山东省济宁市高考数学专题复习 第24讲 平面向量的基本概念及线性运算练习 新人教A版.doc

第四章平面向量第一节平面向量的基本概念及线性运算考情展望1.在平面几何图形中考查向量运算的平行四边形法则及三角形法则.2.以四种命题及充分必要条件为知识载体，考查向量的有关概念.3.借助共线向量定理探求点线关系或求参数的值一、向量的有关概念1向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)2零向量：长度为0的向量，其方向是任意的3单位向量：长度等于1个单位的向量4平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定：0与任一向量平行5相等向量：长度相等且方向相同的向量6相反向量：长度相等且方向相反的向量二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则 平行四边形法则(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0.(a)a；()aaa；(ab)ab向量加减法运算的两个关键点：加法的三角形法则关键是“首尾相接，指向终点”，并可推广为多个向量相加的“多边形法则”；减法的三角形法则关键是“起点重合，指向被减向量”三、平面向量共线定理向量b与a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba.巧用系数判共线(，r)，若a，b，c三点共线，则1；反之，也成立1化简的结果为()a.b.c.d.【解析】 ()().【答案】d2下列给出的命题正确的是()a零向量是唯一没有方向的向量b平面内的单位向量有且仅有一个ca与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量d相等的向量必是共线向量【解析】 零向量方向任意，而不是没有方向，故a错；平面内单位向量有无数个，故b错；若b0，b与a、c都平行，但a、c不一定共线，故c错；相等的向量方向相同，必是共线向量，故d正确【答案】d3设a，b为不共线向量，a2b，4ab，5a3b，则下列关系式中正确的是()a. b.2c. d.2【解析】 (a2b)(4ab)(5a3b)8a2b2(4ab)2.【答案】b4已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则的值为()a1 b1 c. d【解析】 由题意知abk(b3a)kb3ka，解得【答案】d5(2012四川高考)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()aab babca2b dab且|a|b|【解析】 表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有，观察选择项易知c满足题意【答案】c6(2013四川高考)在平行四边形abcd中，对角线ac与bd交于点o，则_.【解析】 由向量加法的平行四边形法则，得.又o是ac的中点，ac2ao，2，2.又，2.【答案】2考向一 071平面向量的有关概念给出下列四个命题：若|a|b|，则ab或ab；若，则四边形abcd为平行四边形；若a与b同向，且|a|b|，则ab；，为实数，若ab，则a与b共线其中假命题的个数为()a1b2c3d4【思路点拨】以概念为判断依据，或通过举反例来说明其不正确【尝试解答】不正确|a|b|但a、b的方向不确定，故a，b不一定相等；不正确因为，a、b、c、d可能在同一直线上，所以abcd不一定是四边形不正确两向量不能比较大小不正确当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线【答案】d规律方法11.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法.2.准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键.(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性.(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关.3.“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度.对点训练给出下列四个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中假命题的个数为()a1b2c3d4【解析】 不正确两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点正确根据向量相等的定义知不正确若b0时，b与a、c都平行，但a、c不一定平行不正确ab的充要条件是|a|b|且a，b同向【答案】c考向二 072平面向量的线性运算(2014宁波模拟)(1)在abc中，若d是ab边上一点，且2，则()a.b.cd(2)若o是abc所在平面内一点，d为bc边中点，且20，那么()a. b.2c.3 d2【思路点拨】(1)d是ab边上的三等分点，把用、表示；(2)由d为bc边中点可得2，代入已知条件即可求解【尝试解答】(1)()，所以，故选a.(2)因为d为bc边中点，2，又20，220，即，故选a.【答案】(1)a(2)a规律方法21.解答本例(1)的关键是利用向量的加法与减法把用、表示出来.解答本例(2)的关键是2.2.进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解.对点训练图411(1)如图411所示，向量a，b，c，a、b、c在一条直线上，若3，则()acabbcabcca2bdca2b(2)若|2，则|_.【解析】 (1)33()33，23，cab.(2)|2，abc是边长为2的正三角形，|为三角形高的2倍，所以|2.【答案】(1)a(2)2考向三 073共线向量定理的应用设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：a、c、d三点共线(2)如果e1e2，2e13e2，3e1ke2，且a、c、f三点共线，求k的值【思路点拨】(1)a、c、d三点共线存在实数使.(2)a、c、f三点共线存在实数，使.【尝试解答】(1)e1e2，3e12e2，4e1e2，又8e12e2，所以2，与共线，又与有公共点c，a、c、d三点共线(2)e1e2，2e13e2，3e12e2.a、c、f三点共线，从而存在实数，使得.3e12e23e1ke2，又e1，e2是不共线的非零向量，因此k2.所以实数k的值为2. 规律方法31.向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数，使ba.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用.2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.对点训练(1)已知向量a，b不共线，ckab(kr)，dab.如果cd，那么()ak1且c与d同向bk1且c与d反向ck1且c与d同向 dk1且c与d反向(2)(2014洛阳模拟)对于非零向量a、b，“ab0”是“ab”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【解析】 (1)cd，cd，即kab(ab)ab，k1，故选d.(2)由ab0知道a与b互为相反向量，从而ab，充分性成立由ab知ab，1时，ab0，必要性不成立【答案】(1)d(2)a易错易误之八忽视零向量的特殊性致误1个示范例1个防错练(2014荆州模拟)下列命题正确的是()a向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数，使bab在abc中，0c不等式|a|b|ab|a|b|中两个等号不可能同时成立d向量a、b不共线，则向量ab与向量ab必不共线【解析】 a不正确，当ab0时，有无数个实数满足ba.此处在求解时，常因忽视“共线向量定理中的条件a0”而致误b不正确，在abc中，0.此处在求解时，常因混淆向量与数量的关系致误，0是向量，其模为0，而0是数量，没有方向c不正确，当b0时，不等式|a|a|a|显然成立此处在求解时，常受代数不等式|a|b|ab|a|b|的影响，而忽略了向量中0的作用导致错误d正确向量a与b不共线，a，b，ab与ab均不为零向量若ab与ab平行，则存在实数，使ab(ab)，即(1)a(1)b，无解，故假设不成立，即ab与ab不平行，故选d.【防范措施】 (1)共线向量定理中，ba要求a0，否则值可能不存在(2)向量的加减及