（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十一章 第63课 圆锥曲线的综合应用要点导学.doc

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习 第十一章 第63课 圆锥曲线的综合应用要点导学要点导学各个击破直线与圆锥曲线如图,已知椭圆c:+=1(ab0)的左、右焦点分别为f1,f2,离心率为,点a是椭圆上任意一点,af1f2的周长为4+2.(例1)(1) 求椭圆c的方程;(2) 过点q(-4,0)任作一动直线l交椭圆c于m,n两点,记=,若在线段mn上取一点r,使得=-,则当直线l转动时,点r在某一定直线上运动,求该定直线的方程.思维引导(1) 根据条件求出基本量“a,b”,从而得出椭圆c的方程;(2) 根据=和=-,将用点m,n的坐标表示,然后解出点r的坐标,从而得出该直线的方程.解答(1) 因为af1f2的周长为4+2,所以2a+2c=4+2,即a+c=2+.又e=,解得a=2,c=,b2=a2-c2=1,所以椭圆c的方程为+y2=1.(2) 由题意知,直线l的斜率必存在,设其方程为y=k(x+4),设点m(x1,y1),点n(x2,y2).由得(1+4k2)x2+32k2x+64k2-4=0,则x1+x2=,x1x2=.由=,得(-4-x1,-y1)=(x2+4,y2),所以-4-x1=(x2+4),=-.设点r的坐标为(x0,y0),由=-,得(x0-x1,y0-y1)=-(x2-x0,y2-y0),所以x0-x1=-(x2-x0),解得x0=,而2x1x2+4(x1+x2)=2+4=-,(x1+x2)+8=-+8=,所以x0=-1,故点r在定直线x=-1上.(2014北京东城区模拟)已知椭圆+=1(ab0)上的点到其两焦点距离之和为4,且过点(0,1).(1) 求椭圆的方程;(2) 设o为坐标原点,斜率为k的直线过椭圆的右焦点,且与椭圆交于点a(x1,y1),b(x2,y2),若+=0,求aob的面积.解答(1) 依题意有a=2,b=1.故椭圆的方程为+y2=1.(2) 由(1)知焦点坐标为(,0),因为直线ab过右焦点(,0),设直线ab的方程为y=k(x-).联立方程组消去y并整理得(4k2+1)x2-8k2x+12k2-4=0.(*)故x1+x2=,x1x2=,y1y2=k(x1-)k(x2-)=.又+=0,即+y1y2=0,所以+=0,可得k2=,即k=.方程(*)可化为3x2-4x+2=0,由ab=|x1-x2|,可得ab=2,故原点o到直线ab的距离d=1.所以saob=abd=1.圆锥曲线的综合问题如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆c:+=1(ab0)的左、右顶点分别为点a,b,离心率为,右准线为l:x=4,m为椭圆上不同于a,b的一点,直线am与直线l交于点p.(1) 求椭圆c的方程;(2) 若=,判断点b是否在以pm为直径的圆上,并说明理由;(3) 连接pb并延长,交椭圆c于点n,若直线mn垂直于x轴,求点m的坐标.(例2)思维引导(1) 直接根据题意,可得基本量,写出椭圆的方程;(2) 将几何问题代数化,转化为判断向量的数量积是否为0,体现了解析几何的基本思想;(3) 直线与椭圆的位置关系,利用方程解决.解答(1) 由解得所以b2=3.所以椭圆的方程为+=1.(2) 因为=,所以xm=1.代入椭圆,得ym=,即m.所以直线am的方程为y=(x+2),得点p(4,3).所以=,=(2,3).因为=0,所以点b不在以pm为直径的圆上.(3) 因为mn垂直于x轴,故由椭圆对称性可设m(x1,y1),n(x1,-y1).直线am的方程为y=(x+2),所以yp=,直线bn的方程为y=(x-2),所以yp=,所以=.因为y10,所以=-,解得x1=1.所以点m的坐标为.精要点评熟练掌握椭圆的几何性质,并能将几何问题代数化,运用代数方法解决几何,渗透“以数助形”的思想.已知椭圆m的对称轴为坐标轴,离心率为,且抛物线y2=4x的焦点是椭圆m的一个焦点.(1) 求椭圆m的方程;(2) 设直线l与椭圆m相交于a,b两点,以线段oa,ob为邻边作平行四边形oapb,其中点p在椭圆m上,点o为坐标原点,求点o到直线l的距离的最小值.解答(1) 由题意知抛物线的焦点为(,0),设椭圆的方程为+=1(ab0),则c=.由e=,得a=2,b2=2,所以椭圆m的方程为+=1.(2) 当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=kx+m,联立方程组消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)=8(2+4k2-m2)0.设a,b,p三点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x0,y0),则x0=x1+x2=-,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=,由于点p在椭圆m上,所以+=1.从而+=1,化简得2m2=1+2k2,经检验满足式.又点o到直线l的距离为d=,当且仅当k=0时等号成立.当直线l斜率不存在时,由对称性知,点p一定在x轴上,从而点p的坐标为(-2,0)或(2,0),直线l的方程为x=1,所以点o到直线l的距离为1.综上,点o到直线l的距离最小值为.圆锥曲线的实际应用某中心接到其正西、正东、正南方向的三个观测点a,b,c的报告:正西、正南两个观测点同时听到一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点早4 s.已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音的速度为340 m/s,相关各点均在同一个平面上)思维引导这是一个有关双曲线的定义,直线与双曲线位置关系的应用问题.解答如图,以接报中心为原点o,正东,正北方向分别为x轴,y轴正方向建立平面直角坐标系,则点a(-1 020,0),b(1 020,0),c(0,-1 020).(例3)设p(x,y)为巨响发生点,则pa-pb=1 360,ab=2 040.由双曲线的定义可知,点p在以a,b为焦点的双曲线-=1上.又pa=pc,所以点p在ac的中垂线y=x上.依题意,a=680,c=1 020,所以b2=c2-a2=53402,故双曲线的方程为-=1.把y=x代入,得x=680.因为papb,所以x=y=680,即p(680,680),故po=680.故巨响发生在接报中心的北偏东45、距中心680 m处.精要点评本题是双曲线的方程性质在实际问题中的应用,利用两个不同的观测点测得同一声巨响的时间差,可以确定巨响发生位置所在的双曲线的方程.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于a(x1,y2),b(x2,y2)(x10,b0)的左焦点f为圆x2+y2+2x=0的圆心,且椭圆上的点到点f的距离最小值为-1,那么该椭圆的方程为.答案+y2=1解析因为圆x2+y2+2x=0的圆心为(-1,0),半径r=1,所以椭圆的半焦距c=1.又椭圆上的点到点f的距离的最小值为-1,所以a-c=-1,即a=,故所求椭圆的方程为+y2=1.2. 已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线与直线x+2y-1=0垂直,那么该双曲线的离心率为.答案解析双曲线的渐近线为y=x,直线x+2y-1=0的斜率为-.因为y=x与直线x+2y-1=0垂直,所以=-1,即b=2a.所以c2=a2+b2=5a2,即e2=5,e=.3. (2014山东卷)已知ab0,椭圆c1的方程为+=1,双曲线c2的方程为-=1.若椭圆c1与双曲线c2的离心率之积为,则双曲线c2的渐近线方程为.答案xy=0解析由题意得=,所以=,双曲线的渐近线方程为y=x,即xy=0.4. 已知抛物线x2=2py(p0)与圆x2+y2=1有公共的切线y=x+b,那么