云南省德宏州潞西市芒市中学高中数学 4.3.2 空间两点间的距离公式教案 新人教A必修2(1).docVIP

云南省德宏州潞西市芒市中学2014年高中数学 4.3.2 空间两点间的距离公式教案 新人教a必修2一、内容及解析1、内容：根据平面内两点间的距离公式推导出空间中两点间的距离公式；2、解析：平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;二、目标及解析1、目标：（1）掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.（2）通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.（3）通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神.2、解析：通过激发学生学习的求知欲望,使学生主动参与教学实践活动.创设学习情境,营造氛围,精心设计问题,让学生在整个学习过程中经常有自我展示的机会,并有经常性的成功体验,增强学生的学习信心,从学生已有的知识和生活经验出发,让学生经历知识的形成过程.通过阅读教材,并结合空间坐标系模型,模仿例题,解决实际问题.三、数学问题诊断分析从平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示以原点为圆心,r为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x2+y2+z2=r2表示以原点为球心,r为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.四、教学支持条件本节内容联系生活，应用广泛，数形结合，可以采取多样化的学生感兴趣的例子帮助学生分析掌握，若有条件可以利用多媒体教学。五、教学过程设计（一）教学基本流程创设问题，引入新课新知探究例题讲解小结（二）导入新课 距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.（三）新知探究 问题1：平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？问题2：设a(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？问题3：给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.问题4：同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？问题5：平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示什么图形？在空间中方程x2+y2+z2=r2表示什么图形？问题6：试根据问题2、问题3推导两点之间的距离公式.师生活动学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;利用的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：1、平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图12、如图1,设a(x,y,z)是空间任意一点,过a作abxoy平面,垂足为b,过b分别作bdx轴,bey轴,垂足分别为d,e.根据坐标的含义知,ab=z,bd=x,be=od=y,由于三角形abo、bod是直角三角形,所以bo2=bd2+od2,ao2=ab2+bo2=ab2+bd2+od2=z2+x2+y2,因此a到原点的距离是d=.3、利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.4、由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.5、平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示以原点为圆心,r为半径的圆;在空间x2+y2+z2=r2表示以原点为球心,r为半径的球面;后者正是前者的推广.图26、如图2,设p1(x1,y1,z1),p2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离.我们分别过p1p2作xoy平面的垂线,垂足是m,n,则m(x1,y1,0),n(x2,y2,0),于是可以求出|mn|=.再过点p1作p1hp2n,垂足为h,则|mp1|=|z1|,|np2|=|z2|,所以|hp2|=|z2-z1|.在rtp1hp2中,|p1h|=|mn|=,根据勾股定理,得|p1p2|=.因此空间中点p1(x1,y1,z1),p2(x2,y2,z2)之间的距离为|p1p2|=.于是空间两点之间的距离公式是d=.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.（四）应用示例例1：已知a(3,3,1),b(1,0,5),求：(1)线段ab的中点坐标和长度；(2)到a,b两点的距离相等的点p(x,y,z)的坐标满足的条件.师生活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点a、b都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设m(x,y,z)是线段ab的中点,则根据中点坐标公式得x=2,y=,z=3.所以ab的中点坐标为(2,3).根据两点间距离公式,得d(a,b)=,所以ab的长度为.(2) 因为点p(x,y,z)到a,b的距离相等,所以有下面等式：.化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到a,b两点的距离相等的点p(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0.设计意图:通过本题我们可以得出以下两点：空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.到a,b两点的距离相等的点p(x,y,z)构成的集合就是线段ab的中垂面.变式训练： 在z轴上求一点m,使点m到点a(1,0,2),b(1,-3,1)的距离相等.例2：证明以a(4,3,1),b(7,1,2),c(5,2,3)为顶点的abc是一等腰三角形.师生活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明abc是一等腰三角形,只需求出|ab|,|bc|,|ca|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得：|ab|=|bc|=,|ca|=.由于|bc|=|ca|=,所以abc是一等腰三角形.设计意图:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练：三角形abc的三个顶点坐标为a(1,-2,-3),b(-1,-1,-1),c(0,0,-5),试证明abc是一直角三角形.（五）小结本节课主要学习了：1.空间两点间的距离公式的推导与理解.2.空间两点间的距离公式的应用.3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.设计意图：回顾和总结本节课的主要内容。六、目标检测1、先在空间直角坐标系中标出a,b两点，再求它们之间的距离： （1）a（2，3，5）， b（3，1，4） （2）a（6，0，1）， b（3，5，7）2、在z轴上一点求m，使点m到点a（1，0，2）与点b（1，-3，1）的距离相等。设计意图：通过课本中的原型习题考察学生运用新知识来解决实际问题的掌握程度。七、配餐作业a组1、已知两点,此两点间的距离为 ( )a. b. c.19 d.112、点a（-3，1，5）和b（4，3，1）的中点坐标为 （ ）a. b. c . d. 3、已知点a（1，-2，11），b（4，2，3），c（6，-1，4），则abc为 （ ） a. 等腰三角形 b. 等边三角形 c. 直角三角形 d. 等腰直角三角形设计意图：对课本中的习题作同等程度或降低程度的变式，考察学生对基础知识的掌握。预计完成时间20分钟。b组1、空间直角坐标系中，点p（3，4，5），q（3，-4，-5）两点的位置关系是 （ ） a. 关于x轴对称 b.关于xoy平面对称 c.关于坐标原点对称 d. 以上都不对2、设点p（x,y,z）关于原点的对称点为q，则等于 （ ） a b. c. d. 3、在空间直角坐标系中，已知a（1，-2，1），b（2，2，2），点p在z轴上，且满足pa=pb，则点p的坐标为 （ ）a（3，0，0） b. （0，3，0） c.（0，0，3） d. （0，0，-3）设计意图：适当提高难度，考察学生的基本思维和数学思想方法。预计完成时间2