点线面的位置关系与平行关系.doc

第 课 点、线、面位置关系以及线面平行关系 【教学目标】一、知识目标1、熟练掌握点、线、面的概念；2、掌握点、线、面的位置关系，以及判定和证明过程；3、掌握点、线、面平行的性质二、能力目标1、在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法，培养学生类比思维能力；2、通过对公理，定理的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力；2、培养学生的空间想象能力，通过归纳总结，促进学生自主学习和归纳的能力三、情感目标1、使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣；2、让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣；3、让学生了解空间与平面互相转换的数学思想【教学重点】1、异面直线的概念；2、直线与平面平行的判定定理及应用；3、两个平面平行的判定【教学难点】1、异面直线所成角的计算；2、两平面平行性质定理的正确运用；3、两平面平行判定定理的证明【知识点梳理】1、公理及推论公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内用符号语言表示公理1：公理1作用：判断直线是否在平面内公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面和相交，交线是a，记作a符号语言：公理2作用：它是判定两个平面相交的方法它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一面公理3及其推论作用：它是空间内确定平面的依据；它是证明平面重合的依据公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2、空间直线与直线之间的位置关系（1） 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线（2） 异面直线性质：既不平行，又不相交（3） 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线（4） 异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角两条异面直线所成角的范围是（0，90，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直（5）求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角（6）异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离（7）两条异面直线的公垂线有且只有一条（8）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补3、空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内有无数个公共点三种位置关系的符号表示：a；aA；a直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外4、平面与平面之间的位置关系：平行没有公共点：；相交有一条公共直线：l5、直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（记忆口诀：线线平行 线面平行）符号表示为：图形如右图所示Pab6、面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行用符号表示为：图形如右图所示a7、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过该直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行（记忆口诀：线面平行 线线平行）用符号表示为：图形如右图所示8、面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行用符号语言表示为：.其它性质：；夹在平行平面间的平行线段相等图形如右图所示【典型例题】题型一、证明点或线共面、三点共线或三线共点问题例题1：如图，已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，且EF交GH于P求证：P在直线BD上分析：易证BD是两平面交线，要证P在两平面交线上，必须先证P是两平面公共点即，已知：EFGHP， EAB、 FAD， GBC， HCD，求证：B、D、P三点共线【解析】证明：ABBDB，AB和BD确定平面ABD（推论2）AAB，DBD， EAB，FAD， EFGHP， P平面ABD同理，P平面BCD平面ABD平面BCDBDPBD即B、D、P三点共线【点评】结合本例，说明证三点共线的常规思路变式1：如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，则（）（A）EF与GH互相平行（B）EF与GH异面（C）EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上（D）EF与GH的交点M一定在直线AC上【解析】依题意，可得EHBD，FGBD，故EHFG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因为EHBD，故EHFG，所以，EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M，因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，由公理3可知，点M一定在平面ACB与平面ACD的交线AC上选（D）【点评】本题主要考查公理2和公理3的应用，证明共线问题利用四个公理来证明共点、共线的问题是立体几何中的一个难点变式2：如图所示，设，分别是空间四边形的边，上的点，且，求证：（1），四点共面；（2）当时，四边形是平行四边形；（3）当时，四边形是梯形分析：只需利用空间等角定理证明即可【解析】证明：连结，在中， ，且在中， ，且 ， 顶点，在由和确定的平面内（1）当时，故四边形为平行四边形；（2）当时，故四边形是梯形说明：显然，课本第11页的例题就是本题（2）的特殊情况特别地，当时，是空间四边形各边中点，以它们为顶点的四边形是平行四边形如果再加上条件，这时，平行四边形是菱形题型二、异面直线的判定或求异面直线所成的角例题2： A是BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点， （1）求证：直线EF与BD是异面直线；（2）若ACBD，AC=BD，求EF与BD所成的角【解析】（1）证明：用反证法假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是BCD平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线（2）解：取CD的中点G，连结EG、FG，则EGBD，所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角在RtEGF中，求得FEG=45，即异面直线EF与BD所成的角为45【点评】证明两条直线是异面直线常用反证法；求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）证算”注意，异面直线所成角的范围是（0，变式3：给出下列关于互不相同的直线和平面的三个命题：若为异面直线，则；若，则；若，则，其中真命题的个数为（ ）A3 B2 C1 D0【解析】选C，由异面直线的定义得，两直线可分属两个平面，但是这两个平面不一定平行，命题错误；由面面平行的性质定理得线面平行，不一定得到线线平行，命题错误；由线面平行的性质定理得线线平行，再由线线平行的递推性可得，命题正确题型三、直线与平面、平面与平面平行的判定例题3：如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F求证：EF平面ABCD【解析】证明：方法一：分别过E，F作EMAB于M，FNBC于N，连接MN.BB1平面ABCD， BB1AB，BB1BC，EMBB1，FNBB1， EMFN.又B1E=C1F，EM=FN，故四边形MNFE是平行四边形，EFMN.又MN平面ABCD，EF平面ABCD，所以EF平面ABCD.方法二：过E作EGAB交BB1于G，连接GF，则，B1E=C1F，B1A=C1B，FGB1C1BC，又EGFG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD，而EF平面EFG，EF平面ABCD变式4：一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP/平面FMC，并给出证明【解析】点P在A点处，证明：取DC中点S，连接AS、GS、GAG是DF的中点，GS/FC，AS/CM面GSA/面FMCGA/面FMC 即GP/面FMC【点评】证明线面平行，在平面内找一条直线与平面外的直线平行，是证明线面平行的关键题型四、证明线面平行与线面平行性质的运用例题4：如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB且AM=FN，求证：MN平面BCE【解析】证法一：过M作MPBC，NQBE，P、Q为垂足，连结PQMPAB，NQAB，MPNQ又NQ=BN=CM=MP，MPQN是平行四边形MNPQ，PQ平面BCE，而MN平面BCE，MN平面BCE证法二：过M作MGBC，交AB于点G（如下图），连结NGMGBC，BC平面BCE，MG平面BCE，MG平面BCE又=，GNAFBE，同样可证明GN平面BCE又面MGNG=G，平面MNG平面BCE 又MN平面MNGMN平面BCE【点评】证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行变式5：如下图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过AB的中点O作平面与a、b分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与交于点P，求证：P是MN的中点【解析】证明：连结AN，交平面于点Q，连结PQb，b平面ABN，平面ABN=OQ，bOQ又O为AB的中点， Q为AN的中点 a，a平面AMN且平面AMN=PQ， aPQP为MN的中点变式6：如图所示，是圆柱的母线，为矩形，分别是线段的中点，求证：面【解析】证明：在中，分别是的中点所以，（中位线定理）在矩形中， 所以，因为，平面，平面 所以，平面同理，在中，有（中位线定理）因为，平面，平面 所以，平面因为，平面，平面， 所以，平面平面因为，平面 所以，平面（面面平行的性质定理）【点评】运用中位线定理，证得两直线分别平行两平面，根据面面平行的判定定理证得平面平面，再运用面面平行的性质定理证得线面平行，综合运用线线，线面，面面三者平行关系解题变式7：如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，求证：面【解析】证明：取中点，连接由题可得，即四边形为平行四边形因为，分别为中点，可得因为，平面，平面所以，平面在中，分别为的中点所以，因为，平面，平面所以，平面因为，平面，平面，所以，平面平面因为，平面所以，平面（面面平行的性质定理）【点评】设取中点，从而找到两条相交的直线分别平行同一平面，证得面面平行，再运用面面平行的性质定理得到线面平行题型五：证明面面平行与面面平行性质的运用例题5：如图，在四棱锥P ABCD中，M,N分别是侧棱PA和底面BC边的中点，O是底面平行四边形ABCD的对角线AC的中点求证：过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行【解析】证明：O、M分别是AC、PA的中点，连接OM，则OM/PCOM平面PCD，PC平面PCD，OM/平面PCB连结ON，则ON/AB，由AB/CD，知ON/CDON平面PCD，CD平面PCD，ON/平面PCD又OMON=O，OM、ON确定一个平面OMN由两个平面平行的判定定理，知平面OMN与平面PCD平行，即过D、M、N三点的平面与侧面PCD平行【点评】本题考查线线、线面、面面位置关系相互转化的基本能力若两条相交直线分别与某已知平面平行，则这两条相交直线确定的平面平行于已知平面变式8：正方体ABCDA1B1C1D1中（1）求证：平面A1BD平面B1D1C；（2）若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBDA1AB1BC1CD1DGEF【解析】证明：（1）由B1BDD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1BD， 又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，BD平面B1D1C同理A1D平面B1D1C而A1DBDD，平面A1BD平面B1CD（2）由BDB1D1，得BD平面EB1D1取BB1中点G，AEB1G从而得B1EAG，同理GFADAGDFB1EDFDF平面EB1D1平面EB1D1平面FBD【点评】要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行【方法与技巧总结】1位置关系：（1）两条异面直线相互垂直证明方法：证明两条异面直线所成角为90；证明线面垂直，得到线线垂直；（2）直线和平面相互平行证明方法：证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；利用平行四边形利用三角形中位线（3）面与面平行证明方法：主要证明线线平行即可（4）掌握线性平行，线面平行，面面平行三者之间的相互转化2求角：（1）两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是；（2）直线和平面所成的角：先找射影，构造成直角三角形【巩固练习】1、表示不同的点，、表示不同的直线，、表示不同的平面，下列推理不正确的是（ ）A B，直线C D，且不共线与重合2对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（ ）A如果、n是异面直线，那么B如果、n是异面直线，那么相交C如果、n共面，那么D如果、n共面，那么3有以下命题，正确命题的序号是 直线与平面没有公共点，则直线与平面平行； 直线与平面内的任何一条直线都不相交，则直线与平面平行；直线上有两点，它们到平面的距离相等，则直线与平面平行；直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行 4在三棱锥中，分别是的中点求证：平面5如图，在四棱锥中，底面是矩形，分别是的中点，证明：平面6如图所示，在三棱柱中，点为棱的中点，求证：平面7如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为中点，为中点证明：平面8如图，已知，2AB=DE，且是的中点，求证：平面9在棱长为的正方体中,是线段的中点，底面的中心是，求证：平面【课后作业】1已知直线l1、l2，平面，l1l2，l1，则2与的位置关系是（ ）A l2 B l2 C l2或l2 D l2与相交2设平面与平面交于直线l，直线，直线，则M_l3直线AB、AD，直线CB、CD，点EAB，点FBC，点GCD，点HDA，若直线HE直线FG=M，则点M必在直线_上4如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AA1、C1D1的中点，过D、M、N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为 5如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D、C1的平面交于点M，则BM：MD1= (5题) (6题)6直线a、b不在平面内，a、b在平面内的射影是两条平行直线，则a、b的位置关系是 7正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、CC1、C1D1、D1A1的中点，则四边形EFGH的形状是 8空间四边形ABCD中, AD=1 , BC=, BD=, AC=, 且, 则异面直线AC和BD所成的角为 9在四棱锥中，为中点，为中点求证：平面10如图，矩形，为圆的直径，点在圆上，设的中点为，求证：平面11M、N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、B1C1的中点，（1）求MN与AD所成的角；（2）求MN与CD1所成的角 12如图，已知空间四边形ABCD的对角线AC=14cm，BD=14cm，M、N分别是AB，CD的中点，MN=cm，求异面直线AC与BD所成的角13已知四面体ABCD中，M，N分别是和的重心，求证：（1）BD/平面CMN；（2）MN/平面ABD14如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形，（1）求证：CD/平面EFGH；（2）求异面直线AB，CD所成的角15M，N，P分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD上的点，且AM：MB=CN：NB=CP：PD求证：（1）AC/平面MNP，BD/平面MNP；（2）平面MNP与平面ACD的交线/AC【拓展训练】1（四川卷）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）Al1l2，l2l3 l1l3 Bl1l2，l2l3 l1l3Cl1l2l3 l1，l2，l3共面 Dl1，l2，l3共点 l1，l2，l3共面2（浙江卷）若直线l不平行于平面，且l，则（ ）A内的所有直线与l异面 B内不存在与l平行的直线 C内存在唯一的直线与l平行 D内的直线与l都相交3（四川卷）下列命题正确的是（ ）A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行5（四川卷）如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是_6如图，是底面半径为1的圆柱的内接正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面），过作圆柱的截面交下底面于，已知，证明：四边形是平行四边形7如图，四棱柱的底面是平行四边形，分别在棱上，且求证： 【参考答案】1、巩固练习答案1【答案】C 2【答案】C 3【答案】4【答案】 因为，分别为的中点 所以， 又因为，平面，平面 所以，平面5【答案】 因为，分别是的中点所有，由题可得，即又因为，平面，平面 所以，平面6【答案】连接交于点，连接在平行四边形中，为中点又因为为中点所以，又因为，平面，平面 所以，平面7【答案】证明：连接在平行四边形中，因为为的中点，所以为的中点，又为的中点，所以因为平面，平面所以平面8【答案】取中点，连结，为的中点，又 为平行四边形， 又平面，平面 平面9【答案】连接因为，所以为平行四边形，因此在正方形中，为中心，即为中点由于是线段的中点，所以， 所以为平行四边形，即因为面，平面，所以平面2、课后作业答案1【答案】C 2 3BD 4 52:1 6平行或异面7等腰梯形 89009【答案】证明：连接， . 为中点，则因为，所以，则四边形是平行四边形所以因为不在平面内，在平面内,所以平面10【答案】设的中点为，则，又，则，四边形为平行四边形， 又平面，平面，平面11解：（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD/B1C1B1C1与MN所成的锐角（或直角）是AB、CD所成的角 B1NM=450 MN与AD所成的角为450（2）连接A1B，过M在面A1B中作A1B的平行线交A1B1于点L，连接LN，LM/D1CLMN（或其补角）即为MN与CD1所成的角 LMN=600 MN与CD1所成的角为60012解：取BC的中点P，连接PM，PN，可证MPN（或其补角