矩形覆盖题解.docVIP

第四题矩形覆盖矩形覆盖（存盘名NOIPG4）问题描述:在平面上有 n 个点（n = 50），每个点用一对整数坐标表示。例如：当 n4 时，4个点的坐标分另为：p1（1，1），p2（2，2），p3（3，6），P4（0，7），见图一。这些点可以用 k 个矩形（1=k=4）全部覆盖，矩形的边平行于坐标轴。当 k=2 时，可用如图二的两个矩形 sl，s2 覆盖，s1，s2 面积和为 4。问题是当 n 个点坐标和 k 给出后，怎样才能使得覆盖所有点的 k 个矩形的面积之和为最小呢。约定：覆盖一个点的矩形面积为 0；覆盖平行于坐标轴直线上点的矩形面积也为0。各个矩形必须完全分开（边线与顶点也都不能重合）。 输入:键盘输人文件名。文件格式为n kxl y1x2 y2. .xn yn （0=xi,yi=500) 输出:输出至屏幕。格式为：一个整数，即满足条件的最小的矩形面积之和。 输入输出样例d.in :4 21 12 23 60 7屏幕显示：4分析【题解一】1、本题的难度较大。如果你这样认为：即在假定已用i个矩形（面积和满足最小）覆盖所有点的基础上，穷举所有2个矩形合并成1个矩形（条件是：在所有合并方案中使合并后面积最小），从而使矩形个数减少为i-1那就错了，可是却可以通过前4组测试数据！正确的做法是对不同的K值分别进行计算，好在K值较小，否则.讨论：k=1，只要求出n个点坐标的最大、最小值，就可求得矩形的位置与面积；k=2，有2个矩形，它们只有2种分布形式：左右式（flag=0），上下式（flag=1）12flag=021flag=1对于左右式，显然要先将所有点按横坐标升序排列，可将点1点i-1放入矩形1中，将点i点n放入矩形2中，求两矩形的面积之和；如果面积和比上一个值小，记下；让i从2循环到n,就可完成左右式的全部搜索；对于上下式，先将所有点按纵坐标升序排列，依此类推。k=3，有3个矩形，它们有6种分布形式：123flag=1123flag=0321flag=2123flag=3123flag=4123flag=5要用两重循环进行搜索：设i,j为循环变量，将点1i-1放入矩形1中，点ij-1放入矩形2中，点jn放入矩形3中；点必须在放入前排好序（均为升序）：对于flag=0,所有点按横坐标排序；对于flag=1,所有点按纵坐标排序；对于flag=2,所有点先按横坐标排序，然后点in按纵坐标排序；对于flag=3,所有点先按横坐标排序，然后点1j-1按纵坐标排序；对于flag=4,所有点先按纵坐标排序，然后点1j-1按横坐标排序；对于flag=5,所有点先按纵坐标排序，然后点in按横坐标排序；至于k=4,4个矩形有22种分布形式，实在太复杂！幸好测试数据中没有K=4的情形(似乎有意放了一马？)。据说本题全国没有一人全对！（只要求K=1，2，3）程序清单$A+,B-,D+,E+,F-,G-,I+,L+,N-,O-,P-,Q-,R-,S-,T-,V+,X+,Y+$M 65520,0,655360program NOIPG4; const maxn=50;maxk=3; type rect=record定义矩形数据类型 l,r,t,b:word;矩形的左边，右边，下边，上边距坐标轴的距离 end; vxy=record定义点数据类型 x,y:word;点的横、纵坐标 end; var ju:array1.maxkof rect; v:array1.maxn,0.2 of vxy;v0:vxy; n,k,i,j,ii,jj:byte;f:text;filename:string; Smin,temp:longint; function intersect(jui,juj:rect):boolean;判断两矩形是否有公共点 var b1,b2,t1,t2,l1,l2,r1,r2:word; begin b1:=jui.b;b2:=juj.b;t1:=jui.t;t2:=juj.t; l1:=jui.l;l2:=juj.l;r1:=jui.r;r2:=juj.r; intersect:=(l2=l1) or (r2=l1) or (l2=r1) and (t2=t1) or (b2=t1) or (b2=b1) and (t2=t1); end; function area(ju:rect):longint;求矩形的面积 var temp:longint; begintemp:=ju.b-ju.t;area:=temp*(ju.r-ju.l);不能直接写成area:=(ju.b-ju.t)*(ju.r-ju.l);因为这样可能会溢出！ end; procedure insert(v:vxy;var ju:rect);将点放入矩形 begin if v.xju.r then ju.r:=v.x; if v.yju.b then ju.b:=v.y; end; procedure init;初始化 begin write(Input filename:);readln(filename); assign(f,filename);reset(f);readln(f,n,k); for i:=1 to n do begin read(f,vi,0.x,vi,0.y); vi,1.x:=vi,0.x;vi,1.y:=vi,0.y; end; for i:=1 to n-1 do按横坐标升序排列各点，存入vi,0 for j:=i+1 to n do if vi,0.xvj,0.x then begin v0:=vi,0;vi,0:=vj,0;vj,0:=v0; end; for i:=1 to n-1 do按纵坐标升序排列各点，存入vi,1 for j:=i+1 to n do if vi,1.yvj,1.y then begin v0:=vi,1;vi,1:=vj,1;vj,1:=v0; end; end; procedure solve;核心计算 begin smin:=maxlongint; case k of 1:beginK=1的情形 ju1.b:=vn,1.y;ju1.t:=v1,1.y; ju1.r:=vn,0.x;ju1.l:=v1,0.x; smin:=area(ju1); end; 2:for jj:=0 to 1 do beginK=2的情形 flag=0,1的情形 ju1.b:=v1,jj.y;ju1.t:=v1,jj.y; ju1.r:=v1,jj.x;ju1.l:=v1,jj.x; for i:=2 to n do begin insert(vi-1,jj,ju1);将第i-1点放入矩形1 ju2.b:=vi,jj.y;ju2.t:=vi,jj.y;将第i至n点放入矩形2 ju2.r:=vi,jj.x;ju2.l:=vi,jj.x; for ii:=i+1 to n do insert(vii,jj,ju2); if not intersect(ju1,ju2) then begin如果两矩形不交叉 temp:=0;for ii:=1 to k do temp:=temp+area(juii); if tempsmin then smin:=temp; end; end; end; 3:begin for jj:=0 to 1 do begin flag=0,1的情形 ju1.b:=v1,jj.y;ju1.t:=v1,jj.y; ju1.r:=v1,jj.x;ju1.l:=v1,jj.x; for i:=2 to n-1 do begin insert(vi-1,jj,ju1); ju2.b:=vi,jj.y;ju2.t:=vi,jj.y; ju2.r:=vi,jj.x;ju2.l:=vi,jj.x; if intersect(ju1,ju2) then continue; for j:=i+1 to n do begin insert(vj-1,jj,ju2); ju3.b:=vj,jj.y;ju3.t:=vj,jj.y; ju3.r:=vj,jj.x;ju3.l:=vj,jj.x; for ii:=j+1 to n do insert(vii,jj,ju3); if intersect(ju2,ju3) then continue; temp:=0;for ii:=1 to k do temp:=temp+area(juii); if tempvjj,2.y then begin v0:=vii,2;vii,2:=vjj,2;vjj,2:=v0; end;结果：所有点先按横坐标升序排列，然后点i至n按纵坐标升序排列 insert(vi-1,2,ju1);将第i-1点放入矩形1 ju2.b:=vi,2.y;ju2.t:=vi,2.y;将第i点放入矩形2 ju2.r:=vi,2.x;ju2.l:=vi,2.x; if intersect(ju1,ju2) then continue; for j:=i+1 to n do begin insert(vj-1,2,ju2);将第j-1点放入矩形2 ju3.b:=vj,2.y;ju3.t:=vj,2.y;将第j至n点放入矩形3 ju3.r:=vj,2.x;ju3.l:=vj,2.x; for ii:=j+1 to n do insert(vii,2,ju3); if intersect(ju2,ju3) then continue; temp:=0;for ii:=1 to k do temp:=temp+area(juii); if tempvjj,2.y then begin v0:=vii,2;vii,2:=vjj,2;vjj,2:=v0; end; ju3.b:=vj,2.y;ju3.t:=vj,2.y; ju3.r:=vj,2.x;ju3.l:=vj,2.x; for ii:=j+1 to n do insert(vii,2,ju3); for i:=2 to j-1 do begin ju2.b:=vi,2.y;ju2.t:=vi,2.y; ju2.r:=vi,2.x;ju2.l:=vi,2.x; for ii:=i+1 to j-1 do insert(vii,2,ju2); ju1.b:=v1,2.y;ju1.t:=v1,2.y; ju1.r:=v1,2.x;ju1.l:=v1,2.x; for ii:=2 to i-1 do insert(vii,2,ju1); if intersect(ju1,ju2) or intersect(ju2,ju3) or intersect(ju1,ju3) then continue; temp:=0;for ii:=1 to k do temp:=temp+area(juii); if tempvjj,2.x then begin v0:=vii,2;vii,2:=vjj,2;vjj,2:=v0; end; ju3.b:=vj,2.y;ju3.t:=vj,2.y; ju3.r:=vj,2.x;ju3.l:=vj,2.x; for ii:=j+1 to n do insert(vii,2,ju3); for i:=2 to j-1 do begin ju2.b:=vi,2.y;ju2.t:=vi,2.y; ju2.r:=vi,2.x;ju2.l:=vi,2.x; for ii:=i+1 to j-1 do insert(vii,2,ju2); ju1.b:=v1,2.y;ju1.t:=v1,2.y; ju1.r:=v1,2.x;ju1.l:=v1,2.x; for ii:=2 to i-1 do insert(vii,2,ju1); if intersect(ju1,ju2) or intersect(ju2,ju3) or intersect(ju1,ju3) then continue; temp:=0;for ii:=1 to k do temp:=temp+area(juii); if tempvjj,2.x then begin v0:=vii,2;vii,2:=vjj,2;vjj,2:=v0; end; insert(vi-1,2,ju1); ju2.b:=vi,2.y;ju2.t:=vi,2.y; ju2.r:=vi,2.x;ju2.l:=vi,2.x; if intersect(ju1,ju2) then continue; for j:=i+1 to n do begin insert(vj-1,2,ju2); ju3.b:=vj,2.y;ju3.t:=vj,2.y; ju3.r:=vj,2.x;ju3.l:=vj,2.x; for ii:=j+1 to n do insert(vii,2,ju3); if intersect(ju2,ju3) then continue; temp:=0;for ii:=1 to k do temp:=temp+area(juii); if tempsmin then smin:=temp; end; end; end; end; end; begin主程序 init; solve; writeln(smin); end.点评：压轴题 据说，本次复赛主要是前三题的竞争，可见本题能得分的人相当少，但是K=1应该说是送分的，K=2也是比较容易的。通过测试，发现在K=3的第4、5组测试数据中仅用到了flag=1的情形，也就是说，只要写出flag=1的程序段就OK了（没写flag=0,2,3,4,5的同学偷着乐?）。【题解二】具体方法是将每个点极角排序然后就是一个经典的DP了：fi,j,k=min(fi,j,k,fi,t,k-1+st+1,j)另外注意要DP两次因为可以是横着的也可以是竖着的具体实现参见以下代码：varn,m,i,t,ans,last:longint;x,y:array1.51 of integer;procedure sort(l,r:integer);vari,j,mid,t:integer;begini:=l;j:=r;mid:=x(l+r) shr 1;repeatwhile(ximid) do dec(j);if ij;if ir then sort(i,r);if lj then sort(l,j);end;procedure qsort(l,r:integer);vari,j,mid,t:integer;begini:=l;j:=r;mid:=y(l+r) shr 1;repeatwhile(yimid) do dec(j);if ij;if ir then qsort(i,r);if lsmax then smax:=yi;if yismin then smin:=yi;end;hight:=smax-smin;end;function min(x,y:longint):longint;beginif xy then min:=x else min:=y;end;procedure Dynamic;varj,k,p:integer;s:array1.50,1.50 of longint;f:array1.50,1.50,1.4 of longint;beginfor i:=1 to m dofor j:=1 to m dofor k:=1 to n dofi,j,k:=300000;for i:=1 to m dofor j:=i to m dobeginsi,j:=(xj-xi)*hight(i,j);fi,j,1:=si,j;end;for p:=1 to m dofor i:=1 to m-p dobeginj:=i+p;for k:=2 to n dofor t:=i to j-1 dofi,j,k:=min(fi,j,k,fi,t,k-1+st+1,j);end;ans:=min(ans,f1,m,n);end;beginassign(input,t4.in);reset(input);assign(output,t4.out);rewrite(output);readln(m,n);for i:=1 to m doreadln(xi,yi);xm+1:=maxint;ym+1:=maxint;ans:=maxlongint;sort(1,m);t:=x1;last:=1;for i:=2 to m+1 doif xit thenbeginqsort(last,i-1);t:=xi;last:=i;end;Dynamic;for i:=1 to m dobegint:=xi;xi:=yi;yi:=t;end;sort(1,m);t:=x1;last:=1;for i:=2 to m+1 doif xit thenbeginqsort(last,i-1);t:=xi;last:=i;end;Dynamic;writeln(ans);close(input);close(output);end.【题解三】 好吧，我承认，此题真正地震撼了我，我无语。 K明明是1到4的取值，由于数据最大K为3，然后所有的做法竟然都是分情况模拟！K=1时如何，K=2时有哪些分的情况。（上下分，左右分），K=3的时候6种情况。 每次都要排序X,Y坐标，算面积。$A+,B-,D+,E+,F-,G-,I+,L+,N-,O-,P-,Q-,R-,S-,T-,V+,X+,Y+$M 65520,0,655360program NOIPG4;const maxn=50;maxk=3;type rect=record定义矩形数据类型 l,r,t,b:word;矩形的左边，右边，下边，上边距坐标轴的距离 end; vxy=record定义点数据类型 x,y:word;点的横、纵坐标 end;var ju:array1.maxkof rect; v:array1.maxn,0.2 of vxy;v0:vxy; n,k,i,j,ii,jj:byte;f:text;filename:string; Smin,temp:longint;function intersect(jui,juj:rect):boolean;判断两矩形是否有公共点 var b1,b2,t1,t2,l1,l2,r1,r2:word; begin b1:=jui.b;b2:=juj.b;t1:=jui.t;t2:=juj.t; l1:=jui.l;l2:=juj.l;r1:=jui.r;r2:=juj.r; intersect:=(l2=l1) or (r2=l1) or (l2=r1) and (t2=t1) or (b2=t1) or (b2=b1) and (t2=t1); end;function area(ju:rect):longint;求矩形的面积 var temp:longint; begin temp:=ju.b-ju.t; area:=temp*(ju.r-ju.l); end;procedure insert(v:vxy;var ju:rect);将点放入矩形 begin if v.xju.r then ju.r:=v.x; if v.yju.b then ju.b:=v.y; end;procedure init;初始化 begin write(Input filename:);readln(filename); assign(f,filename);reset(f);readln(f,n,k); for i:=1 to n do begin read(f,vi,0.x,vi,0.y); vi,1.x:=vi,0.x;vi,1.y:=vi,0.y; end; for i:=1 to n-1 do按横坐标升序排列各点，存入vi,0 for j:=i+1 to n do if vi,0.xvj,0.x then begin v0:=vi,0;vi,0:=vj,0;vj,0:=v0; end; for i:=1 to n-1 do按纵坐标升序排列各点，存入vi,1 for j:=i+1 to n do if vi,1.yvj,1.y then begin v0:=vi,1;vi,1:=vj,1;vj,1:=v0; end; end;procedure solve;核心计算 begin smin:=maxlongint; case k of 1:beginK=1的情形 ju1.b:=vn,1.y;ju1.t:=v1,1.y; ju1.r:=vn,0.x;ju1.l:=v1,0.x; smin:=area(ju1); end; 2:for jj:=0 to 1 do beginK=2的情形 flag=0,1的情形 ju1.b:=v1,jj.y;ju1.t:=v1,jj.y; ju1.r:=v1,jj.x;ju1.l:=v1,jj.x; for i:=2 to n do begin insert(vi-1,jj,ju1);将第i-1点放入矩形1 ju2.b:=vi,jj.y;ju2.t:=vi,jj.y;将第i至n点放入矩形2 ju2.r:=vi,jj.x;ju2.l:=vi,jj.x; for ii:=i+1 to n do insert(vii,jj,ju2); if not intersect(ju1,ju2) then begin如果两矩形不交叉 temp:=0;for ii:=1 to k do temp:=temp+area(juii); if tempsmin then smin:=temp; end; end; end; 3:begin for jj:=0 to 1 do begin flag=0,1的情形 ju1.b:=v1,jj.y;ju1.t:=v1,jj.y; ju1.r:=v1,jj.x;ju1.l:=v1,jj.x; for i:=2 to n-1 do begin insert(vi-1,jj,ju1); ju2.b:=vi,jj.y;ju2.t:=vi,jj.y; ju2.r:=vi,jj.x;ju2.l:=vi,jj.x; if intersect(ju1,ju2) then continue; for j:=i+1 to n do begin insert(vj-1,jj,ju2); ju3.b:=vj,jj.y;ju3.t:=vj,jj.y; ju3.r:=vj,jj.x;ju3.l:=vj,jj.x; for ii:=j+1 to n do insert(vii,jj,ju3); if intersect(ju2,ju3) then continue; temp:=0;for ii:=1 to k do temp:=temp+area(juii); if tempvjj,2.y then begin v0:=vii,2;vii,2:=vjj,2;vjj,2:=v0; end;结果：所有点先按横坐标升序排列，然后点i至n按纵坐标升序排列 insert(vi-1,2,ju1);将第i-1点放入矩形1 ju2.b:=vi,2.y;ju2.t:=vi,2.y;将第i点放入矩形2 ju2.r:=vi,2.x;ju2.l:=vi,2.x; if intersect(ju1,ju2) then continue; for j:=i+1 to n do begin insert(vj-1,2,ju2);将第j-1点放入矩形2 ju3.b:=vj,2.y;ju3.t:=vj,2.y;将第j至n点放入矩形3 ju3.r:=vj,2.x;ju3.l:=vj,2.x; for ii:=j+1 to n do insert(vii,2,ju3); if intersect(ju2,ju3) then cont