空间两直线的位置关系.ppt

2 1 2 空间中直线与直线之间的位置关系 教学目的 1 会判断两条直线的位置关系 学会用图形语言 符号语言表示三种位置关系 2 理解公理四 并能运用公理四证明线线平行 3掌握空间两直线的位置关系 掌握异面直线的概念 会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面 4 掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念 能求出一些较特殊的异面直线所成的角 复习引入 1 同一平面内不重合两条直线有几种位置关系 2 在同一平面内 同平行于一条直线的两条直线有什么位置关系 1 相交 有且仅有一个公共点 2 平行 在同一平面内没有公共点 互相平行 提出问题 空间中的两条直线呢 1 空间中两条直线的位置关系 观察 观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线 想一想 它们相交吗 平行吗 共面吗 观察上方体的棱所在直线 回答类似的问题 思考 我们把具有上述特征的两条直线取个怎样的名字才好呢 异面直线的定义 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 skewlines 想一想 怎样通过图形来表示异面直线 为了表示异面直线a b不共面的特点 作图时 通常用一个或两个平面衬托 如下图 想一想 做一做 1 已知M N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点 那么MN与AB所在的直线是异面直线吗 2 下图是一个正方体的展开图 如果将它还原成正方体 那么AB CD EF GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对 想一想 做一做 三对 AB与CDAB与GHEF与GH 3 空间两条直线的位置关系有且只有三种 没有 只有一个 没有 共面 不共面 共面 空间中两条直线的位置关系 2 空间两平行直线 提出问题 在同一平面内 如果两条直线都与第三条直线平行 那么这两条直线互相平行 在空间中 是否有类似的规律 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 公理4实质上是说平行具有传递性 在平面 空间这个性质都适用 公理4作用 判断空间两条直线平行的依据 a bc b a c 符号表示 设空间中的三条直线分别为a b c 若 想一想 空间中 如果两条直线都与第三条直线垂直 是否也有类似的规律 例题示范 例1 在空间四边形ABCD中 E F G H分别是AB BC CD DA的中点 求证 四边形EFGH是平行四边形 分析 欲证EFGH是一个平行四边形 只需证EH FG且EH FG E F G H分别是各边中点 连结BD 只需证 EH BD且EH BDFG BD且FG BD 例题示范 例1 在空间四边形ABCD中 E F G H分别是AB BC CD DA的中点 求证 四边形EFGH是平行四边形 变式一 在例2中 如果再加上条件AC BD 那么四边形EFGH是什么图形 E H F G 分析 在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等 菱形 变式二 空间四面体A BCD中 E H分别是AB AD的中点 F G分别是CB CD上的点 且 求证 四边形ABCD为梯形 A B C D E H F G 分析 需要证明四边形ABCD有一组对边平行 但不相等 3 等角定理 提出问题 在平面上 我们容易证明 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两个角相等或互补 在空间中 结论是否仍然成立呢 观察思考 如图 ADC与 A D C ADC与 A B C 的两边分别对应平行 这两组角的大小关系如何 3 等角定理 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 3 等角定理 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 定理的推论 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 那么这两条直线所成的锐角 或直角 相等 4 异面直线所成的角 如图 已知两条异面直线a b 经过空间任一点O作直线a a b b 我们把a 与b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a b所成的角 或夹角 为了简便 点O通常取在两条异面直线中的一条上 例如 取在直线b上 然后经过点O作直线a a a 和b所成的锐角 或直角 就是异面直线a与b所成的角 想一想 a 与b 所成角的大小与点O的位置有关吗 4 异面直线所成的角 如果两条异面直线所成的角为直角 就说两条直线互相垂直 记作a b 5 异面直线的判定定理 异面直线定理 连结平面内一点与平面外一点的直线 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 与是异面直线 例题示范 例2 如图 已知正方体ABCD A B C D 中 1 哪些棱所在直线与直线BA 是异面直线 2 直线BA 和CC 的夹角是多少 3 哪些棱所在的直线与直线AA 垂直 解 1 由异面直线的判定方法可知 与直线 成异面直线的有直线 例题示范 例2 如图 已知正方体ABCD A B C D 中 1 哪些棱所在直线与直线BA 是异面直线 2 直线BA 和CC 的夹角是多少 3 哪些棱所在的直线与直线AA 垂直 解 2 由可知 等于异面直线与的夹角 所以异面直线与的夹角为450 3 直线 与直线都垂直 例3 空间四边形ABCD中 AB CD且AB与CD所成的角为30 E F分别是BC AD的中点 求EF与AB所成角的大小 思路分析 要求EF与AB所成的角 可经过某一点作两条直线的平行线 考虑到E F为中点 故可过E或F作AB的平行线 取AC的中点 平移AB CD 使已知角和所求的角在一个三角形中求解 解 取AC的中点G 连接EG FG 则EG AB GF CD 且由AB CD知EG FG GEF 或它的补角 为EF与AB所成的角 EGF 或它的补角 为AB与CD所成的角 AB与CD所成的角为30 EGF 30 或150 由EG FG知 EFG为等腰三角形 当 EGF 30 时 GEF 75 当 EGF 150 时 GEF 15 故EF与AB所成的角为15 或75 1 求异面直线所成的角 关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交 或将两条直线同时平移到某个位置 使其相交 平移直线的方法有 直接平移 中位线平移 补形平移 2 求异面直线所成角的步骤 作 通过作平行线 得到相交直线 证 证明相交直线所成的角为异面直线所成的角 求 通过解三角形 求出该角 求异面直线的方法 答案 C 例4 长方形ABCD A1B1C1D1中 AB 8 BC 6 在线段BD A1C1上各有一点P Q 在PQ上有一点M 且PM MQ 则M点的轨迹图形的面积为 创新题型 答案 24 变式迁移4在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为棱AA1 CC1的中点 则在空间中与三条直线A1D1 EF CD都相交的直线 A 不存在B 有且只有两条C 有且只有三条D 有无数条 解析 本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题 考查学生的空间想象能力 在EF上任意取一点M 直线A1D1与M确定一个平面 这个平面与CD有且仅有1个交点N 当M取不同的位置就确定不同的平面 从而与CD有不同的交点N 而直线MN与这3条异面直线都有交点的 如下图 答案 D 1 刻画平面性质的三个公理是研究空间图形进行逻辑推理的基础 三个公理是立体几何作图的依据 通过作图 特别是截面图 的训练 可加深对公理的掌握与理解 其中确定平面的公理2是将立体几何问题转化为平面几何问题的依据 规律总结 2 注意文字语言 数学图形语言和符号语言的相互转化与应用 能够从集合的角度阐述点 线 面之间的联系 证明共点 共线或共面问题常用归一法 如多线共点问题 先证明两条直线交于一点 再证其余直线都经过这点 3 异面直线是立体几何的重点和难点之一 对其定义要理解准确 有关异面直线的论证 经常要用反证法 异面直线所成的角 常通过平移 使两异面直线移到同一个平面的位置上来求 4 平面几何中有些概念和性质 推广到空间不一定正确 如 过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直 同垂直于一条直线的两条直线平行 等在空间就不正确 而有些命题推广到空间还是正确的 如平行线的传递性及关于两角相等的定理等 所以将空间图形问题类比平面图形问题是本章复习的重要方法 如 1 公理4是平面内平行传递性的推广 2 等角定理是由平面图形推广到空间图形 3 从直线与直线 直线与平面的位置关系 类比联想平面与平面的位置关系 4 两个平面互相垂直与两条直线互相垂直概念的类比 练一练 巩固新知 P48页练习1 2题 例3 如图 是平面外的一点分别是的重心 求证 证明 连结分别交于 连结 G H分别是 ABC ACD的重心 M N分别是BC CD的中点 MN BD 又 GH MN 由公理4知GH BD 练习反馈 1 判断 1 平行于同一直线的两条直线平行 2 垂直于同一直线的两条直线平行 3 过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行 4 与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条 5 若一个角的两边分别与另一个角的两边平行 那么这两个角相等 6 若两条相交直线和另两条相交直线分别平行 那么这两组直线所成的锐角 或直角 相等 练习反馈 2 选择题 1 a b是异面直线 是指 a b 且a不平行于b a 平面a b 平面b且a b a 平面a b 平面a 不存在平面a 能使a a且b a成立上述结论中 正确的是 A B C D 2 长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 A 2对 B 3对 C 6对 D 12对 C C 3 两条直线a b分别和异面直线c d都相交 则直线a b的位置关系是 A 一定是异面直线 B 一定是相交直线 C 可能是平行直线 D 可能是异面直线 也可能是相交直线 4 一条直线和两条异面直线中的一条平行 则它和另一条的位置关系是 A 平行 B 相交 C 异面 D 相交或异面 3 两条直线互相垂直 它们一定相交吗 答 不一定 还可能异面 D D 4 垂直于同一直线的两条直线 有几种位置关系 答 三种 相交 平行 异面 5 画两个相交平面 在这两个平面内各画一条直线使它们成为 1 平行直线 2 相交直线 3 异面直线 6 选择题 1 分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 A 异面 B 平行 C 相交 D 以上都有可能 2 异面直线a b满足a a b b a b l