三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第五章 数列 5.4 数列求和课件.ppt

5 4数列求和 1 等差数列前n项和sn na1 d 推导方法 倒序相加法 等比数列前n项和sn 推导方法 错位相减法 2 常见数列的前n项和 1 1 2 3 n 2 2 4 6 2n n2 n 3 1 3 5 2n 1 n2 4 12 22 32 n2 5 13 23 33 n3 c c c 3 1 分组求和 把一个数列分成几个可以直接求和的数列 2 裂项相消 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式 相加过程中消去中间项 只剩有限项再求和 3 错位相减 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 4 倒序相加 例如 等差数列前n项和公式的推导方法 4 常见的裂项公式 1 2 3 1 数列1 2 3 4 其前n项和为 a b 1c d 答案bsn 1 2 3 4 n 1 c 2 2015浙江金华二中期中 若数列 an 的通项公式是an 1 n 3n 2 则a1 a2 a10 a 15b 12c 12d 15答案a an 1 n 3n 2 a1 a2 a10 1 4 7 10 25 28 3 5 15 c 3 已知数列 an 中 a1 an 1 an 则an 答案解析an 1 an 所以an c 4 2015柳州模拟 数列 an 的通项公式为an 它的前n项和为9 则n 答案99解析依题意得an 数列 an 的前n项和等于 1 1 由 1 9得n 99 c 5 已知sn是数列 an 的前n项和 且对任意n n 有4an 3sn 22n 1 1 1 求的通项公式 2 求数列的前n项和tn 解析 1 当n 1时 4a1 3s1 23 1 得a1 3 当n 2时 由4an 3sn 22n 1 1 得4an 1 3sn 1 22n 1 1 得4an 4an 1 3an 22n 1 c 即an 4an 1 22n 1 数列是以为首项 为公差的等差数列 n 1 2 由 1 可得 2n 1 2n tn 3 2 5 22 7 23 2n 1 2n 1 2n 1 2n 2tn 3 22 5 23 7 24 2n 1 2n 2n 1 2n 1 得 tn 6 23 24 2n 1 2n 1 2n 1 tn 2n 1 2n 1 2 分组求和典例1 2015湖南 19 13分 设数列 an 的前n项和为sn 已知a1 1 a2 2 且an 2 3sn sn 1 3 n n 1 证明 an 2 3an 2 求sn 解析 1 证明 由条件 对任意n n 有an 2 3sn sn 1 3 因而对任意n n n 2 有an 1 3sn 1 sn 3 两式相减 得an 2 an 1 3an an 1 即an 2 3an n 2 又a1 1 a2 2 所以a3 3s1 s2 3 3a1 a1 a2 3 3a1 故对一切n n an 2 3an c 2 由 1 知 an 0 所以 3 于是数列 a2n 1 是首项a1 1 公比为3的等比数列 数列 a2n 是首项a2 2 公比为3的等比数列 因此a2n 1 3n 1 a2n 2 3n 1 于是s2n a1 a2 a2n a1 a3 a2n 1 a2 a4 a2n 1 3 3n 1 2 1 3 3n 1 3 1 3 3n 1 从而s2n 1 s2n a2n 2 3n 1 5 3n 2 1 综上所述 sn 数列分组求和的方法 1 若an bn cn 且 bn cn 为等差数列或等比数列 可采用分组求和法求 an 的前n项和 2 通项公式为an 的数列 其中数列 bn cn 是等比数列或等 差数列 可采用分组求和法求和 1 1 2015浙江高考冲刺卷 三 17 已知数列 an 满足an 1 1 nan 2n n n 则数列 an 前40项的和为 答案840解析显然有 k n 则有a2k 1 a2k 1 2 则有a1 a3 a5 a7 a37 a39 2 10 20 显然有 k n 则有a2k 2 a2k 8k 2 则有a2 a4 a6 a8 a38 a40 8 1 3 19 20 820 则数列 an 前40项的和为20 820 840 c 裂项相消法求和典例2 2015江苏 11 5分 设数列 an 满足a1 1 且an 1 an n 1 n n 则数列前10项的和为 答案解析由已知得 a2 a1 1 1 a3 a2 2 1 a4 a3 3 1 an an 1 n 1 1 n 2 则有an a1 1 2 3 n 1 n 1 n 2 因为a1 1 所以an 1 2 3 n n 2 即an n 2 又当n 1时 a1 1也适合上式 故an n n 所以 2 从而 2 2 2 2 2 c 利用裂项相消法求和应注意两点 1 抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项 也有可能前面剩两项 后面也剩两项 2 将通项裂项后 有时需要调整前面的系数 使裂开的两项之差和系数之 积与原通项相等 如 若 an 是等差数列 公差为d 则 2 1 2015浙江冲刺卷二 19 已知数列 an 的前n项和为sn a1 1 且sn 1 2sn n 1 n n 1 证明 数列 an 1 是等比数列 并求数列 an 的通项公式 2 设bn 数列 bn 的前n项和为tn 证明tn 1 解析 1 sn 1 2sn n 1 n 2时 sn 2sn 1 n 当n 2时 有an 1 sn 1 sn 2 sn sn 1 1 2an 1 c 从而n 2时 有an 1 1 2 an 1 由s2 2s1 2 a1 s1 1得a2 a1 2 3 也满足a2 1 2 a1 1 对于n n 都有an 1 1 2 an 1 而a1 1 2 0 故数列 an 1 是以2为首项 2为公比的等比数列 此时有an 1 2 2n 1 即an 2n 1 2 证明 bn tn b1 b2 b3 bn 1 1 错位相减法求和典例3 2015山东 18 12分 设数列 an 的前n项和为sn 已知2sn 3n 3 1 求 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足anbn log3an 求 bn 的前n项和tn 解析 1 因为2sn 3n 3 所以2a1 3 3 故a1 3 当n 1时 2sn 1 3n 1 3 此时2an 2sn 2sn 1 3n 3n 1 2 3n 1 即an 3n 1 所以an 2 因为anbn log3an 所以b1 c 当n 1时 bn 31 nlog33n 1 n 1 31 n 所以t1 b1 当n 1时 tn b1 b2 b3 bn 1 3 1 2 3 2 n 1 31 n 所以3tn 1 1 30 2 3 1 n 1 32 n 两式相减 得2tn 30 3 1 3 2 32 n n 1 31 n n 1 31 n 所以tn 经检验 n 1时也适合 综上可得tn 用错位相减法求和应注意的三点 1 要善于识别题目类型 特别是等比数列公比为负数的情形 2 在写出 sn 与 qsn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 sn qsn 的表达式 3 在应用错位相减法求和时 若等比数列的公比为参数 则应分公比等于 1和不等于1两种情况求解 3 1 2015浙江六校联考 17 已知数列 an 的前n项和sn满足sn 2 2an n n 1 求数列 an 的通项公式 2 令bn log2an tn 求满足tn 的最大正整数n的值 解析 1 当n 1时 a1 2 当n 2时 sn 1 2 2an 1 与sn 2 2an作差得an 2an 2an 1 n 2 即an 2an 1