云南省昆明市滇池中学高二数学下学期期末试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年云南省昆明市滇池中学高二（下）期末数学试卷（理科）一选择题：（每小题3分，共计51分）1若=1，2，3，4，m=1，2，n=2，3，则u（mn）是（）a1，2，3b2c4d1，3，42若集合a=x|x15，b=x|4x+80，则ab=（）ax|x6bx|x2cx|2x6d3抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是（）ab5cd104已知平面向量=（3，1），=（x，3），且，则x=（）a3b1c1d35下列命题正确的是（）aacbcabba2b2abcabdab6sin14cos16+cos14sin16的值是（）abcd17设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn 若，m，则m若m，n，则mn 若，则其中正确命题的序号是（）a和b和c和d和8在直角坐标系中，直线x+y3=0的倾斜角是（）abcd9某校为了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天课外阅读所用时间的数据，结果用条形图表示如下根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（）a0.6 hb0.9 hc1.0 hd1.5 h10某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）abcd111在等差数列an中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3=（）a4b5c6d712设函数f（x）=logax（a0，a1）的图象过点（，3），则a的值（）a2b2cd13已知函数f（x）=x22x+b在区间（2，4）内有唯一零点，则b的取值范围是（）arb（，0）c（8，+）d（8，0）14函数的单调递减区间是（）a（，1）b（1，+）c1，1d1，315半径为r的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（）a r3br3c2r3d r316已知点p（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（）a1，1b1，1c1，1d1，117过原点o作两条相互垂直的直线分别与椭圆p：交于a、c与b、d，则四边形abcd面积最小值为（）ab4c2d二填空题：（每小题4分，共计20分）18命题“xr，都有x2+12x”的否定是19已知奇函数f（x）的定义域是r，且当x1，5时，f（x）=x3+1，则f（2）=20从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是21求函数y=x+的值域22在abc中，a=45，b=30，则bc=三解答题：（共8小题，共计79分）23已知函数（1）求该函数的定义域；（2）判断该函数的奇偶性并证明24已知函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，xr，那么（）函数的最小正周期是什么？（）函数在什么区间上是增函数？25在四棱锥pabcd中，底面abcd为正方形，pa平面abcd，点e、f分别是pd、bc的中点（1）求证：ef平面pab；（2）求证：adpb26圆心在直线x2y=0上的圆c与y轴的正半轴相切，圆c截x轴所得弦的长为2，求圆c的标准方程27（1）现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，演出顺序的排列共有多少种？（2）求的展开式中的常数项28在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，6）求：（i）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；（ii）甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望29在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动（1）根据以上数据建立一个22的列联表；（2）在多大程度上可以认为判断性别与休闲方式有关系，为什么？（其中）30在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系已知点a的极坐标为（，），直线的极坐标方程为cos（）=a，且点a在直线上（1）求a的值及直线的直角坐标方程；（2）圆c的参数方程为（为参数），试判断直线与圆的位置关系2014-2015学年云南省昆明市滇池中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：（每小题3分，共计51分）1若=1，2，3，4，m=1，2，n=2，3，则u（mn）是（）a1，2，3b2c4d1，3，4【考点】并集及其运算；补集及其运算【专题】计算题【分析】由m与n求出两集合的并集，找出并集的补集即可【解答】解：m=1，2，n=2，3，mn=1，2，3，u=1，2，3，4，u（mn）=4故选c【点评】此题考查了并集、补集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2若集合a=x|x15，b=x|4x+80，则ab=（）ax|x6bx|x2cx|2x6d【考点】交集及其运算【专题】计算题【分析】根据一次不等式解出集合a，集合b，在求交集即可【解答】解：集合a=x|x15=x|x6，集合b=x|4x+80=x|x2，所以ab=x|2x6故选c【点评】本题考查简单的绝对值不等式和分式不等式，以及集合的运算问题，属基本题3抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是（）ab5cd10【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】根据抛物线的标准方程，可求得p，再根据抛物线焦点到准线的距离是p，进而得到答案【解答】解：2p=10，p=5，而焦点到准线的距离是p故抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是5故选b【点评】本题主要考查了抛物线的性质属基础题4已知平面向量=（3，1），=（x，3），且，则x=（）a3b1c1d3【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【专题】常规题型【分析】根据题意，=0，将向量坐标代入可得关系式，解可得答案【解答】解：根据题意，=0，将向量坐标代入可得，3x+1（3）=0，解可得，x=1，故选：c【点评】本题向量数量积的应用，判断向量垂直，简单题，仔细计算即可5下列命题正确的是（）aacbcabba2b2abcabdab【考点】不等式的基本性质【专题】应用题【分析】当c0时，根据不等式的性质由 acbc 推出ab，可得 a不正确 当a=2，b=1时，检验可得b不正确当a=2，b=1时，检验可得c不正确由0成立，平方可得ab，从而得到d正确【解答】解：当c0时，由 acbc 推出ab，故a不正确当a=2，b=1时，尽管a2b2，但ab 不正确，故b不正确当a=2，b=1时，尽管，但不满足ab，故c不正确当时，一定有ab，故d正确故选：d【点评】本题主要考查不等式的基本性质，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法6sin14cos16+cos14sin16的值是（）abcd1【考点】两角和与差的正弦函数【专题】计算题【分析】把所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出原式的值【解答】解：sin14cos16+cos14sin16=sin（14+16）=sin30=故选b【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键7设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn 若，m，则m若m，n，则mn 若，则其中正确命题的序号是（）a和b和c和d和【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【专题】证明题；压轴题；空间位置关系与距离【分析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得不正确由此可得本题的答案【解答】解：对于，因为n，所以经过n作平面，使=l，可得nl，又因为m，l，所以ml，结合nl得mn由此可得是真命题；对于，因为且，所以，结合m，可得m，故是真命题；对于，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面是正方体下底面所在的平面，则有m且n成立，但不能推出mn，故不正确；对于，设平面、是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有且，但是，推不出，故不正确综上所述，其中正确命题的序号是和故选：a【点评】本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题8在直角坐标系中，直线x+y3=0的倾斜角是（）abcd【考点】直线的倾斜角【专题】计算题【分析】先求出直线的斜率tan 的值，根据倾斜角 的范围求出的大小【解答】解：直线x+y30的斜率等于，设此直线的倾斜角为，则tan=，又 0，=，故选c【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，已知三角函数值求角是解题的难点9某校为了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天课外阅读所用时间的数据，结果用条形图表示如下根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（）a0.6 hb0.9 hc1.0 hd1.5 h【考点】频率分布直方图【专题】概率与统计【分析】根据频率分布直方图，结合平均数的概念，求出数据的平均数即可【解答】解：根据频率分布直方图，得；平均数是=（50+200.5+101+101.5+52）=0.9；即这50名学生一天平均每人的课外阅读时间为0.9h故选：b【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的平均数的问题，解题时应结合平均数的概念进行解答，是基础题10某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）abcd1【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离；立体几何【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中pa底面abc，pa=2，abbc，ab=bc=1据此即可得到体积【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中pa底面abc，pa=2，abbc，ab=bc=1因此v=故选b【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键11在等差数列an中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3=（）a4b5c6d7【考点】等差数列的性质【专题】计算题【分析】法一：设首项为a1，公差为d，由已知有5a1+10d=20，所以a3=4法二：因为a1+a5=a2+a4=2a3，所以由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，故a3=4【解答】解：法一：an为等差数列，设首项为a1，公差为d，由已知有5a1+10d=20，a1+2d=4，即a3=4故选a法二在等差数列中，a1+a5=a2+a4=2a3，由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，a3=4故选a【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用12设函数f（x）=logax（a0，a1）的图象过点（，3），则a的值（）a2b2cd【考点】对数函数的图象与性质【专题】计算题【分析】因为函数图象过点（，3），把点的坐标代入函数解析式即可求得a的值【解答】解：因为函数f（x）=logax（a0，a1）的图象过点（，3），所以，所以，所以a=2故选a【点评】本题考查了对数函数的图象和性质，考查了对数式和指数式的互化，此题是基础题13已知函数f（x）=x22x+b在区间（2，4）内有唯一零点，则b的取值范围是（）arb（，0）c（8，+）d（8，0）【考点】函数的零点；二次函数的性质【专题】计算题【分析】由题意知，函数f（x）=x22x+b在区间（2，4）内有唯一零点，必须满足f（2）f（4）0即可，转化出不等关系，利用此不等关系即可获得问题的解答【解答】解：由题意可知：函数f（x）=x22x+b在区间（2，4）内有唯一零点，f（2）f（4）0，（2222+b）（4224+b）0，8a0，则b的取值范围（8，0）故选d【点评】本题考查二次函数的性质、函数的零点存在的条件：单调的连续函数若在一个区间的端点的函数值异号，则函数在此区间上一定存在零点14函数的单调递减区间是（）a（，1）b（1，+）c1，1d1，3【考点】复合函数的单调性【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】先确定函数的定义域，再考虑二次函数的单调性，即可求得结论【解答】解：令t=x2+2x+3，则由x2+2x+30可得1x3x2+2x+3=（x1）2+4，当1x3时，函数单调递减在定义域内为增函数函数的单调递减区间是1，3故选d【点评】本题考查函数的单调性，解题的关键是确定函数的定义域，确定二次函数的单调性，属于中档题15半径为r的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（）a r3br3c2r3d r3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】根据半径为r的球内接一个正方体，根据正方体的对角线过原点，可以求出正方体的棱长，从而根据体积公式求解【解答】解：半径为r的球内接一个正方体，设正方体棱长为a，正方体的对角线过球心，可得正方体对角线长为： a=2r，可得a=，正方体的体积为a3=（）3=，故选a【点评】此题主要考查圆的性质和正方体的体积公式，是一道基础题，难度不大16已知点p（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（）a1，1b1，1c1，1d1，1【考点】简单线性规划【专题】数形结合【分析】根据步骤：画可行域z为目标函数纵截距画直线0=yx，平移可得直线过a或b时，z有最值即可解决【解答】解：画不等式组表示的可行域如图，令z=0，画直线0=yx，平移直线0=yx过点a（0，1）时z有最大值1；平移直线0=yx过点b（2，0）时z有最小值1；则z=yx的取值范围是1，1故选b【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题17过原点o作两条相互垂直的直线分别与椭圆p：交于a、c与b、d，则四边形abcd面积最小值为（）ab4c2d【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】计算题【分析】由题意可得四边形abcd面积等于，当ac和bd中，有一条直线的斜率不存在时，求得四边形abcd面积等于2当ac和bd的斜率都存在时，设ac的方程为y=kx，bd方程为y=xy=kx代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系及弦长公式求得ac的值，同理求得bd的值，化简 为，再利用基本不等式求得它的最小值，综合可得结论【解答】解：由题意可得四边形abcd的对角线互相垂直，且四个顶点在椭圆上，且a=，b=1四边形abcd面积等于当ac和bd中，有一条直线的斜率不存在时，ac和bd的长度分别为2a和 2b，四边形abcd面积等于=2ab=21=2当ac和bd的斜率都存在时，设ac的方程为y=kx，bd方程为y=x把y=kx代入椭圆的方程化简为（2k2+1）x22=0，xa+xc=0，ac=|xaxc|=2同理求得 bd=2，=4 =4=，当且仅当时，取等号综上可得，四边形abcd面积的最小值等于故选：a【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，两条直线垂直的性质，基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题二填空题：（每小题4分，共计20分）18命题“xr，都有x2+12x”的否定是xr，有x2+12x【考点】命题的否定【专题】阅读型【分析】全称命题：“xa，p（x）”的否定是特称命题：“xa，非p（x）”，结合已知中原命题“xr，都有x2+12x”，易得到答案【解答】解：原命题“xr，都有x2+12x”命题“xr，都有x2+12x”的否定是：xr，有x2+12x故答案为：xr，有x2+12x【点评】本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题：“xa，p（x）”的否定是特称命题：“xa，非p（x）”，是解答此类问题的关键19已知奇函数f（x）的定义域是r，且当x1，5时，f（x）=x3+1，则f（2）=9【考点】函数奇偶性的性质；函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】利用奇函数的性质，直接求解即可【解答】解：奇函数f（x）的定义域是r，且当x1，5时，f（x）=x3+1，则f（2）=f（2）=（23+1）=9故答案为：9【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力20从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】概率与统计【分析】根据题意，首先用列举法列举从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案【解答】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；则其概率为=；故答案为：【点评】本题考查古典概型的计算，解本题时，用列举法，注意按一定的顺序，做到不重不漏21求函数y=x+的值域（，22，+）【考点】函数的值域【专题】计算题【分析】可以画出函数y=x+的图象，利用数形结合的方法进行求解；【解答】解：函数y=x+，定义域x|x0，图象如下：由上图可以知道f（x）2或f（x）2，故答案为：（，22，+）；【点评】此题主要考查函数的值域求法，本题利用数形结合的方法比较直观，也比较简单；22在abc中，a=45，b=30，则bc=4【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】利用正弦定理列出关系式，将ac，sina，sinb的值代入计算即可求出bc的长【解答】解：ac=b=2，a=45，b=30，由正弦定理=得：a=4，则bc=a=4故答案为：4【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键三解答题：（共8小题，共计79分）23已知函数（1）求该函数的定义域；（2）判断该函数的奇偶性并证明【考点】对数函数的图象与性质【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用【分析】（1）依题意，由对数函数的真数大于0，即0，即可求得该函数的定义域；（2）利用奇偶函数的定义：f（x）=f（x）还是f（x）=f（x）即可判断该函数的奇偶性【解答】解：（1），0，解得：x1或x1，该函数的定义域为（，1）（1，+）；（2）函数的定义域关于原点对称，且，该函数为奇函数【点评】本题考查对数函数的图象与性质，着重考查函数的定义域与函数的奇偶性的应用，属于基础题24已知函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，xr，那么（）函数的最小正周期是什么？（）函数在什么区间上是增函数？【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性【专题】计算题【分析】（） 先利用二倍角公式化简可得y=sin2x+cos2x+2，再利用辅助角公式化简得y=，从而可求函数的最小正周期；（） 整体思维，利用正弦函数的单调性，可得，化简即可得到函数的增区间【解答】解：（） y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=（sin2x+cos2x）+sin2x+2cos2x=1+sin2x+（1+cos2x）=sin2x+cos2x+2（2分）=，（5分）函数的最小正周期是（6分）（） 由，kz（8分）得（10分）函数的增区间为：（12分）【点评】本题重点考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，正确运用二倍角公式及辅助角公式是解题的关键25在四棱锥pabcd中，底面abcd为正方形，pa平面abcd，点e、f分别是pd、bc的中点（1）求证：ef平面pab；（2）求证：adpb【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定【专题】证明题；空间位置关系与距离【分析】（1）做da的中点m，连接mf，me，通过中位线的性质证明出empa，mfab，进而根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理证明出面mef面abp，继而根据面面平行的性质证明出ef平面pab；（2）先分别证明出paad，pdbc，进而根据线面垂直的判定定理证明出ad平面pab，即可得出结论【解答】证明：（1）做da的中点m，连接mf，me，e、f、m均为中点，empa，mfab，pa平面pab，ab平面pab，abpa=a，面mef面abp，ef面mef，ef平面pab；（2）pa平面abcd，ad平面abcd，paad，底面abcd为正方形，adabpaab=a，ad平面pab，pb平面pab，adpb【点评】本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理的应用考查了学生对线面平行，线面垂直判定定理的记忆26圆心在直线x2y=0上的圆c与y轴的正半轴相切，圆c截x轴所得弦的长为2，求圆c的标准方程【考点】圆的标准方程【专题】计算题；直线与圆【分析】由圆心在直线x2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可【解答】解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，圆c截x轴所得弦的长为2，t2+3=4t2，t=1，圆c与y轴的正半轴相切，t=1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，（x2）2+（y1）2=4【点评】此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键27（1）现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，演出顺序的排列共有多少种？（2）求的展开式中的常数项【考点】二项式定理的应用；计数原理的应用【专题】排列组合；二项式定理【分析】（1）由题意，先选有3个唱歌节目放在2个小品之间，再把剩下的一个唱歌节目放在排头和排尾，问题得以解决（2）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式中的常数项【解答】解：（1）先选有3个唱歌节目放在2个小品之间，再把剩下的一个唱歌节目放在排头和排尾，故=96种方法（2）二项式的展开式的通项公式tr+1=（1）r，令6=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为 =15【点评】本题考查了分步计数原理，关键是特殊元素特殊处理还考查了二项展开式的通项公式，属于基础题28在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，6）求：（i）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；（ii）甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列【专题】计算题；规律型；转化思想；综合法【分析】（i）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率，考查知，其对立事件的概率易求，故a表示“甲、乙的演出序号至少有一个奇数均”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，先求出对立事件的概率，再求事件a的概率（ii）甲、乙两单位之间的演出单位个数的取值可能是0，1，2，3，4，依次计算对应的概率，列出分布列，再由公式求出期望值【解答】解：（）设a表示“甲、乙的演出序号至少有一个奇数均”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得（5分）（）的所有可能值为0，1，2，3，4，且，从而知有分布列01234p所以，（14分