数 且函数y f x 在x 0 上单调递增 则实数a的值为 a 1b 1c 1d 0答案cf x ax 1 x a ax2 1 a2 x a y f x 为偶函数 1 a2 0 a 1 又 y f x 在x 0 上单调递增 a 0 故选c c 6 已知函数f x 是定义在r上的偶函数 且在区间 0 上单调递增 若实数a满足f log2a f loa 2f 1 则a的取值范围是 a b c d 0 2 答案cf loa f log2a f log2a 所以原不等式化为f log2a f 1 即f log2a f 1 又函数在区间 0 上单调递增 所以 log2a 1 解得 a 2 c 函数奇偶性的判断典例1已知f x 判断f x 的奇偶性 解析解法一 当x 0时 x0 f x x 1 x x 1 x f x 又f 0 0 所以函数为奇函数 解法二 作出函数图象 发现图象关于原点对称 所以函数为奇函数 解法三 函数解析式可化简为f x x 1 x x r 则f x x 1 x x 1 x f x 所以函数为奇函数 c 判断函数奇偶性的步骤 1 首先求函数的定义域 定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件 2 如果函数的定义域关于原点对称 那么可进一步判断f x f x 或f x f x 是否对定义域内的每一个x恒成立 恒成立要给予证明 否则要举出反例 注意 判断分段函数的奇偶性应分段分别判断f x 与f x 的关系 只有对各段上的x都满足相同的关系时 才能判断其奇偶性 1 1 2015浙江丽水一模 3 5分 下列函数中既不是奇函数 又不是偶函数的是 a y 2 x b y lg x c y 2x 2 xd y lg答案d解析根据函数奇偶性的定义判断知 a c选项对应的函数为偶函数 b选项对应的函数为奇函数 只有d选项对应的函数的定义域不关于原点对称 故为非奇非偶函数 故选d c 1 2 2015浙江样卷 2 5分 若函数f x x r 是奇函数 则 a 函数y f x2 是奇函数b 函数y f x 2是奇函数c 函数y f x x2是奇函数d 函数y f x x2是奇函数答案c解析 f x 2 f x2 y f x2 是偶函数 故a错 f x 2 f x 2 f x 2 y f x 2是偶函数 故b错 f x x 2 f x x2 y f x x2是奇函数 故c正确 显然函数y f x x2既不是奇函数也不是偶函数 故选c c 函数的奇偶性及其应用典例2 2015山东青岛一中月考 函数f x 是奇函数 则实数k等于 a 1b 0c 1或 1d 0或1答案c解析由题意可知f 1 f 1 0 即 0 5 5k2 0 k 1 经检验 均符合题意 故选c c 函数奇偶性应用的常见类型 1 已知函数的奇偶性求函数的解析式 2 含有字母参数的函数利用奇偶性求字母参数 常常采用待定系数法 利用f x f x 0的恒等式可得字母的值 3 求某些特殊的函数值 奇函数的图象关于原点对称 有f x0 f x0 0 而偶函数的图象关于y轴对称 有f x0 f x0 可求得f x0 的值 2 1已知函数f x 2 x 2 ax g x 为定义在r上的奇函数 且当x 0时 g x f x 且g 1 4 求g x 的解析式 解析g 1 4 g 1 所以g 1 4 又当x 0时 g x f x 所以f 1 g 1 4 2 a 所以a 2 当x0 g x f x 2 x 2 a x 2 x 2 ax g x 所以g x 2x 2 x 2 又g 0 0 所以g x 2 2 2015浙江冲刺卷 已知函数y f x 在r上为偶函数 当x 0时 f x log3 x 1 若f t f 2 t 则实数t的取值范围是 c a 1 b 1 c d 2 答案b解析由题意知函数y f x 的图象关于y轴对称 且在x 0 上为增函数 所以当f t f 2 t 时 t 2 t 解得t 1 故选b 函数的周期性及其应用典例3 2014安徽 6 5分 设函数f x x r 满足f x f x sinx 当0 x 时 f x 0 则f a b c 0d 答案a解析 f x 2 f x sin x f x sinx sinx f x f x 的周期t 2 又 当0 x 时 f x 0 f 0 即f f sin 0 f f f f 故选a c 1 若函数f x 满足f x a f x a 则函数的周期为2 a 2 若函数f x 满足f x a f x 则函数的周期为2 a 3 若函数f x 满足f x a 则函数的周期为2 a 4 若函数f x 的图象关于直线x a和直线x b对称 则函数的周期为2 b a 5 若函数f x 的图象关于点 a 0 和 b 0 对称 则函数的周期为2 b a 6 若函数f x 的图象关于直线x a对称 且关于点 b 0 对称 则函数的周期为4 b a 函数的周期性 3 1 2015浙江冲刺卷二 1 5分 已知函数f x 是定义在r上的偶函数 且对任意的x r都有f x 2 f x f 1 则f 2015 a 0b 1c 2014d 2015答案a解析令x 1 有f 1 f 1 f 1 得f 1 0 而f x 是偶函数 故f 1 f 1 0 故有f x 2 f x 从而有f x 4 f x 2 f x 即函数f x 是以4为周期的周期函数 从而f 2015 f 3 f 1 0 故选a c 3 2 2015浙江宁波十校联考 15 已知函数f x 的定义域为r f 0 3 且函数f x 1 为奇函数 f x 3 为偶函数 则f 2014 f 2015 答案 3解析 函数f x 1 为奇函数 f x 3 为偶函数 f x 1 f x 1 f x 3 f x 3 f x 1 f x 1 f x 4 3 f x 4 3 f x 8 1 f x 8 1