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文档简介
专题09 三角恒等变换与解三角形1已知,sin ,则tan()ABC D【答案】:C【解析】:因为,所以cos ,所以tan ,所以tan,故选C.2ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若cos A,ca2,b3,则a()A2 B. C3D.【答案】:A 3已知,tan,那么sin 2cos 2的值为()A B.C D.【答案】:A【解析】:由tan,知,tan 2.2,sin 2,cos 2.sin 2cos 2,故选A.4.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2(ab)26,C,则ABC的面积是()A.3 B. C. D.3【答案】C【解析】c2(ab)26,即c2a2b22ab6.C,由余弦定理得c2a2b2ab,由和得ab6,SABCabsin C6,故选C.5.已知tan ,sin(),其中,(0,),则sin 的值为()A. B. C. D.或【答案】A【解析】依题意得sin ,cos .注意到sin()sin ,因此有(否则,若,则有0,0sin sin(),这与“sin()sin ”矛盾),则cos(),sin sin()sin()cos cos()sin .6.若ABC的内角满足sin Asin B2sin C,则cos C的最小值是_.【答案】 7.如图,嵩山上原有一条笔直的山路BC,现在又新架设了一条索道AC,小李在山脚B处看索道AC,发现张角ABC120;从B处攀登400米到达D处,回头看索道AC,发现张角ADC150;从D处再攀登800米方到达C处,则索道AC的长为_米.【答案】400【解析】如题图,在ABD中,BD400米,ABD120.因为ADC150,所以ADB30.所以DAB1801203030.由正弦定理,可得.所以,得AD400(米).在ADC中,DC800米,ADC150,由余弦定理可得AC2AD2CD22ACCDcosADC(400)280022400800cos 150400213,解得AC400(米).故索道AC的长为400米. 8已知ABC中,三边长分别是a,b,c,面积Sa2(bc)2,bc8,则S的最大值是_【答案】:【解析】:因为Sa2(bc)2,所以bcsin A(b2c2a2)2bc,所以bcsin A2bc2bccos A,又sin2 Acos2 A1,所以sin A4(1cos A),所以sin A,所以Sbcsin Abc2.9已知函数f(x)2cos2 sin x.(1)求函数f(x)的最大值,并写出取得最大值时相应的x的取值集合;(2)若tan ,求f()的值 10如图在ABC中,已知点D在BC边上,满足ADAC,cos BAC,AB3,BD.(1)求AD的长;(2)求ABC的面积 (2)在ABD中,又由cos BAD得sin BAD,所以sin ADB,则sin ADCsin(ADB)sin ADB.因为ADBDACCC,所以cos C.在RtADC中,cos C,则tan C,所以AC3,则ABC的面积SABACsin BAC336.11.设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b3,c1,A2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.【解析】(1)因为A2B,所以sin Asin 2B2sin Bcos B.由正、余弦定理得 a2b.因为b3,c1,所以a212,a2.(2)由余弦定理得cos A.由于0A,所以sin A.故sinsin Acos cos Asin .9.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且csin Bbcos C3.(1)求b;(2)若ABC的面积为,求c. 12已知f(x)2sin(x),现将f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移个单位长度,得到函数g(x)的图象(1)求f()g()的值;(2)若a,b,c分别是ABC三个内角A,B,C的对边,ac4,且当xB时,g(x)取得最大值,求b的取值范围【解析】(1)因为g(x)2sin(x)2sin(x),所以f()g()2sin()2sin1.(2)因为g(x)2sin(x),所以当x2k(kZ),即x2k(kZ)时,g(x)取得最大值因为xB时g(x)取得最大值,又B(0,),所以B.而b2a2c22accosa2c2ac(ac)23ac163ac163()216124,所以b2.又b0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)在ABC中,sinB,sinA,sinC成等比数列,求此时f(A)的值域 14在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若B,且(abc)(abc)bc.(1)求cosC的值;(2)若a5,求ABC的面积【解析】(1)由(abc)(abc)bc可得a2(bc)2a2b2c22bcbc,所以a2b2c2bc,所以cosA,所以sinA,所以cosCcos(AB)(cosAcosBsinAsinB)().(2)由(1)可得sinC,在ABC中,由正弦定理,得c8,SacsinB5810.15.已知向量m(cosx,1),n,函数f(x)(mn)m.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,a1,c,且f(A)恰是函数f(x)在上的最大值,求A,b和ABC的面积.由余弦定理a2b2c22bccosA,得1b232bcos,所以b1或b2,经检验均符合题意.从而当b1时,ABC的面积S1sin;当b2时,ABC的面积S2sin.16.如图所示,某小区准备将闲置的一直角三角形(其中B,ABa,BCa)地块开发成公共绿地,设计时,要求绿地部分有公共绿地走道MN,且两边是两个关于走道MN对称的三角形(AMN和AMN),现考虑方便和绿地最大化原则,要求M点与B点不重合,A落在边BC上,设AMN.(1)若时,绿地“最美”,求最美绿地的面积;(2)为方便小区居民的行走,设计时要求将AN,AN的值设计最短,求此时绿地公共走道的长度
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