三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的概念及通项公式课件.ppt

5 1数列的概念及通项公式 1 数列的定义按一定次序排成的一列数叫做数列 即a1 a2 a3 an 简记为数列 an 其中 a1称为数列的首项 an称为数列的通项 实际上 数列可以看成是以正整数集n 或它的有限子集 1 2 n 为定义域的函数 当自变 an f n 量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值 2 数列的分类按项分类 按an的增减性分类 3 数列的表示法 1 列举法 a1 a2 a3 an 2 图象法 数列可用一群孤立的点表示 3 解析法 公式法 或 通项公式 递推公式 4 通项公式如果数列 an 的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表示 那么这个公式就叫做数列的通项公式 可以记为an f n n n 5 数列的前n项和数列 an 的前n项之和叫做数列的前n项和 常用sn表示 6 sn与通项an的基本关系an sn a1 a2 an c 7 数列的一般性质由于数列可以看作一个关于n n n 的函数 因此它具备函数的某些性质 1 单调性 若an 1 an 则 an 为递增数列 若an 1 an 则 an 为递减数列 否则为摆动数列或常数列 2 周期性 若an k an n n k n 则 an 为周期数列 k为 an 的一个周期 1 数列 an 中 an 2n2 29n 3 则此数列最大项的值是 a 107b 108c 108d 109答案ban 2n2 29n 3 2 3 2 3 当n 7时 an最大且等于108 故选b c 2 若数列 an 的前n项和sn an 3 则an a 2 n2 n 1 b 3 2nc 3n 1d 2 3n答案d sn an 3 sn 1 an 1 3 sn 1 sn an 1 an an 1 an 1 an an 1 an an 1 3an 数列 an 是等比数列 又 s1 a1 3 a1 6 an 6 3n 1 2 3n 故选d c 3 设数列 an 的通项公式为an 那么an 1 an等于 a b c d 答案dan 1 an c 4 已知数列 an 满足a1 a2 1 an 1 an an 1 n n n 2 则该数列的前2016项的和为 答案1344解析由a1 1 a2 1 an 1 an an 1 n 2 得a3 0 a4 1 a5 1 a6 0 则数列 an 是以3为周期的周期数列 又a1 a2 a3 2 2016 672 3 所以s2016 672 2 1344 c 5 2015太原二模 已知数列 an 满足a1 1 an an 1 n n 则an 答案解析由an an 1 得 2 则由累加法得 2 又因为a1 1 所以 2 1 所以an c 6 已知数列 an 满足a1 1 sn an 求 an 的通项公式 解析当n 2时 sn an sn 1 an 1 可得sn sn 1 an an 1 即an an an 1 an an 1 故有an a1 1 而 1 a1 所以 an 的通项公式为an c 由an与sn关系推导an或sn典例1 1 2015绍兴一模 9 6分 已知数列 an 的前n项和sn n2 3 则首项a1 当n 2时 an 2 2015哈三中二模 设数列 an 的前n项和为sn 若a1 1 an 1 3sn n n 则s6 a 44b 45c 46 1 d 45 1 答案 1 2 2n 1 2 b解析 1 a1 s1 1 3 2 当n 2时 sn 1 n 1 2 3 n2 2n 2 c 所以an sn sn 1 n2 3 n2 2n 2 2n 1 n 2 2 a1 1 an 1 3sn a2 3s1 3a1 3 当n 2时 an 3sn 1 an 1 an 3 sn sn 1 3an an 1 4an an 3 4n 2 当n 1时不符合an 3 4n 2 s6 1 1 45 1 45 1 利用sn sn 1 an n 2 将递推式化为an与an 1的关系 先求出an 再求出sn 由an与sn关系推导an或sn的方法 2 利用an sn sn 1 n 2 将递推式化为sn与sn 1的关系 先求出sn 再求出an 在上述两种方法中 都要对n 1时的结果进行检验 看其是否符合n 2时的表达式 如果符合 则将所求an 或sn 的通项公式合写 如果不符合 则应分n 1与n 2两段来写 1 1 2015金丽衢一联 19 14分 设数列 an 的前n项和为sn 且是等差数列 已知a1 1 12 1 求 an 的通项公式 2 当n 2时 an 1 140恒成立 求 的取值范围 解析 1 由题意可得3 12 4 n sn n2 n an sn sn 1 3n 2 n 2 当n 1时也成立 an 3n 2 c 2 an 1 140 3n 141 n 2 解法一 设bn n 2 则bn 1 bn 3 当n 5时 bn 1 bn 0 bn 1 bn 当n 4时 bn 1 bn 0 bn 1 bn 又b4 170 b5 169 bn的最小值为b5 169 169 解法二 设n 1 t 则 3t 145 169 当t 4 即n 5时取等号 所以 169 利用累加法 累乘法求通项公式典例2 2014大纲全国 17 10分 数列 an 满足a1 1 a2 2 an 2 2an 1 an 2 1 设bn an 1 an 证明 bn 是等差数列 2 求 an 的通项公式 解析 1 证明 由an 2 2an 1 an 2得 an 2 an 1 an 1 an 2 即bn 1 bn 2 又b1 a2 a1 1 所以 bn 是首项为1 公差为2的等差数列 5分 2 由 1 得bn 1 2 n 1 即an 1 an 2n 1 8分 于是 所以an 1 a1 n2 即an 1 n2 a1 又a1 1 所以 an 的通项公式为an n2 2n 2 10分 c 1 若an an 1 f n n 2 n n 则用叠加法 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 a1 f 2 f 3 f n 有时还要检验n 1的情形 2 若an an 1 f n n 2 n n 则用累乘法 an a1 a1 f 2 f 3 f n 有时还要检验n 1的情形 2 1 2015金丽衢二模文 12 6分 已知数列 an 满足 a1 2 n 1 an n 1 an 1 n 2 n n 则 数列 an 的通项公式为 答案 an 解析当n 2时 a2 a1 当n 3时 a3 a2 由题意得 由累乘法得an n 2 n n 当n 1 时 a1 2满足上式 an c 2 2 2015重庆模拟 4 已知a1 1 an n an 1 an n n 则数列 an 的通项公式是an a 2n 1b c n2d n答案d解析 an n an 1 an an a1 1 n 故选d c 数列的单调性与周期性典例3 1 2014课标 16 5分 数列 an 满足an 1 a8 2 则a1 2 2015浙江杭州学军中学第五次月考 20 已知数列 an 中 a1 1 且an an 1 2n 3n 2 n 2 n n 求数列 an 的通项公式 令bn n n 数列 bn 的前n项和为sn 试比较与n的大小 答案 1 解析 1 由an 1 得an 1 c a8 2 a7 1 a6 1 1 a5 1 2 an 是以3为周期的数列 a1 a7 2 由an an 1 2n 3n 2 n 2 知 2 3n 2 n 2 当n 2时 2 2 3 2 32 2 3n 2 代入a1 1得 当n 2时 1 所以an n 3n 1 n 2 又a1 1符合上式 故an n 3n 1 n n n n 时 bn 则 1 记函数f n n n 所以f n 1 n 1 则f n 1 f n 10 此时 1 f 2 2 2 0 此时 2 f 3 3 3 0 此时 3 由于f n 1 f n 故n 3时 f n f 3 0 此时 n 综上所述 当n 1 2时 n 当n 3 n n 时 n 判断数列单调性的常用方法 1 作差比较法 an 1 an 0 数列 an 是单调递增数列 an 1 an 0 数列 an 是单调递减数列 an 1 an 0 数列 an 是常数列 2 作商比较法 当an 0时 1 数列 an 是单调递增数列 1 数列 an 是单调递减数列 1 数列 an 是单调递增数列 1 数列 an 是常数列 3 结合相应函数的图象直观判断数列的单调性 3 1 2015浙江高考冲刺卷 三 19 已知数列 an 的前n项和为sn a1 1 且当n n 时 2sn an 1 1 求数列 an 的通项公式 2 若对任意的n n 关于n的不等式an n n 1 恒成立 求常数 的最大值 解析 1 由2sn an 1 得2sn 1 an n 2 得2an an 1 an n 2 即an 1 3an n 2 又2s1 a2 所以a2 2 0 所以 3 n 2 因此数列 an 从第二项起 是以2为