函数绘制的数学原理.pdf

数学软件的函数绘制原理 宋丛威 邸继征 浙江工业大学 理学院 浙江 杭州 310023 摘摘摘要要要 本文对数学软件绘制函数 包括曲线 曲面 做了经验总结 给 出了函数图像绘制的理论依据和简化方法 关关关键键键字字字 函数图像 数学软件 参数化 伪代码 1引引引言言言 虽然抽象推理总是数学主导观念 但是人们总是希望对函数有直观的 认识 数值计算的发展 复杂函数的发现使这种渴望变得越来越迫切 理 论数学家也希望能从直观的函数图形中获得启示 数学软件的出现使得函 数及各种几何图形的精确绘制成为可能 这也就是所谓的数据可视化 工 程科研人员可以对自己的样本数据的分布 趋势特性有一个直观的了解 2 像MATLAB这样的数学软件基本上可以胜任大多场合的需求 1 可是实践当 中 复杂函数的作图依然是一件技术性很强又耗时间的任务 需要理论的 指导加以简化 本文就是要建立一些定理来指导人们更合理的绘制函数和几 何图形 2基基基本本本概概概念念念的的的引引引入入入 2 1函函函数数数值值值域域域与与与图图图像像像 定定定义义义 2 1 1设映射f X Y g X Y1 则定义 ran f f x x X gra f x f x x X f g x f x g x X Y Y1 容易证明gra f ran iX f 其中iX表示X上的恒等函数 这就是说 函数的图像和函数值域这两个概念并没有本质的区别 定定定理理理 2 1 1设映射 Y Z作用于f X Y上 则 ran f ran f 设映射 X Y Z作用于f的图像上 则 gra f ran iX f 1 如果 分别独立作用于X Y上 即 x y 1 x 2 y 那么 gra f 1 x 2 f x x X 这是一种非常常见的情形 比如伸缩平移 2 2函函函数数数图图图像像像的的的定定定义义义域域域限限限制制制形形形式式式 先给出一个基本事实 gra f A x f x x A 我们记graA f gra f A 定义域限制在理论上是一个极为简单的概念 而在计算机作图 中 定义域的限制会影响函数图像的显示效果 而成为一个不得不认真对 待的问题 比如对几个限制在公共区间上的函数求和 就要严格保证区间分 点的统一性 当区间延伸时 往往又要保持步长的一致性 还有 分点加密 时更要注意分点的间隔和加密比例 这一点在自适应积分计算中很常见 人 们往往不会被算法本身难倒 却被计算机苛刻的数据表示束缚 在区间的 分点上打圈子 下文会有一个具体的例子来说明这一点 3数数数学学学软软软件件件的的的函函函数数数绘绘绘制制制命命命令令令 计算机世界里只能显示一维函数 曲线 和二维函数 曲面 所有的 数学软件 比如MATLAB 基本上都采用形如 plot x y 的语句绘制曲 线 而用形如 plot3 x y z 的语句绘制空间曲线或曲面 其中x y和z在 各自的语句中都是等尺寸的向量或矩阵 如果其中的x x1 x2 xn y y1 y2 yn 那么该语句就命令计算机绘制代表函数的点集 xi yi 1 i n 如果yi f xi 那么该语句绘制的就是函数f限制在 x1 x2 xn 上 的图像 这个点集还可以被看做是函数F i 7 xi yi 在 1 2 n 上的值 域 尤其是当变量没有显示表达时 我们可称F或其值域为 f的 离散 图示 总之 我们可以把计算机函数图像绘制归结到函数值域或图像的 计算上 此外 x1 x2 xn 往往是一个区间的 等 分点 而函数总 在整个区间上有定义 这样区间分点的选择就变得很任意 等分点则只与 分点数和区间界有关 MATLAB用命令语句 x linspace a b N 1 生成区 间 a b 上N 1个等分点 而x b a N i 1 N 1 i 1 通过自动连线 最后显示 出一个在区间上的 连续 函数 不少绘图程序的设计都充分考虑了这个特 点 仅仅出于方便 以后用一个统一的伪代码表示函数绘制命令 plot f 它表示在计算机上绘制函数f X Y 的值域或者一个Y 值矩阵的所有元 素 记plot f A plot f A fplot f A plot iA f 比如 如果我们得 到gra a b f x f x x a b 那么绘图语句可以是 fplot f a b 4函函函数数数图图图像像像及及及其其其变变变换换换的的的绘绘绘制制制方方方法法法 函数经过变换后 如果不利用原来的数据而重新计算函数值绘图是很不 妥的 我们希望找到函数变换的规律 利用原有的函数值来绘制变换后的函 数图像 2 4 1非非非参参参数数数化化化方方方法法法 区间上的单值函数的绘制是最简单的 区间上的分点选取通常也比较随 意 绘图所用的基本原理就是如下定理 定定定理理理 4 1 1设f X Y Z X Y W 再令g x f x Z W 则 gra g 1 x f x x X graA g 1 x f x x A A Z 根据定理 fplot g A plot 1 f A 先用一个例子来说明 它的实际意义和用处 例例例 4 1 1设函数f R R suppf a b 绘制其平移t R a t b之后在区间 2a 2b 上的图像 平移之后的函数g x f x x x t t R 所以gra 2a 2b g x t f x x 2a t 2b t x t f x x a b x 0 x 2a a t b t 2b 绘制的时候 先利用已有的数据 f在 a b 上的值 再嵌入0值同时适当选择分点会出最终的图形 当然 平移丝毫不会改变函 数的形状 但是当我们要同时显示原函数和它的不同位移的图像 甚或求 和后的函数图像 时 就要安排好定义域的范围了 例例例 4 1 2利用已知的f R R在 a b 的值y 已知MATLAB命令语句 x linspace a b 101 y f x 绘制函数收缩2倍之后在区间 c d a 2 b 2 上的 图像 收缩之后的函数g x f x x 2x 所以gra c d g x 2 f x x a b 相应的MATLAB语句可以是 plot x 2 y 4 2参参参数数数化化化方方方法法法 前文已经提到了参数化 即把脚标看做参数 从而将x i xi y i yi看做是参数方程 可以说参数化方法是比非参数化方法更精确的方式处理 函数图像 现在再从更理论的角度来看这一点 定定定义义义 4 2 1设f X 如果有F f 0 或者说 f 在X的 子集F x 0上 那么称这个函数为方程F的参数化 定定定理理理 4 2 1设f X 双射 Z X 则 1f 是G x F x 0的参数化方程 也就是说 若要绘制Z上点集G x F x 0 只需绘制 1f 的值域 即 1 ran f 推推推论论论 4 2 1设f Rn A GLn R 则A 1f 是G x F Ax 0的参数化方程 也就是说 若要绘制Rn上点集G x F Ax 0 只需 绘制A 1f 的值域 即A 1 ran f 3 定定定理理理 4 2 2设f1 X f2 Y是y f x X Y的 参数化 以及作用于其上的 Z X Y W 则y g x f x Z W的参数方程是 1f1 f2 事实上 可以证 明 1f1 f2 gra g 这是一个看似复杂 实则更为具体的定理 假设 Z W为双射 不难 看出把定理4 2 1的f和 分别用 f1 f2 和 1 代入 即可证明此定理 如 果令Y 0 定理4 2 2就可以反过来证明定理4 2 1 在计算机表示中 或者是 1 2 n 或者是 1 2 m 1 2 n 尽管理论上不做任何限制 因此 满的 连续的参数化总是做不到的 这 大概算是一种 终极的 表示 我们称这种参数化为离散图示 有时 我们也可以停留在x1 x2 xn这样的水平上 而不是进一步抽象出一个 函数x i 7 xi 现在 就用参数化的角度来看原来的例子和新的例子 例4 2的已知条件相当于给出一个f的参数方程x i b a 100 i 1 a y i f x i i 1 2 n 我们可以用plot x 2 y 绘制收缩曲线 可见 一般 地有f1 X 利用这一点 我们可进一步得出 1f1 f2 f 1 1 A graA g A Z 例例例 4 2 1设计出绘制曲线 x y 3 x y 2的程序 用伪代码表示 先绘制曲线u3 v2 选择参数方程v i i 1 N u i v i 2 3 i 1 2 N 1 也就是曲线的离散图示 变换矩阵为A 11 1 1 原曲线的参数 方程为x i u i v i 2 y i u i v i 2 最后 我们得到如下程序 伪代 码 u i i 1 N 1 i 1 2 2N 1 v u 2 3 plot u v 2 u v 2 例例例 4 2 2 一一一个个个综综综合合合问问问题题题 通过迭代法绘制小波分析中的尺度函数 依 据的是迭代方程 x 2 N k 0hk 2x k 的支集始终在 0 N 内 在第n次迭代中 令x i i 1 2n i 1 2 2nN 1 分点的选取和 加密并不一目了然 利用例4 1 1可得和式第k项为yk 2n 1k个0 y0 2n 1 N k 个0 其中y0是前一次迭代的函数值 在统一的横坐标下 才能对yk按向 量求和 求和所得的向量y将作为下一次迭代的初始值 每一次迭代可以 用plot x y 显示图形 4 3区区区间间间上上上函函函数数数的的的进进进一一一步步步讨讨讨论论论 计算机绘图中 大量的函数都是区间上的 单值 函数 虽然单独绘制 这样的函数很简单 但是例4 2 2就不那么轻易了 对这类函数的绘制还得着 重研究 在例4 2 2中 分点问题是至关重要的 先考虑 在 N 2N 上的离散图 示 x i 3N d i 1 N y i x i i 1 2 d 1 即将区间划 分成d等分 由定理4 2 2可得 2x k 在 0 N 上的离散图示为 xk i x i k 2 yk i x i i d 3N N k 1 d 3N 3N k 1 4 其中 分别为上取整和下取整函数 为了保证求和的有效性 必须 有 0 k N xk i d 3N N k x0 i d 3 特别地 xk d 3N 3N k 1 x0 d 1 d 3NZ 令d 3hN h Z 即将每个单位区 间划分成h等分 xk i h N k i 1 2h 因此 第k个求和项的离散图示 为 i 1 2h yk i h N k i 1 2 2N 1 这才表明了分点选取的 尺度和加密的比例 分析这个例子的目的就在于获得一些关于区间分点选取 和加密的基本经验和方法 在这个例子中 x 1 k 2N k h N k 1 h 3N k 1 不 再是形如 1 2 n 的集合 标准的写法应该是 xk i h N k yk i h N k i 1 2 2N 1 实际上 两者毫无区别 关键看参数化强 调的是映射本身还是强调值域 这种规范的写法倒是可以标明向量在各分量 的值 在二元函数的绘制中 区间就变成了矩形 矩形可以被看做是两个区间 的Descartes积 我可以分别等分两个区间 然后再将等分点集作Descartes积 作为矩阵的等分点 不少情况中 二元函数还是一元函数的张量积 这也会 使问题变得简单 用同样的思路 我们可以设计出二元尺度函数的迭代绘制 程序 5结结结语语语 计算机比起手工作图要快捷精确 能够绘制非常复杂的图形和没有显示 表达的函数图像 然而 计算机固有的表示方式限制了可以绘制的函数的种 类 比如一些比例失常的函数 还有