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第 23 届全国中学生物理竞赛复赛试题 第1 页 共 4 页 第 23 届全国中学生物理竞赛复赛试题 本卷共七题 满分 160 分 一 23 分 有一竖直放置 两端封闭的长玻璃管 管内为真空 管内有一小球自某处自由下落 初 速度为零 落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞 以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动 现用 支架固定一照相机 用以拍摄小球在空间的位置 每隔一相等的确定的时间间隔 T 拍摄一张照片 照相机的曝光时间极短 可忽略不计 从所拍到的照片发现 每张照片上小球都处于同一位置 求 小球开始下落处离玻璃管底部距离 用 H 表示 的可能值以及与各 H 值相应的照片中小球位置离 玻璃管底部距离的可能值 二 25 分 如图所示 一根质量可以忽略的细杆 长为 2l 两端 和中心处分别固连着质量为 m 的小球 B D 和 C 开始时静止在 光滑的水平桌面上 桌面上另有一质量为 M 的小球 A 以一给定 的速度 v0 沿垂直于杆 DB 的方向与右端小球 B 作弹性碰撞 求 刚碰后小球 A B C D 的速度 并详细讨论以后可能发生的运 动情况 三 23 分 有一带活塞的汽缸 如图 1 所示 缸内盛有一定质量的气体 缸内还有一可随轴转动 的叶片 转轴伸到汽缸外 外界可使轴和叶片一起转 动 叶片和轴以及汽缸壁和活塞都是绝热的 它们的 热容量都不计 轴穿过汽缸处不漏气 如果叶片和轴不转动 而令活塞缓慢移动 则在 这种过程中 由实验测得 气体的压强 p 和体积 V 遵 从以下的过程方程式 pVk 其中 k 均为常量 1 其值已知 可以由上式导出 在此过程中外界对气体做的功为 11 21 11 1 k W VV 式中 V2 和 V1 分别表示末态和初态的体积 如果保持活塞固定不动 而使叶片以角速度 做匀角 速转动 已知在这种过程中 气体的压强的改变量 p 和 经过的时间 t 遵从以下的关系式 1p L tV 式中 V 为气体的体积 L 表示气体对叶片阻力的力矩的大 小 上面并没有说气体是理想气体 现要求你不用理想气体的状态方程和理想气体的内能只与温度 有关的知识 求出图 2 中气体原来所处的状态 A 与另一已知状态 B 之间的内能之差 结果要用状 态 A B 的压强 pA pB 和体积 VA VB 及常量 表示 图 2 图 1 第 23 届全国中学生物理竞赛复赛试题 第2 页 共 4 页 四 25 分 图 1 所示的电路具有把输入的交变电压 变成直流电压并加以升压 输出的功能 称为整流 倍压电路 图中 D1 和 D2 是理想的 点接触型二 极管 不考虑二极管的电容 C1 和 C2 是理想电 容器 它们的电容都为 C 初始时都不带电 G 点 接地 现在 A G 间接上一交变电源 其电压 uA 随 时间 t 变化的图线如图 2 所示 试分别在图 3 和图 4 中准确地画出 D 点的电压 uD 和 B 点的电压 uB 在 t 0 到 t 2T 时间间隔内随时间 t 变化的 图线 T 为交变电压 uA 的周期 图 1 图 2 图 3 第 23 届全国中学生物理竞赛复赛试题 第3 页 共 4 页 五 25 分 磁悬浮列车是一种高速运载工具 它具有两个重要系统 一是悬浮系统 利用磁力 可 由超导电磁铁提供 使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触 另一是驱动系统 在沿轨道上安装 的三相绕组 线圈 中 通上三相交流电 产生随时间 空间作周期性变化的磁场 磁场与固连在 车体下端的感应金属板相互作用 使车体获得牵引力 为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由 我们求解下面的问题 设有一与轨道平面垂直的磁场 磁感应强度 B 随时间 t 和空间位置 x 变化规律为 0 cos B x tBtkx 式中 B0 k 均为已知常量 坐标轴 x 与轨道平行 在任一时刻 t 轨道平面上磁场沿 x 方向 的分布是不均匀的 如图所示 图中 Oxy 平面代表轨道平面 表示磁场的方向垂直 Oxy 平 面指向纸里 i 表示磁场的方向垂直 Oxy 平面指向纸外 规定指向纸外时 B 取正值 和 i 的疏密程度表示沿着 x 轴 B 的大小分布 一与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框 MNPQ 处在该磁场中 已知与轨道垂直的金属框边 MN 的长度为 l 与轨道平行的金属框边 MQ 的 长度为 d 金属框的电阻为 R 不计金属框的电感 1 试求在时刻 t 当金属框的 MN 边位于 x 处时磁场作用于金属框的安培力 设此时刻金属框沿 x 轴正方向移动的速度为 v 2 试讨论 安培力的大小与金属框几何尺寸的关系 六 23 分 有一种称为直视分光镜的光谱学仪器 所有光学元件均放在一直长圆筒内 筒内有 三个焦距分别为 f1 f2 和 f3 的透镜 L1 L2 和 L3 f1 f2 f3 观察屏 P 它是一块带有刻度的 玻璃片 由三块形状相同的等腰棱镜构成的分光元件 如图 1 所示 棱镜分别用折射率不同的玻璃 制成 两侧棱镜的质料相同 中间棱镜则与它们不同 棱镜底面与圆筒轴平行 圆筒的一端有一与 图 4 第 23 届全国中学生物理竞赛复赛试题 第4 页 共 4 页 圆筒轴垂直的狭缝 它与圆筒轴的交点为 S 缝平行 于棱镜的底面 当有狭缝的一端对准筒外的光源时 位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱 已知 当光源是钠光源时 它的黄色谱线 波长 为 589 3 nm 称为 D 线 位于圆筒轴与观察屏相交 处 制作棱镜所用的玻璃 一种为冕牌玻璃 它对钠 D 线的折射率 nD 1 5170 另一种为火石玻璃 它对钠 D 线的折射率 D n 1 7200 1 试在图 2 中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用 2 试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角 的数值 七 16 分 串列静电加速器是加速质子 重离子进行核物理基础研究以及核技术应用研究的设备 右图是其构造示意图 S 是产生负离子的装置 称 为离子源 中间部分 N 为充有氮气的管道 通过高 压装置 H 使其对地有 5 00 106 V 的高压 现将氢 气通入离子源 S S 的作用是使氢分子变为氢原子 并使氢原子粘附上一个电子 成为带有一个电子电 量的氢负离子 氢负离子 其初速度为 0 在静电场 的作用下 形成高速运动的氢负离子束流 氢负离 子束射入管道 N 后将与氮气分子发生相互作用 这种作用可使大部分的氢负离子失去粘附在它们 上面的多余的电子而成为氢原子 又可能进一步剥离掉氢原子的电子使它成为质子 已知氮气与带 电粒子的相互作用不会改变粒子的速度 质子在电场的作用下由 N 飞向串列静电加速器的终端靶 子 T 试在考虑相对论效应的情况下 求质子到达 T 时的速度 v 电子电荷量 q 1 60 10 19 C 质子的静止质量 m 0 1 673 10 27 kg 图 1 图 2 2006 年第七屆亞洲物理奧林匹亞競賽 及第三十七屆國際物理奧林匹亞競賽 國家代表隊初選 考試試題 本試題含填充題和計算題兩部分 總分為 150 分 考試時間三小時 壹 填充題 每格 4 分 共 30 格 合計 120 分 一 有一個質點以初速 4 m s 在光滑的水平直線軌道上運動 在 t 0 至 10 s 的時間內 有 一外力 F 5N 沿質點的初速方向作用於其上 在 t 10 s 至 20 s 的時間內 該外力改為反 向作用 但大小不變 已知該質點在上述外力作用期間內的總位移為 180 m 則該質點的質 量為 1 kg 此外力對質點所作的總功為 2 J 二 起始時 B 球在地面上 A 球在 B 球的正上方高度為 h 處 現同時使 A 球自靜止開始 自由下落 而 B 球以初速 Vo 由地面鉛直上拋 若欲使兩球能在空中相遇 則 a 初速 Vo 至少應大於何值 3 b 若兩球在空中相遇時 B 球正在上升 則初速 Vo 的範園應為何 4 三 如右圖所示 一質量 m 長度 L 的均勻金屬桿 放在粗糙的 水平桌面上 桿面和桌面之間的動摩擦係數為 金屬桿的一端和 桌邊相齊 現以一水平推力 F 作用於另一端 欲將其推落桌面 設 重力加速度為 g 則該水平推力所須做的功至少為 5 四 如右圖所示 在鉛垂面上有一半徑為 R 的環狀管道 其 圓形截面的直徑為 D 今有一自然長度為 R 2 的彈簧 D 其一端固定在環狀管道的頂點 另一端繫有一直徑恰為D 質量 為 m 的小球 假設 D R 彈簧的質量可忽略 管道內面 光滑 則在重力 g 的作用下 小球的平衡位置恰位在 4 處 則該彈簧的力常數 k 6 五 在一光滑桌面上 質量為m2的木塊疊畫在另一質量為 m2 的木塊的正土方 兩者 之間 的摩擦係數為 若僅對木塊 ml 施以一平行於桌面的外力 則使得兩木塊以相同加速度前 進的外力的最大量值為 F1 但若僅對另一木塊間 同樣施以一平行桌面的外力 則使得兩 木塊以相同加速度前進的外力的最大量值為F2 這兩個外力量值的比值F1 F2 7 六 光是由光子組成 當光在重力場中傳播時 光子可視為質量為 m 能量為 E mc2 的質 點來考量 式中 C 為光在真空中的速率 若質量為 M 的星球向內塌縮 則當 其半徑縮小至 何值時 可形成黑洞 即達光子都無法逃脫重力的束縛 8 七 如右圖所示 一均勻圓盤在光滑的水平面上 沿 x 軸方向運動 非純滾動 圖上 O 點為圓盤的中 心 A 點位在圓盤邊緣 為 OA 和水平線 即 x 軸 之間的夾角 若在某一瞬間 A點相對於地面的 速度為 5c 4c v vv yxA c 0為一常數 且 tan 3 4 則圓盤中心移動 L 位移所需的時間為 9 八 如右圖所示 一半徑為 b 的甲圓柱體固定在水平地面上 另有一半徑為a a b 的乙圓柱體置於其正上方 今使乙圓柱體 從靜止開始 沿甲圓柱體的表面以純滾動的方式滾下 則當乙 圓柱體脫離甲圓柱體的表面時 其對甲圓柱的中心 O 點所轉 過的角度 10 註 圓柱體繞其中心軸的轉動慣量 I mr 2 2 式中 m為圓柱體 的質量 r 為其半徑 九 一列火車行駛在水平的直線軌道上 運貨車廂上的平板突然發生傾斜 傾斜角度 為 如下圖所示 平板上的一個貨物木箱幸而沒有滑落 仍停留在平板上 已 知斜板與木箱之間的 靜摩擦係數為爪 重力加速度為 g 假設其後火車行駛平穩 則在維持木箱不產生滑動的情形 下 火車的加速度 可達的最大值為 11 十 一條很長的均勻彈性長棒 其密度為 截面積為 A 當此長棒受到縱向 即沿棒 長的方向 力 F 作用時 則在棒上任取原長為 L 的一段 該段受力後的長度變化量為 L 定義該棒所受的應力為F A 產生的應變為 L L 則應力和應變有正比例的關係 可寫為 L L F A 式中 為比例常數 現欲利用 因次分析法 探求縱波沿此棒傳播的波速 的數學式 已知當密度越近無限大時 波速趨近於零 試求波速 和哪些物理量有闕 以 比例式 的形 式 寫出 v 的數學式 即 oc 12 十一 設地球的質量為 M 半徑為 R 萬有引力常數為 G 若由距離地球表面為 H 的高度發 射一質量遠小於 M 的小拋體 則 a 此拋體的初速必須至少為 13 才能到達距離地球無限 遠的地方 b 若沿平行地表的方向發射此拋體 則此拋體的初速必須至少為 14 才能使其不 致於掉落地面 十二 如右圖所示 兩個半徑均為 r 的均勻圓球 A 和 B 其質 量分別為 m 和 2m 兩球的球心位在同一條鉛直線上 較重 的 B 球的球心離水平地面的高度為 h r 而較輕的 A 球的球 心離地面的高度稍微大 於 h 3r 若兩球同時自靜止開始自由 落下 球和地面之間的碰撞 以及兩球之間的碰撞均為完全 彈性 則 A 球經過一次碰撞後反彈 離地面的最大高度可達 15 B 球經過三次碰撞後 離地面的最大高度為 16 十三 如右圖所示 一質量 M 10kg 的金屬塊放置在粗糙的桌面上 並用一條很輕的細繩連接 另一質量為 m 的砝碼 此細繩繞經一質量 mp 0 05kg 半徑 R 0 02m 的滑輪上 觀察者發現當砝碼 質量m 3kg 時 金屬塊 M 靜止不動 而當砝碼質 量略大於 3kg 時 M 以等加速度移動 若滑輪轉動時 繩子不打滑 即作純滾動 則 M 與桌面之間的摩擦 係數為 1 當砝碼的質量改為 4kg 時 M 的加速度 為 18 m s2 註 滑輪繞其中心軸的轉動慣量為 m PR 2 2 十四 如右圖所示 一質量為 M 的均勻方塊可以在一對水平的光滑軌道上滑動 在其底部中 心點 P 的正下方以長度為 的輕繩 懸掛一質量為 m 的小圓球作為擺鐘 設重力加速度為 g 回答下列問題 答案皆以已知量表示 a 若起始靜止的該系統受到微擾 而使單擺作小幅度的擺 動 則其週期為 19 b 若起始時將擺繩拉緊 使擺鍾自軌道的水平位置自由擺 下 則此單擺所達到的最大角速率為 20 十五 有一莫耳的冰在一大氣壓 攝氏零度下熔化為水時 密度由 0 9170 g cm3 轉變為 0 9998g cm3 已知水的莫耳質量為 18g 則在熔化的過程中 大氣對冰水系統所作的功的量值 為 21 J 此功為正功或是負功 22 答案寫正或負 註 一大氣壓 1 013 x 105Nm 2 十六 如右圖所示 一絕熱的容器內部以隔板分成兩個同體積的氣室 左室內充有絕對溫度為 To 的理想氣體 右室內則抽成真空 現將隔板 上原先封閉的小洞打開 使左室內的氣體可以流入右室內 則當容器內 的氣體達到熱平衡時 氣體的溫度 為何 23 十七 已知氮氣的莫耳質量為 28g 莫耳定容比熱為 5 0 cal mol K 氣體常數 R 2 0 cal mol K 現將質量為 1 0kg 的氮氣 在一大氣壓下由 20 C 加熱至 100 C 回答下列問題 a 需要提供的總熱能為 24 cal b 氮氣的內能增加了 25 cal c 在加熱的過程中 氮氣對外界所作的功為 26 cal 十八 在一個唧筒 具有活塞的氣室 中 有 n莫耳的 草原子理想氣體 按右圖所標示的過程 筒內的氣體由 起始狀態 T1 P1 連續改變至 T1 P2 再變至 T2 P1 最後 回復至起始狀態 T1 P1 以 R 代表氣體常數 試 問在第一個過程 即從 T1 P1 變至 T2 P2 唧筒對外 所作的功為何 27 又在整個循環過程中 唧筒對外所 作的總功為何 28 十九 一個簡單分子由三個原子組成 其模型如右國所示 居中的原子 分別以強鍵連結另兩個原子 兩鍵的長度同為 且固定不變 但兩鍵之 間的夾角可以自由變動 設該 分子和絕對溫度保持為 T 的周圍環境達成 熱平衡 則居中的原子的平均動能為何 29 若對位居兩端的原子 沿其聯心線方向施加外力 F 則欲使該兩原子相距 h 則外力 F 的平均 值 30 答案以 h T 和波茲曼常數 k 表示之 註 根據熱力學的能量均分原理 若一個簡單粒子的運動僅有一個 自由度時 則其動能的平均值