北京邮电大学通信原理课件 第3章 随机过程.pdf

通信原理习题选 第三章第三章 随机过程随机过程 1 设 cos 2 c Y tX tf t 其中 X t与 统计独立 X t为 0 均值的平稳随机 过程 自相关函数与功率谱密度分别为 X R X Pf 1 若 在 0 2 均匀分布 求 Y t的均值 自相关函数和功率谱密度 2 若 为常数 求的均值 自相关函数和功率谱密度 Y t 解 无论是 1 还是 2 都有 cos 20 c E Y tE X tEf t cos 2cos 22 cos 2cos 22 1 cos2cos 422 2 11 cos2cos 422 22 Y cc cc Xccc XcXcc RE Y t Y t E X tf tX tf tf E X t X tEf tf tf REff tf RfREf tf c c 在 1 的条件下 的概率密度函数为 1 0 2 2 0 else p 于是 2 0 1 cos 422cos 4220 2 cccc Ef tff tfd 因此 1 cos2 2 YXc RRf 2 2 cos2 2 4 jf YY Xcjf XcXc PfRed Rf ed PffPff 在 2 的条件下 11 cos2cos 422 22 YXcXcc RRfRf tf 1 15 通信原理习题选 表明是循环平稳过程 对时间 t 平均 由于 Y t cos 4220 cc f tf 所以 的平均自相关函数是 Y t 1 cos2 2 YXc RRf 因此平均功率谱密度是 4 XcX Y PffPff Pf c 2 双边功率谱密度为 0 2 N 的白噪声经过传递函数为 Hf的滤波器后成为 X t 若 1 1 cos 2 0 s s s T fTf TH f else 求 X t的功率谱密度及功率 解 X t的功率谱密度为 2 2 0 2 0 1 1cos 8 2 0 s s Xs N T fTf N PfHfT else X t的功率为 1 2 2 00 1 3 1 cos 88 s s T ss Xs T N TN T PPf dfT fdf 3 是平稳白噪声通过图 a 所示电路的输出 图 a 中滤波器的传递函数 Y t n t Hf如 图 b 示 求的同相分量及正交分量的功率谱密度 并画出图形 Y t 图 a 图 b 2 15 通信原理习题选 解 首先平稳过程通过线性系统还是平稳过程 所以 Y t是窄带平稳过程 其带宽为 B 若的功率谱密度为 则根据窄带平稳过程的性质可知 Y t Y Pf Y t的同相分量 正交分量的功率谱密度及 c Yt s Yt c Y Pf s Y Pf满足 2 0 cs YcYc YY B PffPfff PfPf else 其中 2 22 00 2 22 2 0 c Y B NfffN PfH fjf else 因此 22 22 00 222 0 22 2 0 4 2 0 cs YY cc c PfPf B NffNfff else B Nfff else 其图形如下 cs YY PfPf 2 0 2 c Nf 2 B 2 B f 4 设 其中 11 0 T n tt dt 21 0 T n tt dt n t是双边功率谱密度为 0 2 N 白 高斯噪声 1 t 和为确定函数 求 2 t 1 和 2 统计独立的条件 解 是白噪声意味着 n t 0E n t 否则其功率谱密度将在0f 处有冲激 所以 111 00 0 TT EEn tt dtE n tt dt 3 15 通信原理习题选 222 00 0 TT EEn tt dtE n tt dt 又因为是高斯过程 所以 n t 12 是服从联合高斯分布的随机变量 故欲 1 和 2 统计独 立 需 12 0E 1212 00 12 00 12 00 0 12 00 0 12 0 2 2 TT TT TT TT T EEn tt dt n tt dt En t n ttt dtdt E n t n ttt dtdt N tttt dtdt N tt dt 所以 1 和 2 统计独立的条件为 12 0 0 T tt dt 即正交 12 t t 注 本题的结果表明 白高斯噪声在任意两个正交信号上的投影是独立的两个高斯 随机变量 进而还能证明 如果 1 t 和 2 t 的能量为 1 则投影的方差是 0 2 N 更一般化的结论是 白高斯噪声在多维正交信号空间中各维上的投影是独立同分布 的高斯随机变量 其均值是 0 方差是 0 2 N 参见课本第六章 3 5 设 cos2sin2 ccsc X tXtf tXtf t 为窄带高斯平稳随机过程 其均值为 0 方 差 为 2 X 信 号cos2 c Af tX t 经 过 下 图 所 示 的 相 乘 低 通 电 路 后 成 为 Y tu tv t 其中是 u tcos2 c Af t 对应的输出 v t是 X t对应的输出 假设 c Xt及 s Xt的带宽等于低通滤波器通频带 1 若 为常数 求和 u t v t的平均功率之比 2 若 是与 X t独立的 0 均值高斯随机变量 其方差为 2 求和的平 均功率之比 u t v t 4 15 通信原理习题选 题3 5图 解 cos2cos 2cos 2 cc LPF A u tAf tf t cos2sin2cos 2 11 cossin 22 ccscc LPF cs v tXtf tXtf tf t XtXt 给定 时的功率为 u t 22 cos 4 u A P v t的平均功率为 22 22 cossin 44 XX v P 2 4 X 故在 1 的条件下 2 2 2 cos u vX PA P 在 2 的条件下 的平均功率仍然是 v t 2 4 X v P 但此时 u t的平均功率是 2 2 2222 2 2 coscos 44 2 u AA PEed 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 1 cos2 2 1 1co 2 2 1 2 u vX X X X PA E P A E A ed A e s2 6 设是均值为 0 双边功率谱密度为 n t 6 0 10 W Hz 2 N 的白噪声 dn t y t dt 将 通过一个截止频率为 B 10Hz 的理想低通滤波器得到 y t o yt 求 1 的双边功率谱密度 y t 2 的平均功率 o yt 5 15 通信原理习题选 解 1 2 2252 0 0 223 95 10W Hz 2 y N PfjfN ff 2 23 22 0 0 0 4 220 0263W 3 o BB yy B N B PPf dfN f df 7 设 t 是高斯白噪声通过截止频率为 H f的理想低通滤波器后的输出 今以2 H f的速率 对 t 抽样 12 n 是其中的 n 个抽样值 求这 n 个抽样值的联合概率密度 解 首先 因为 t 是白高斯过程通过线性系统的输出 故 t 是 0 均值的高斯过程 设 白噪声的功率谱密度为 0 2 N 则 t 的功率是 0H N f 所以 t 的一维概率密度是 2 0 2 0 1 2 H x N f H pxe N f t 的功率谱密度为 0 2 0esle H N ff Pf 的概率 解 12 12 12 12 21 2 2 1 2 2 2 222 22 22 22 2 2 12 1212 1212 211 0 1 2 21 2 0 22 22 02 22 0 2 22 2 0 22 XX xx xX xx XX x x X x xAx xA P XXpx xdx dx pxpxdx dx 2 2 pxpx dxdx x pxedxdx xAx eIed xAx eIdx 2 0 x 令 2 2xx 2 A A 则 2 22 2 2 2 2 120 22 0 2 A xA exA x P XXeIdx 由于对于任意给定的 总有 2 0 0A 22 2 2 2 0 22 00 1 xA X xA px dxeIdx x 故 22 22 24 12 11 22 AA P XXee 3 10 下图中 功率谱密度为 0 2 N 的高斯白噪声 n t通过线性网络 1 Hf和 2 Hf后的输 出分别为和 1 t 2 t 问何种 1 Hf和 2 Hf可保证 1 t 和 2 t 这两个随机过 程独立 8 15 通信原理习题选 题3 10图 解 由于是高斯白噪声 所以 n t 1 t 和 2 t 都是 0 均值的平稳高斯过程 欲此二过程 独立 需 12 0Ett 1212 12 12 0 12 0 12 2 2 EttEhu n tu duhv n tv dv Ehu hv n tv n tu dudv hu hv E n tv n tududv N hu hvuv dudv N hu hudu 由 Paserval 定理 0 1212 2 0 12 2 2 0 jf N Etthu hudu N Hf Hf edf 2 12 0 jf Hf Hfedf 即是说 0 的傅氏变换是 12 Hf Hf 故所需的条件是 12 0f Hf Hf 也即 12 0f Hf Hf 注 一般我们说 X t和 Y t不相关 是指两个过程不相关 即对于任意的时 间 12 t t 1 2 X tX t都不相关 如果我们想说对于给定的时间 t 两个随机变量 X t和 Y t不相关时 一般的说法是 X t和 Y t在同一时间不相关 11 设有复随机信号 2 c jf t te 其中 等概取值于0 33 这 3 种相位 求 t 的均值和自相关函数 Et Ett t 是不是广义平稳过程 9 15 通信原理习题选 解 2 c jf tj te e 其中 j e 是随机的 22 33 12 1 33 cc jj jf tjf tjf tj EtE eeeeee 2 c 222 ccc jftjf tjfjj EttEeee ee 虽然 t 的自相关函数与 无关 但因为数学期望是t的函数 所以它不是平稳过程 t 12 设 1 1 cos 2 N i i x tit N 其中 1 2 i iN 是一组独立同分布的随机变量 i 均匀分布在 0 2 内 1 求 x t的数学期望 x mtE x t 2 求 x t的自相关函数 x Rt tE x t x t 3 若 求N x t的一维分布 解 1 1 2 0 1 1 cos 2 11 cos 2 2 0 x N i i N i mtE x t Eit N itd N 2 11 11 11 1 cos 2cos 22 1 cos 2cos 22 1 cos 2cos 22 x NN ij ij NN ij ij NN ij ij Rt tE x t x t Eitjtj N Eitjtj N Eitjtj N 由于 i 与 j 独立 所以对于ij cos 2cos 22 cos 2cos 220 ij ij Eitjtj EitEjtj 10 15 通信原理习题选 对于ij 1 cos 2cos 22cos2cos 42 2 11 cos2cos 42 22 cos2 2 ii i EititiEiiti EiEiti i i 因此 1 1 cos 2 N xx i Rt tiR N 2 上述结果表明 x t是广义平稳过程 3 由中心极限定律知 时 N x t将趋向于高斯分布 其均值为 方差为0 x m 1 0 2 x R 故一维分布是 21 x p xe 13 设 其中码元等概取值于 0n n D ta g tnTt n a1 互相独 立 是在 内均匀分布的随机变量 且与独立 为码元 波形 求的自相关函数和功率谱密度 nm a anm 0 t0 T n a 10 0 tT g t else D t 解 00 00 00 00 D nm nm nm nm nm nm n Rt tE D t D t Ea g tnTta g tmTt Ea a g tnTtg tmTt E a aE g tnTtg tmTt E g tnTtg tnTt 这个结果显然是 t 的函数 所以不是平稳过程 因 D t DD Rt tRtT tT 所以是循环平稳过程 其平均自相关函数为 D t 11 15 通信原理习题选 0 00 0 1 1 T DD T n RRt tdt T Eg tnTtg tnTt dt T 0 由于是 t 的周期函数 所以 0 n g tnTtg tnTt 0 0 00 0 00 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 T D n tT t n T n T n T REg tnTtg tnTt d T Eg tnTtg tnTt T Eg xnT g xnT dx T g xnT g xnT dx T g x g xdx T T T else t dt 求 D R 的傅氏变换 得到 2 sinc D PfTfT 14 已知平稳遍历白高斯噪声的功率谱密度为 0 2 N 此噪声经过一个带宽为的滤波器后成 为 对作大量的采样测量 问超过正 2 伏的采样数所占的比率是多少 B tn tn 解 是 0 均值的高斯平稳遍历随机过程 其方差为 其一维概率密度函数为 n t 0 N B 2 0 0 1 exp 22 n x px N BN B 因此 0 0 1212 2erfcerfc 222 P n N BN B 12 15 通信原理习题选 erfc 函数 若随机变量 0 1 2zN 则互补误差函数定义为 0 x erfc xP zx 误差函数定义为 erf1xP zxerfc x matlab 中就有 erfc 函数 erf 函数以及 erf 的反函数 21 z p ze erfc x erf x 由这个定义显然有 1 erfc 2 P zxx 许多求解误码率的问题可归结为求概率 P ua 或 P ua 随机变量 2 0 uN 则 22 ua P uaP 令 2 u z 则 1 0 2 zN 因此 1 erfc 222 aa P uaP z 15 已知复平稳遍历高斯噪声 n tx tjy t 的实部和虚部是平稳遍历的高斯过程 x t 的均值为 0 方差为 1 对 y t tn作大量的采样测量 问采样结果中顺势幅度 超过 2 且相位在 8 之内的采样数所占的比率是多少 解 的模 n t A tn t 服从 Rayleigh 分布 其概率密度函数为 2 2 A A pAAe n t的相位服从均匀分布 其概率密度函数为 t 1 2 p 0 2 A与 独立 再由于遍历性可知 所求比率为 13 15 通信原理习题选 2 2 2 2 2 2 88 28 2 1