§2 等量关系分析法.doc

2等量关系分析法等量关系就是用语言和文字布列出来的方程。从题目中能抽出几个等量关系，一般来说就能布列出几个方程。因此，根据等量关系的个数就可以决定列出的方程的个数。如果再能掌握等量关系的未知数之间的转化关系，就可以灵活确定所列方程的类型。中学物理中分析等量关系，通常有下列几种方法。1、直接从题目的表述中发现等量关系例如，同体积的铁和铜，吸收相等的热量，求两者温度上升的比？自由落体在最后1秒所通过的位移是全程的5/9，问该物体在下落过程中共用几秒？有一个电池组，第一次用电阻为4欧姆的导线相连接，第二次用9欧姆的导线相连接。二次测得外电路在相等的时间里放出的热量相等。求电池组的内电阻。A、B两个点电荷，原来距离r，作用力为F，若A的电量增为原来的3倍，而两电荷间的相互作用力减少为原来的1/3，求此两电荷间的距离。这类题目的表述中，有“等于”、“相等”、“是”、“增为”等直接指明关系的关联词，布列方程时，只无原则依据相应的定律和公式，把各关联词翻译成数学语言就行了。2、把量的相依变化过程中的不变量选作等量关系的基础物理世界中各种现象的演变过程，实质上也是各物理量之间的相依变化过程，在这个过程中有些量是不变的。例如，力学中，在只有重力和弹力做功的体系内，总机械能是不变量；在所受的合外力等于零的系统内，物体相互作用前后，总动量是不变量；同一振源激起的波，在各种媒质中传播时，频率是不变量。热学中，一定量的理想气体的压强和体积的相税乘积，以它的绝对温度相除所得的商在状态变化过程中保持不变；电学中对于某一确定电场，电场中某点的场强的大小，电势是一个定值；一个固定电容器，电容是一个定值个平行板电容器，如果与确定的电源连在一起，达到稳定状态后，电容器两板电势差保持不变，如果充电后断开电路，电电容器极板上所带的电量不变；在一个直流电路中，电源电动势和内电阻是确定的，不承受外电路改变。原子物理学中，核反应时，质量数守恒、电荷守恒、能量守恒等等。在分析物理问题时，常常以这些不变量为基础，确定等量关系，。布列方程。当然，作为等量关系基础的不变量，可以是题设的条件，也可以是题中所要求的未知量。例32图32中，细绳绕过两个定滑轮A及B，在两端各挂一个重为G的物体，现在A、B的中点C处，挂一个重为Q的小球，Q2G。求：小球可能达到的最大距离h。（滑轮及绳的质量忽略不计，绳与滑轮间的摩擦不计，A、B的长度等于）分析：这个问题的物理过程是重物Q下降，两个重物上升的过程，要求的是Q下降时可能达到的最大距离。（注意：不是物体最后趋于平衡时离C点的距离，即不是静力平衡问题）dhd图33ACBQGG图32h把重物Q和两个重物G作为一个系统，因为除重力以外，没有其他外力做功，系统的机械能守恒。即重物Q下降时，重力势能的减少量等于两重物G上升时重力势能的增加量，据此，可列方程：但（如图33所示）解得例33有两个相同的电阻R，接在电动势为，内电阻为r的电源上，串联时通过其中的电流是并联时干路中的电流的。求R与r的比分析：串联或并联，只影响外电路的组成，电源电动势是一个不变量。据此则有：解得：例34光波从折射率为1.3的媒质进入折射率为1.5的媒质时，它的波长将如何变化？分析：光波从一种媒质进入另一种媒质时，传播速度和波长发生变化，而频率是一个不变量。故（1）又光波在真空中的传播速度C是宣定值，由，有：（2）联立（1）、（2）两方程，解得波长将减小。3、从某些物理现象和物理过程的条件或特征中，寻找等量关系一个物理现象的发生或一个物理过程的实现，都有其一定的条件或特征。在布列方程时，认真分析这些条件或特征，便可从中找出等量关系。例如：在共点力作用下，物体处于平衡状态或匀速直线运动状态时，有（合外力等于零）有固定转动轴的物体，处于静止状态或匀速转动时，有（合力矩为零）两物体同向追及时，有（d为t=0时两物体之间的距离）两物体异赂相遇时，有绕固定转动轴转动的物体，各点的角速度相等皮带传动中,在没有打滑的情况下，同轮上各点的角速度相等，不同轮边缘上各点的线速度相等。热交换中，物体处于热平衡状态时，各物体的终温相等，且。光线从光密媒质，发生全反射时，入射角大于临界角A。直流电路中，两电阻并联时，有凡此等等，都可作为等量关系。例35图34所示，一人与竖直方向成600角的力拉动绳使重物G匀速上升，若滑轮的重量为G1，绳的重量和滑轮轴的摩擦不计，则绳OA的张力是多少？已知轮的圆心C为滑轮的重心，且OAC在一条直线上。拉力GOACG1TT1600yx0图3-4图3-5分析：这是一个静力学的问题，取滑轮为研究对象，它受四个力作用：策重力G1，拉力F，绳OA的张力T1。由于绳OA的张力及滑轮所受的重力均通过重心C，根据题意滑轮的重心C不动，所以拉力F与T1的合力也应通过滑轮的重心C，故滑轮所受的各力均可看成作用在重心C处。以它为坐标原点，作平面坐标系xoy（图35所示依共点力力的条件,有即因滑轮匀速转动,且轴上无摩擦,将值代入,解得hh1CABS图3-6例3-6A、B、C三球同时以相同的初速度开始运动。A、B两球相h，且在同一竖直线上，A作竖直下抛运动，B作竖直上抛运动，第三个小球作平抛运动。若要使三球抛出后相遇，C球开始运动时应在何处？（不计空气阻力）分析：这个题目显然不能直接代公式方式来布列方程，必须从三球相遇所应具备的条件进行分析，确定等量关系。设C球开始运动时，与A、B两球的水平距离为S，与A球的竖直距离为h1。（如图3-6所示）各球的初速度均为V0，抛出后t秒相遇。A、B两球异向相遇，竖直位移之和应h即（1）C球要与A、B相遇，水平位移应s（2）在竖直方向上，C球要与A、B两球相遇，它与A球竖直位移之差应等于h1。（或与B球位移之和等于h-h1)。由（1）、（2）、（3）可得即C球开始运动时，应位于A、B连线的中垂直线上，且与A、B的距离为的地方。请读者考虑，在上述条件下，三球是否一定相遇在A、B两球之间？OABCO/图37例3-7 在图37所示的传动装置中，B、C两轮同轴，半径。求分析：这是一个皮带传动问题，B、C两轮绕同一转动轴，根据转动特点，有：（1）A、B两轮通过皮带传动，根据传动特点，在没有打滑的情况下，丙人轮边缘上各点的线速度相等，故有：即（2）由（1）、（2）得例38图38中各电容器的电容量都是C，接线电阻可忽略不计。电容器C1先被充电，使其两端电压值为U1。求：开关闭合后，经足够长的时间C2两端的电压。分析：设K合上之前，C1上的带电量为Q1。K合上时，由于C3两端有电位差，因而在R中产生一定的电流IR，由于IR的作用，使C3两极板间的电位差愈来愈小，经足够长的时间后电位差减小为零，即C3两板上均不带电荷。此时C1、C2可视为并联，设C1、C2上的电量及电压分别为。KC1C2C3R图38依并联电容器的特点，有又因电荷守恒例39电路及元件数据如图39所示，调节RX使Ig=0。求：满足上述条件的Rx的值。G7.03.020.020.020.080.0RxIg图39RG7.03.020.080.0RxR20.020.0图310依电路中的电流的方向，将原电路图改画成图310所示的等效电路。由图可知，Ig=0表明电桥平衡。根据电桥平衡的条件，有解得例310质子经过某一回旋加速器加速后速度为V，现要用同一加速器加速粒子，若改变加速电场的频率而不改变磁感应强度，则粒子加速后的速度是多大？分析：本题所描述的物理过程是：质子和粒子在同一加速器中被加速，因而加速后，它们的轨道半径必相同。据此，有：又因（由得出），将值代入，得4、抓住把两个物理过程联系起来的“中介”物理量，确定等量关系在包含物理过程较多的问题中，往往有一个物理量是同时关联着两个物理过程的，在分析等量关系时，应予特别注意。例311一列火车多A站出发到B站停止，在运行的前1/4的路程中，火车作匀加速直线运动，后1/4的路程中作匀减速直线运动，中间这一半路程作匀速直线运动。试证明：火车的平均速度为它最大速度的2/3。分析：火车运动的全程由三段组成，如图311所示：第一段AM：匀加速直线运动，初速度为零，末速度为VM。第二段NB：匀减速直线运动，初速度为VNVM，末速度为零。AMNBVMVN图311这里第一段运动的末速度，同样关联着三段运动，也是火车整个运动过程中的最大速度。因此必须以它为中心，确定等量关系，布列方程。设A、B两站距离为4S，火车的最大速度为V。依据有：火车在整段路程中的平均速度说明：在很多运动学问题中，物体的运动情况是分段变化的，对于这类问题布列方程时，要注意各段运动在速度上的关联，即第一段运动的末速度就是第二段运动的初速度。G, rABKC图3-12例312图312所示，将一电动势1.4V，内电阻r=0.5的电源与一粗细均匀的电阻丝相连，电阻丝的长度，电阻R100，闭合电键，达到稳定状态后，当滑动触头K以4.010-3m/s的速度向右滑动时，电流计的读数为多少？（电容器的电容C1.7710-7F)分析：本题所包含的物理过程可剖解为：（1）滑动触头K匀速移动，使KB段的电阻丝长度减小，因而RKB变小；（2）由于RKB变小，使K、B两端的电势差UKB变小，（因电流I不变）；（3）由于UKB减少，导致电容C通过电流计G放电。这里，K、B两点的电势差UKB的变化UKB是（1）的结果，又是（3）的原因。因此，应抓住UKB布列方程。但（v为滑动触头的移动速率）（t1秒）代入、两式，解得说明：这是一个电学综合题，此类问题往往通过电压或电动势这个物理量，把静电学、直流电路、电磁感应等部分联系在一起。例313在温度为20.00C，质量是3.96kg的水中，投入一习俗质量为1.00kg，温度是20.00C的冰块，在混合过程中，热量损失50%.求在混合后达到最终温度时，露出水面的冰的体积是多少？（冰的密度D0.9kg/dm3)分析：冰块投入水中后，同时进行着两个物理过程：（1）冰和水进行热交换，温度变化，且有部分能熔解，余下一部分冰。因为(2)余下的冰在重力和水的浮力作用下，浮在水面。这里，达到最终温度时，余下的冰的质量同时关联着两个物理过程，它是一个“中介”物理量。设混合后达到的最终温度时冰块的质量为m/，冰块露出水面的体积为V，依题意有：式中将值代入，解得V0.07dm3说明：本例一个力、热综合题，通过达到终温时，冰的m/，把力、热问题联系在一起。5、全面分析等量关系，灵活确定所列方程的类型所谓“一题多解”有两个含义：一是根据题意，运用有关物理规律之间的联系，从不同的角度分析等量关系，布列出不同类型的方程是运用有关的数学知识，采用不同的数学方法解题。这里我们只通过具体问题前者，至于后者，请参看例340，例343等。例314一列火车，没平直轨道由静止出发，从一个车站运动到另一个车站停下。在开始时，以加速度a1作匀加速直线运动，当关闭动力后并应用刹车，以负加速度a2作匀减速直线运动，若两站距离为S。求：火车运行的时间。分析：火车运动过程及各物理量如图313所示。SS1S2A，VA0C，VCB，VB0a1a2图313【解法一】从位移方面分析，有从时间上分析有：依运动学方公式，得方程组：【解法二】以关联两段运动的速度VC为基础，有：【解法三】从两段位移S1和S2之间的关系和总时间与分段时间的关系考虑，有【解法四】运用平均速度概念，以运行时间t为基础有不难出，上述四种方法中，第四种方法较为简捷（只需两式相乘约去vC即可求得）。这是火车运动的特点两段时间中的平均速度都等于所决定的。例315把一个质量为1.010-5kg，电量为3.010-8C的带电粒子，用1.0m/s的速度射入图314所示的电场内，两平行板相距2.010-2m，两板间的电势差为1.0103V。问：带电粒子能否到达A板。（g=10m/s2)A,+B,-A,+B,-+GF电V0图314图315分析：带电粒子进入电场后受到重力G和电场力F的作用（如图315所示）由于F电G，所以在电场中，粒子作减速速运动。显然，粒子能否到达A板，与粒子进入电场时的初速度或者粒子进入电场时的动能大小有关。【解法一】从运动学的角度考虑，计算粒子以给定的初速度进入电场到速度减少到零时，所经过的位移S，然后拿这个S与两板的距离d比较，有：其中【解法二】假定粒子到达A板时，速度恰好为零，求出所需要的初速度V0/,再拿这个V0/初速度与给定的初速度V0比较，有：其中：其中【解法三】从能量的观点分析，粒子进入电场后，静电力做功，消耗机械能。设粒子到达A板所需的初速度为V0/,，依能量守恒定律有：将上式中救量的V0/与给定的V0比较。上面三种解法中，前两种都要解联立方程，且第二种要涉及开方运算，而从第三个方程中立即可得V0/。例316一个潜水艇位于水面下200m。艇上有一个体积V2m3的贮气钢筒，筒内贮有压缩空气。将筒内部空气压入水箱（水箱有排气孔和海水相连）排出海水10m3.此时筒内剩余气体的压强是95个大气压。设在排水过程中温度不变，求贮气筒内原来的压缩空气的压强。（计算时取1个大气压1.0kg力/cm2)，海水密度取1.0103kg/m3)分析：依题意潜水艇的排水过程温度不变，故理想气体的状态变化符合玻意耳马略特定律，分析相同质量气体的状态变化，确定等量关系，布列方程。此外根据克拉珀龙方程式，对应于气体的每一状态都可布列一个方程式，并应用本题遵守的气体质量守恒原则，也可求解。此贮气筒原来压缩空气的质量为M，压强为P，体积为V；排出的空气的质量为m1，压缩为P1，体积为V1；钢筒内剩余气体的质量为m2，压强为P2，体积为V。【解法一】设想把钢筒内剩余气体膨胀到10立方米，其压强为P2/,依据玻双马定律，有：然后和排出的气体混在一起，作为一个状态，此状态下气体的体积为V1（10米3），压强为（P1P1/),依玻马定律：MPVm2P2 Vm1P1 V1m1+m2(P1+P2/) V1m2P2/ V1图316由、三式可求得P200大气压上述电教过程如图316所示。【解法二】设想把排出的气体再压回到贮气筒内，设其压强为P1/,则贮气筒内原来气体的压强P，依分压定理，P应为P2和P1/之和。即【解法三】依克拉珀龙方程式，有：联立、，即可得P。本题的解法甚多，仅举上面的三种。有意思的是，从上面三种方法所列的方程中，最后都会得到下列方程：它表明了：在质量守恒（Mm1+m2)的原则下，整个系统符合玻马定律。因此，本题若直接根据上式求解，便甚为简捷。例317图317所示，物体与屏幕间的距离为L，在它们之间放一个凸透镜，当透镜位于相距为d的两个位置时，屏幕上都清晰地显出物体的像。Lu1dv1u2v2物幕图317试证明：这个透镜的焦距，在两个位置上所得的像高之比为解答这个题目，可依题意单纯用凸透镜成像公式和放大倍数的定义，来布列方程可利用光的可逆性原理（即v2=u1，u2=