立体几何角的问题知识点与题型分类.docVIP

立体几何的各种角异面直线所成的角一、基础知识1.定义： 直线a、b是异面直线，经过空间一交o，分别a/a，b/b，相交直线ab所成的锐角（或直角）叫做 异面直线所成的角 。2.范围： 3.方法： 平移法、向量法（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a、b的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。（2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式 方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出 ，代入上式方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量 二、例题例1、如图，正四棱柱中， ，则异面直线与所成角的余弦值为 （ ）例2、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=，BC=,AA1=c，求异面直线D1B和AC所成的角的余弦值。方法一：过B点作 AC的平行线（补形平移法）方法二：过AC的中点作BD1平行线方法三：（向量法）例3、 已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点 （）证明：面面；（）求与所成的角；证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 （）证明：因由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面 又在面上，故面面 （）解：因例4、 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面， 为的中点 求直线与所成角的余弦值；解：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为、，从而设的夹角为，则与所成角的余弦值为 训练题1.正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是 。2.正方体中，O是底面ABCD的中心，则OA1和BD1所成角的大小为 。3.已知为异面直线a与b的公垂线，点，若a、b间距离为2，点P到的距离为2，P到b的距离为 ，则异面直线a与b所成的角为 。4.如图正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=AA1，M、N分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与CN所成角为 。5.如图PD平面ABCD,四边形ABCD为矩形，AB=2AD=2DP，E为CD中点。（1）与BE所成的角为 （2）若直线PD，且AF与BE所成角为1. =30行吗？2. =75时；= 。6.空间四边形ABCD中，对角线AC，BD与各边长均为1，O为的重心，M是AC的中点，E是 AO的中点，求异面直线OM与BE所成的角 。7.空间四边形ABCD中AB=BC=CD，BCD=ABC=120，ABCD，M、N分别是中点（1）AC和BD所成的角为。（2）MN与BC所成的角为。8.已知正方体AC1中，（1）E、F分别是A1D1，A1C1的中点，则AE与CF所成的角为（2）M、N分别是AA1，BB1的中点，则CM和D1N所成的角是。9、如图，三棱锥PABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB (I) 求证：AB平面PCB； (II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；（） 解法一：(I) PC平面ABC，平面ABC，PCABCD平面PAB，平面PAB，CDAB又，AB平面PCB (II) 过点A作AF/BC，且AF=BC，连结PF，CF则为异面直线PA与BC所成的角由（）可得ABBC，CFAF由三垂线定理，得PFAF则AF=CF=，PF=，在中， tanPAF=，异面直线PA与BC所成的角为解法二：(II) 由(I) AB平面PCB，PC=AC=2，又AB=BC，可求得BC=以B为原点，如图建立坐标系则（，），（0，0，0），C（，0），P（，2）， 则+0+0=2 = 异面直线AP与BC所成的角为直线和平面所成的角 一、基础知识1.定义： （斜线和平面所成的角垂线与平面所成的角）2.直线与平面所成角范围是。3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。（最小值定理）4. 求法： 几何法公式法问量法（1）几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要滶的角，解三角形求出此角。（2）公式法：（即：与斜线射影所成的两角的余弦的积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值）二、例题讲解例1、在长方体AC1中，AB=2，BC=CC1=1，求（1）CD与面ABC1D1所成的角（2）A1C与平面ABC1D1所成的角（3）A1C与平面BC1D所成的角例2、四面体ABCD中，所有棱长都相等，M为AD的中点，求CM与平面BCD所成角的余弦值。例3、四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面已知，（）证明；（）求直线与平面所成角的大小训练题（2008年高考全国卷1）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为三角形ABC的中心，则AB1与底面ABC所成的角的正弦值等于 6.如图所示，BOC在平面内，OA是的斜线，AOB=AOC=60，OA=OB=OC=a，BC=a，求OA和平面所成的角的大小。第6题图7.如图，已知正方形ABCD，SA现面ABCD，且SA=AB，M、N分别为SB、SD的中点，求SC和平面AMN所成的角第7题图BVADC9、如图，在三棱锥中，底面，是 的中点，且，（I）求证：平面；（II）试确定的值，使得直线与平面所成的角为。 平面与平面所成的角一、基础知识1.定义：二面角:由一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角平面角：过棱上同一点分别位于二面角的两个面内，且与棱同时垂直的两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的取值范围是 .注:二面角是空间图形，平面角是平面图形。在书写时不要写成”AOB为所求二面角”，而应写成”AOB为二面角的平面角”。2.求法：几何法 向量法 公式法二、例题讲练ABCDA1B1C1D1FMOE例1、如图，已知棱柱的底面是菱形，且面，为棱的中点，为线段的中点，（1）求证：面；（2）求面与面所成二面角的大小（1）证明：底面是菱形， 又面，面 ，面 又面 （2）延长、交于点 是的中点且是菱形又 由三垂线定理可知 为所求角 在菱形中， 例2、如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF平面ACE。（1）求证：AE平面BCE；（2）求二面角BACE的大小；解：（1）如图， BF平面ACE BFAE又 二面角DABE为直二面角，且CBAB CB平面ABE CBAE AE平面BCE（2）连BD交AC于G，连FG 正方形ABCD边长为2 BGAC， BF平面ACE 由三垂线定理逆定理得FGAC BGF是二面角BACE的平面角由（1）AE平面BCE AEEB又 AE=EB 在等腰直角三角形AEB中，又 RtBCE中， 在RtBFG中，QONPEDCBAAMA 二面角BACE等于例3、如图所示的几何体中,平面， ,，是的中点.()求证:;()求二面角的余弦值. ()证明:取的中点,连接,则,故四点共面，平面，. 又 由，平面 ; ()取的中点,连,则平面过作,连,则是二面角的平面角. 设, 与的交点为,记 ,则有, 又在中即二面角的余弦值为. 训练题3.如图，四棱锥P-ABCD中所有的棱长都相等。求：二面角C-PD-B大小设M、N分别为AD、PC中点，试求MN与底面AC及平面BDP所成的角平面PAB与平面PCD所成二面角的大小4. 如图，四边形ABCD为直角梯形，AD/BC BAD=90，PA底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点求证：PBDM求BD与平面ADMN所成角的大小求二面角A-PB-C5.如图所示多面体是