第八章 相量法.ppt

电路理论 第八章相量法 8 1复数 一 复数的表示形式 1 代数形式 2 指数形式 其中为模或幅值 为角度或幅角 3 三角形式 由得 4 极坐标形式 其中 二 复数的四则运算 1 复数的加减运算 用代数形式 规则是 实部和实部相加减 虚部和虚部相加减 2 复数的乘法 除法运算 一般用复数的指数形式和极坐标形式 运算规则是 乘法时 复数的模直接相乘 而幅角相加 除法时 复数的模直接相除 而幅角相减 8 2正弦量 一 正弦量及正弦交流电路1 正弦量 指电压或电流随时间按正弦规律变化 2 正弦交流电路 线性电路中的全部激励均为同一频率的正弦函数 这类电路称为正弦交流电路 为什么要研究正弦交流电路 意义何在 目前世界上绝大多数电力工程 线路 中的电压 电流几乎都采用正弦函数形式 主要原因有以下几点 正弦交流电输 变电方便 当线性电路中激励为正弦量时 所有响应也为同一频率的正弦量 分析运算方便 交流电机比直流电机容易实现 成本低 体积小 重量轻 且无换向火花问题 容易维护 寿命长 交流电机比直流电机运行平稳 绝大多数电路问题均可转化为正弦电路的问题来分析 比如非正弦周期函数可分解为若干不同频率正弦函数的叠加 最后按正弦电路来分析 正弦电路的性质 当线性电路中的激励为某一频率正弦量时 电路中的所有响应均为同一频率的正弦量 正弦量的微分 积分 正弦量乘以某个常数 以及同频率正弦量的代数和运算 其结果仍为同一频率的正弦量 二 正弦量的有关概念1 三要素 Im 电流最大值 又称振幅 幅值 角频率 量纲 弧度 秒 rad s i 初相位 初相角 量纲 弧度或度 t i 相 位 角 当 t i 0 2 时 i t Im 当 t i 2 3 2 时 i t 0 可见相位角 t i 也决定了i t 的瞬时值大小 初相位 i 即初始时刻 t 0 的相位角 可见 决定某时刻t时正弦量瞬时值大小的因素有三个 Im 和 i 我们将这三个量称作正弦量的三要素 三要素是正弦量之间进行比较和区分的主要依据 例题1 在图示参考方向下 i t 100cos t 135o A 试求 t 0 5s t 1 5s时电流的大小和实际方向 解 说明 正弦电流 电压 随时间不同 大小和方向都作周期性变化 因此 对于正弦量 有了参考方向和表达式后 它在任一时刻的大小和方向也就唯一确定了 2 相位差 两个同频率正弦量的相位角之差称为相位差 例如 正弦电压和电流 u Umcos t u i Imcos t i 二者的相位差 用 表示 为 t u t i u i 即相位差为常数 等于初相之差 与时间无关 根据它是可以判断两个正弦量之间的关系 0u超前i 0u滞后i 2u与i正交 0u与i同相 u与i反相 图b 图c 图d 图e 图a 3 有效值 是用来衡量交流电流做功能力的一个物理量 u t Umcos t u 当WDC WAC时有 又称均方根值 适用于所有交流信号 正弦量有效值大小 i t Imcos t i 定义 如果在同一时间内 比如一个周期T内 交流电流i t 和直流电流I流过同一电阻做的功相等 则I就定义为i t 的有效值 可见 正弦量有效值I与最大值Im是固定的关系 I 0 707Im 与 i无关 所以正弦量也常写作 因此 三要素也可称作是I i 引入有效值的意义 a 计算功率简单方便 P t ui Ri2 平均有效功率 和直流功率表达式一样 b 大多数电器设备的铭牌数据由于要反映其温升和平均功率 因此均以有效值给出铭牌数据 比如 交流电压380V 电流20A等 8 3相量法基础 一 正弦量的相量表示 设某正弦量为 将i t 作为实部 利用复数三角形式构造一个复数函数 A 使i t Re A 可以看出i t 和指数函数A是一一对应的关系 再将A作如下变换 两个复数的乘积 其中 A1中包含了正弦量中不变的一个要素 不同变量 均相同 而A2中包含了正弦量中不同变量中可变的两个要素I i 不同变量 I i不相同 定义 1 称为旋转矢量 是个不变的复指数函数 是随时间从实轴出发沿逆时针方向旋转的一个矢量 其在实轴上的投影随时间规律变化就是正弦量 取实部 在正弦量的I和 i确定时 是一个复常数 不随时间变化 包含了另两个要素I和 i 定义为i t 的相量 相量是复数形式 i t 和复常数是一一对应的关系 Iej i也可表示作I i 所以可以将对正弦量i t 的运算转换为对A2 I i的复数运算 最后的结果也唯一的对应一个正弦量i t 例题2 i t 141 4cos 314t 300 A u t 311 1cos 314t 600 V 试分别用相量表示该电压 电流 并作图 解 二 相量的运算 符合复数的运算规则1 同频率正弦量的代数和仍为同频率的正弦量 其相量等于各相量的代数和 显然 三角函数本身的代数和较麻烦 若转化为相量求代数和后再转换成正弦函数就容易的多 2 相量的乘除 3 正弦量的一阶微分 积分 仍为同频率的正弦量 其相量为原正弦量的相量乘以 除以 j P211 正弦量的积分仍为同频率的正弦量 其相量为原正弦量的相量除以j 三 相量法 将电路中所有正弦量化为对应的相量形式 电路方程变换为复代数方程 以复数相量形式求解出结果后再转换成对应正弦量的分析方法 例如下图正弦电路 若直接求解i t 须先写出微分方程后解微分方程 且涉及正弦函数的 以及微分 积分 求解过程较困难 如果电路再复杂些 变量再多些 方程阶数再高些 就更加困难了 若用相量法 将所有正弦量 相量参与运算 显然复数的 要比正弦量的 方便得多 问题 对于较复杂的电路 写出多变量的微分方程本身就是件困难的事 不可能写出微分方程后再转换成相量方程 怎么办 在使用相量法时有没有办法直接可写出各相量的方程呢 有 将电路模型 相量模型 现在的问题 相量形式如何得到 将电路定理转换成相量形式又是怎么样的 下一节内容 8 4电路定律的相量形式小结 1 正弦量的三要素以及瞬时值 有效值 初相位 超前 滞后 2 正弦量的相量 及相量法 3 课后重温三角函数关系 8 4电路定律的相量形式 一 KCL KVL的相量形式 二 电路元件的相量模型1 电阻R u i取关联参考方向 可见 1 电阻元件 U I同相位 2 有效值符合欧姆定律 2 电感元件L 3 电容元件 l uc ic同频率 l i u 2电流超前电压900 或电压滞后电流900 l 有效值Ic cUC或UC Ic c 其中1 c XC为容抗 具有 欧姆 量纲 也是 的函数 0是 直流XC 相当于开路 XC 则C当于短路 故而C有隔直通交的特性 4 独立源和受控源 例1 解 画电路相量模型 电路形式不变 例2 正弦稳态电路如图所示 V1 30V V2 60V V3 20V 求 电压表V的读数 解