测量不确定度的数学原理及应用(第二章).pdf

测量不确定度的数学原理及应用测量不确定度的数学原理及应用 崔伟群 第二章 基于重复性条件下的复杂数学模型的间接测量结果的合成标准不确定度 在实际测量中 大多数测量结果是由若干个不同被测量通过数学合成间接得到的 这 类合成的数学模型一般使用泰勒级数进行近似求解 2 1 泰勒级数 定理 1 设函数 f x在点 0 x处的某个邻域内具有1n 阶导数 则对该领域内异于 0 x的 任意点x 在 0 x与x之间至少存在一个 使得 2 0 000000 1 2 n n n fx f xf xf xx xfxx xx xR x n 2 1 1 其中 1 1 0 1 n n n f Rxxx n 称为 f x在 0 x处的n阶泰勒余项 对于数学模型 12n yf xxx 若其在点 10200n xxx 处的某个邻域内具 有1n 阶导数 则对该领域内异于 10200n xxx 的任意点 12n xxx 利用泰勒 级数展开可近似得 222 1 2 2 10200102001020010200 121020000000 22 111 3 10200 3 1 2 2 1 3 nnn nnnn nniiiiiijjjj iij i iiijj n i i f xxxf xxxf xxxf xxx f x xxf xxxxxxxxxxxxx xxx xx f xxx x x 333 1 23 32 102001020010200 000000 223 11 33 nn nnn iiijjiijjjj ij i ijijj f xxxf xxxf xxx xxxxxxxxxxx x xx xx 2 1 2 在使用泰勒级数时 应注意如下前提 1 数学模型 12n yf xxx 应在点 10200n xxx 处的某个领域内存 在1n 阶导数 然而在实际的物理测量中 有的定义域受到限制 从而数学模型 12n yf xxx 在点 10200n xxx 处间断 导致实际测量中该数学模型在间 断点不存在导数 2 对于式 2 1 1 而言 当满足 0 1 0 1 n n fx nfx 时 才可以忽略 n 阶项 对于式 2 1 2 也应满足类似条件 以后的所有推导中 在没有特别说明的情况下 均假设满足上述前提 2 2 不确定度传播规律 设有n个输入量 12n xxx 则第 k 次间接测量结果可以表示为 12kkknk yf xxx 2 2 1 则第 i 个输入量可以表示为 ikitrueiik xx 2 2 2 其中 itrue x为第 i 个输入量的真值 i 为第 i 个输入量的系统误差 ik 为第 i 个输入量第 k 次测量的随机误差 则将式 2 2 1 利用泰勒级数在点 12truetruentrue xxx 展开 并应用条件 3 忽略 高阶项有 12 12 1 n truetruentrue ktruetruentrueikitrue i i f xxx yf xxxxx x 2 2 3 测量人员希望知道此测量与真值的偏差 12 12 1 n truetruentrue kktruetruentrueikitrue i i f xxx yf xxxxx x 2 2 4 根据统计学原理 我们希望获得在大样本情况下的测量结果的偏差 k 的分布 根据定 义 这一分布的方差为 2 2 1 1 lim k K k K k K 2 2 5 将式 2 2 4 代入式 2 2 5 有 2 122 11 1 lim k Kn truetruentrue ikitrue K ki i f xxx xx Kx 2 2 6 将式 2 2 2 代入并化简有 222 111 222 1111111111 1 lim22222 k nnnnnnnnnn ii ikikijijkj ikikjk K iiiij iij iij iij i iiiijijijij fffffffffff Kxxxx xx xx xx x 1 11 Kn k 2 2 7 将性质 1 应用于式 2 2 7 有 22 11 222 11111111 12 2limlim k nnnKnK nn iijikik jk KK iij ikikij i iijiij ffffff xx xKxKx x 2 2 8 为了求解式 2 2 8 首先来利用贝塞尔公式求解其 A 类标准不确定度 显然对于式 2 2 1 的测量结果 其 A 类标准不确定度为 2 2 1 2 11111111 11211 1 1 KnKKnnKK kikikikikjkjk kikkij ikk iij fff s y KxKKx xKK 2 2 9 则式 2 2 8 中第二项可以使用样本方差近似代替 并用 2 k s 作为方差 2 k 的一致无偏 估计 所以有 2 1 222 111 2 k nnn iijk iij i iij fff ss y xx x 2 2 10 ijij 对于式 2 2 10 中的第二项 显然各输入量的对应的系统误差 i 一般并不等于 0 所以该项 一般而言并不等于 0 针对每个输入量系统误差的粗糙信息 我们可以获知 2 i 的估计为 2 Bi u 因而 ij 的估计可以认为是 BiBj uu 并用 ij sign 代 替 ij 的符号 使用 2 c uy 代替 2 k s 2 A u 代替 2 k sy 式 2 2 10 变为 2 1 222 111 2 nnn cBiijBiBjA iij i iij fff uyusignuuu xxx 2 2 11 其符号的选择依据测量人员的经验 为了降低风险 上式可化为 2 1 222 111 2 nnn cBiBiBjA iij i iij fff uyuuuu xxx 2 2 12 显然测量K次后平均值的标准不确定度公式为 2 2 1 22 111 2 nnn A cBiijBiBj iij i iij ufff uyusignuu xxxK 2 2 13 2 2 1 22 111 2 nnn A cBiBiBj iij i iij ufff uyuuu xxxK 2 2 14 式 2 2 11 2 2 14 称为基于重复性条件下的复杂数学模型的间接测量结果的不 确定度合成公式 显然其 B 类标准不确定度的传播公式为 2 1 22 111 2 nnn BBiijBiBj iij i iij fff uusignuu xxx 2 2 15 2 1 22 111 2 nnn BBiBiBj iij i iij fff uuuu xxx 2 2 16 式 2 2 15 2 2 16 简称为标准不确定度的传播规律 例 2 2 1 对标称值为 10kg 的 M1 级砝码 用性能已测定过的质量比较仪 通过与同样 标称值的 F2 级参考标准砝码进行校准 被校准砝码折算质量 x m可表示为 xsDC mmmmmB 其中 s m为标准砝码的折算质量 其校准证书给出 10000 005g s m 扩展不确定度 452 s U mmgk 包含因子 D m 为自上次校 准以来标准砝码质量的漂移 根据估计漂移在15mg 之间 C m 为质量比较仪的偏心 度和磁效应的影响 其影响介于10mg 之间 B 为空气浮力 极限值为标称值的 6 1 10 m 为观测到的被校准砝码与标准砝码之间的质量差 求其测量结果的 B 类 标准不确定度为多少 解 已知标准砝码折算质量的扩展不确定度和包含因子 则其标准不确定度为 45 2 ms umg D m 介于 15mg 之间 查表知其服从矩形分布 标准不确定度为 15 3 D m umg C m 介于10mg 之间 查表知其服从矩形分布 标准不确定度为 10 3 C m umg B 介于 6 1 10 之间 查表知其服从矩形分布 标准不确定度为 6 1 1010 310 3 B ukgmg 显然该测量属于重复性条件下的测量 由于无法判断系统误差的符号 则使用式 2 2 16 有 1 22 111 222 2 2 45 2 15 3 10 3 10 3 245 215 3 10 3 10 3 215 310 3 10 3 210 310 3 1823 91 nnn BBiBiBj iiji uuuu 所以其 B 类标准不确定度为 42 71 B umg 在使用式 2 2 11 2 2 16 时 应注意以下三点 1 满足重复性测量条件意味着系统误差是不变的 因而 ij 为一固定值 而由于 我们给不出具体的系统误差值 所以也给不出具体的 ij 值 并且不能从测量数据中计算 出该值 所以也给不出相应的统计值 而只能从经验上给出其估计值 但是因为 ij 可能 为正 也可能为负 在给出估计值时 我们无