锥度量空间中映射的新的公共不动点定理.doc

锥度量空间中的公共不动点定理摘要：本文研究了锥度量空间中的公共不动点的存在性和唯一性，此结论证明并推广了近来的相关结论.关键词：锥度量空间；映射；公共不动点New common fixed point theorems for maps on cone metric spacesAbstract: In this paper, we study the uniqueness and existence of a common fixed point for a pair of mappings in cone metric space. The results extend and improve recent related results.Keywords: Cone metric space; Mapping; Common fixed point1. 介绍和预备知识设是拓扑向量空间，且为非空闭集，称是一个锥, 如果，.称“ ”为诱导的一个偏序关系，如果满足： ； ； ；用表示，用表示但，表示-，(表示的内部).赋范空间中的锥P称为正规的，如果存在常数使得当时 (,),满足上式的最小正整数称为的正规常数.锥是实体，如果.在本文中，假设是拓扑向量空间，代表零元素，锥是实体的， “ ”为P诱导的一个偏序关系.定义1.1 设是一个非空集合，映射：满足：(d1) ，对任意，和，当且仅当；(d2) ，对任意， ；(d3) ， ，z+ z，对任意，z ；则称为上得一个锥度量，称为一个锥度量空间.定义1.2 设，是一个锥度量空间，我们称为： 柯西列，如果对任意的，存在正整数，使得当，时，有， ； 收敛于 ，如果对任意的，存在正整数，使得当时，有，；称是完备的锥度量空间，如果中每一个Cauchy列都是收敛的.引理1.1 设，是一个锥度量空间，是实Banach空间，锥是实体的，是中的序列，则有(a) 收敛于 ， ，当且仅当，；(b) 是柯西列，当且仅当，.引理1.2 设，是一个锥度量空间，锥是实体的，是中的序列，如果收敛于且收敛于，则.证明：设,都是的极限，对，由序列极限定义，存在，使得对所有, ，且 , ，从而, +, . 给定，对任何0，有，从而, ，即对任何0，, 由于是闭的，当时，故令，得到, .所以, =，即.定义1.3 设和是集合中的自映射，如果存在使得= = ，则称为和的公共点.定义1.4 锥度量空间中的两个自映射和是弱相容的，如果和在处可以交换，即如果存在使得，则有=.称为和的交换点，若=；称为和的公共不动点，若.2. 主要结果 在这部分，给出在锥度量空间下定义的映射的一些公共不动点定理.定理2.1. 设，是一个锥度量空间，常数且，设映射，：满足条件：对所有的， . 2.1对， ，如果，且是完备子空间，则和在中有唯一的公共点.然而，如果和是弱相容的，则和有唯一的公共不动点.证明：取，因为，所以存在，使得，依次归纳，得到一个序列使得 =0，1，2，3，.因此，由2.1，对于正整数，我们有同理有因此所以在这里，因为，则，从而，所以.因此，对正整数和，我们有因为，所以，又是定值， 如果，则即为和公共点； 如果，则有，所以对正整数，故由引理1.1得为柯西列，所以由的完备性得收敛到某点，即，所以存在使得，因此，由2.1，我们有=1，2，3， 2.2因此，让且有，所以，即，又，所以，所以，即，所以由锥的定义得，因此即.综上，我们知道和有公共点，下面证明它们的公共点唯一，假设存在另一个点使得，因此由2.1，我们有又因为，所以即所以和有唯一的公共点.下面证明和有唯一的公共不动点： 因为和是弱相容的，且由上知，所以有，下证，若不然，设，则由2.1可得由此可知，而，故，因此，矛盾，从而，即有，所以是和的公共不动点.设是和的另一个公共不动点，则所以，即，又，所以，所以，即，所以由锥的定义得，因此即.所以和有唯一的公共不动点.推论2.1 设，是一个完备的锥度量空间，且，设映射：满足条件：对所有的， . 2.3对， ，存在唯一的不动点，对，利用逐次迭代得收敛到.证明：在定理2.1中令，结合其证明过程，即得此推论.定理2.2. 设，是一个锥度量空间，映射，：满足条件：， 对所有的， . 2.4其中， 如果，且是完备子空间，则和在中有唯一的公共点。然而，如果和是弱相容的，则和有唯一的公共不动点.证明： 取，因为，所以存在，使得，依次归纳，得到一个序列使得 =0，1，2，3，.由2.2易得2.5在这里，且，所以因此，由2.3得由定理2.1的证明知，为柯西列，所以存在，使得，且有.所以知和有公共点，下面证明它们的公共点唯一，假设存在另一个点使得.因此由2.2，我们分以下四种情况：情况1. 如果则.因此，由，知即情况2. 如果则因此，即情况3. 如果则因此，即情况4. 如果则因此，所以由，知即综上，我们知道和有唯一的公共点.下面证明和有唯一的公共不动点： 因为和是弱相容的，且由上知，所以有，下证，若不然，设，因为，所以，则由2.4可得，矛盾，所以，从而，即有，所以是和的公共不动点.设是和的另一个公共不动点，且，因为所以，则由2.4可得，矛盾，所以.所以和有唯一的公共不动点.推论2.2 设，是一个完备的锥度量空间，设映射：满足条件：，对所有的， . 其中， 则存在唯一的不动点，对，利用逐次迭代得收敛到.证明：在定理2.2中令，结合其证明过程，即得此推论.参考文献：1 Long-Guang Huang, Zhang Xian, Cone metric space and fixed point theorems of contractive mappings, J. Math. Anal. Appl. 332 (2007) 1468-1476.2 M. Abbas, G. Jungck, Common fixed point results for noncommuting mappings without continuity in cone metric space, J. Math. Anal. Appl. 341 (2008) 416-420.3 袁清,高建军,王延伟.锥度量空间中广义压缩映象及映象对的不动点定理J.山东大学学报:理