高三数学一轮复习 第十一章 复数、算法、推理与证明 第三节 合情推理与演绎推理课件 文.ppt

文数课标版 第三节合情推理与演绎推理 1 合情推理 教材研读 2 演绎推理 1 定义 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理 简言之 演绎推理是由一般到特殊的推理 2 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 i 大前提 已知的一般原理 ii 小前提 所研究的特殊情况 iii 结论 根据一般原理 对特殊情况作出的判断 判断下列结论的正误 正确的打 错误的打 1 归纳推理得到的结论不一定正确 类比推理得到的结论一定正确 2 由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 这是一种合情推理 3 演绎推理的结论一定是正确的 4 在演绎推理中 只要符合演绎推理的形式 结论就一定正确 5 所有3的倍数都是9的倍数 某数m是3的倍数 则m一定是9的倍数 这是三段论推理 其结论是正确的 1 下面几种推理是合情推理的是 由圆的性质类比出球的有关性质 由直角三角形 等腰三角形 等边三角形的内角和是180 归纳出所有三角形的内角和都是180 某次考试张军的成绩是100分 由此推出全班同学成绩都是100分 三角形的内角和是180 四边形的内角和是360 五边形的内角和是540 由此得出凸n n 3 边形的内角和是 n 2 180 a b c d 答案c 是类比推理 是归纳推理 不是合情推理 2 1 已知a是三角形一边的长 h是该边上的高 则三角形的面积是ah 如果把扇形的弧长l 半径r分别看成三角形的底边长和高 可得到扇形的面积为lr 2 由1 12 1 3 22 1 3 5 32 可得到1 3 5 2n 1 n2 1 2 两个推理过程分别属于 a 类比推理 归纳推理b 类比推理 演绎推理c 归纳推理 类比推理d 归纳推理 演绎推理答案a 1 三角形的性质与扇形的性质有相似之处 此种推理为类比推理 2 由特殊到一般 此种推理为归纳推理 故选a 3 因为指数函数y ax是增函数 大前提 又y 是指数函数 小前提 所以函数y 是增函数 结论 上面推理的错误在于 a 大前提错误导致结论错b 小前提错误导致结论错c 推理形式错误导致结论错d 大前提和小前提错误导致结论错答案a当a 1时 y ax为增函数 当0 a 1时 y ax为减函数 故大前提错误 4 在平面上 若两个正三角形的边长比为1 2 则它们的面积比为1 4 类似地 在空间中 若两个正四面体的棱长比为1 2 则它们的体积比为 答案1 8解析 两个正三角形是相似三角形 它们的面积比是相似比的平方 类似地 两个正四面体是两个 相似 几何体 体积比为相似比的立方 所求体积比为1 8 5 在 abc中 不等式 成立 在凸四边形abcd中 不等式 成立 在凸五边形abcde中 不等式 成立 依此类推 在凸n边形a1a2 an中 不等式 成立 n 3 且n n 答案解析 在 abc中 在凸四边形abcd中 在凸五边形abcde中 在凸n边形a1a2 an中 n 3 且n n 考点一类比推理典例1 1 给出下面类比推理命题 其中q为有理数集 r为实数集 c为复数集 由 若a b r 则a b 0 a b 类比推出 若a b c 则a b 0 a b 由 若a b c d r 则复数a bi c di a c b d 类比推出 若a b c d q 则a b c d a c b d 由 若a b r 则a b 0 a b 类比推出 若a b c 则a b 0 a b 由 若x r 则 x 1 1 x 1 类比推出 若z c 则 z 1 1 z 1 考点突破 其中类比结论正确的个数是 a 1b 2c 3d 4 2 如图所示 面积为s的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai i 1 2 3 4 此四边形内任一点p到第i条边的距离为hi i 1 2 3 4 若 k 则1 h1 2 h2 3 h3 4 h4 类比以上性质 体积为v的三棱锥的第i个面的面积记为si i 1 2 3 4 此三棱锥内任一点q到第i个面的距离记为hi i 1 2 3 4 若 k 则h1 2h2 3h3 4h4的值为 a b c d 答案 1 b 2 b解析 1 类比结论正确的只有 2 在平面凸四边形中 连接p点与各个顶点 将其分成四个小三角形 根据三角形面积公式 可得s a1h1 a2h2 a3h3 a4h4 kh1 2kh2 3kh3 4kh4 h1 2h2 3h3 4h4 所以h1 2h2 3h3 4h4 类似地 连接q点与三棱锥的四个顶点 将其分成四个小三棱锥 则有v s1h1 s2h2 s3h3 s4h4 kh1 2kh2 3kh3 4kh4 h1 2h2 3h3 4h4 所以h1 2h2 3h3 4h4 方法技巧在进行类比推理时 不仅要注意形式的类比 还要注意方法的类比 且要注意以下两点 1 找两类对象的对应元素 如 三角形对应三棱锥 圆对应球 面积对应体积 2 找对应元素的对应关系 如 两条边 直线 垂直对应线面垂直或面面垂直 边相等对应面积相等 1 1在平面几何中有如下结论 正三角形abc的内切圆面积为s1 外接圆面积为s2 则 推广到空间可以得到类似结论 已知正四面体p abc的内切球体积为v1 外接球体积为v2 则 a b c d 答案c正四面体的内切球与外接球的半径之比为1 3 故 考点二归纳推理命题角度一与数字有关的等式的推理典例2 1 2015陕西 16 5分 观察下列等式1 1 1 据此规律 第n个等式可为 2 2016山东 12 5分 观察下列等式 1 2 2 3 3 4 4 5 照此规律 答案 1 1 2 解析 1 规律为等式左边共有2n项 且等式左边分母分别为1 2 2n 分子为1 奇数项为正 偶数项为负 即为1 等式右边共有n项 且分母分别为n 1 n 2 2n 分子为1 即为 所以第n个等式可为1 2 观察前4个等式 由归纳推理可知 n n 1 典例3 1 设n为正整数 f n 1 计算得f 2 f 4 2 f 8 f 16 3 观察上述结果 可推测一般的结论为 2 已知x 0 观察下列各式 x 2 x 3 x 4 归纳得x n 1 n n 则a 答案 1 f 2n n n 2 nn解析 1 f 21 f 22 2 f 23 f 24 归纳得f 2n n n 2 第一个式子是n 1的情况 此时a 11 1 第二个式子是n 2的情况 此时a 22 4 第三个式子是n 3的情况 此时a 33 27 归纳可知a nn 命题角度二与不等式有关的推理 典例4 2016广东广州一模 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的 详解九章算术 一书中的 杨辉三角形 该表由若干行数字组成 从第二行起 每一行中的数字均等于其 肩上 两数之和 表中最后一行仅有一个数 则这个数为 a 2017 22015b 2017 22014c 2016 22015d 2016 22014 命题角度三与数列有关的推理 答案b解析由题意知数表的每一行都是等差数列 且第一行数的公差为1 第二行数的公差为2 第三行数的公差为4 第2015行数的公差为22014 第1行的第一个数为2 2 1 第2行的第一个数为3 20 第3行的第一个数为4 21 第n行的第一个数为 n 1 第2016行只有一个数m 则m 1 2016 22014 2017 22014 故选b 典例5下面图形由小正方形组成 请观察图1至图4的规律 依此规律 第n个图形中小正方形的个数是 n n 答案解析由题图可知第n个图形中小正方形的个数为1 2 3 n 命题角度四与图形变化有关的推理 规律总结 1 归纳推理的一般步骤 通过对某些个体的观察 分析和比较 发现它们的相同性质或变化规律 由发现的相同性质或变化规律推出一个明确表达的一般性命题 2 归纳是依据特殊现象推出一般现象 因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围 3 归纳推理所得结论未必正确 有待进一步证明 但对数学结论和科学的发现很有用 2 1 2016湖北优质高中联考 如图所示 将若干个点摆成三角形图案 每条边 包括两个端点 有n n 1 n n 个点 相应的图案中总的点数记为an 则 a b c d 考点三演绎推理典例6数列 an 的前n项和记为sn 已知a1 1 an 1 sn n 1 2 3 求证 1 数列是等比数列 2 sn 1 4an 证明 1 因为an 1 sn 1 sn an 1 sn 所以 n 2 sn n sn 1 sn 整理得nsn 1 2 n 1 sn 所以 2 又 0 0 2 小前提 故是以2为公比的等比数列 结论 2 由 1 知 4 n 2 于是sn 1 4 n 1 4 sn 1 4an n 2 又a2 3s1 3 故s2 a1 a2 4 4a1 因此对于任意正整数n 1 都有sn 1 4an 规律总结 1 演绎推理是从一般到特殊的推理 其一般形式是三段论 应用三段论解决问题时 应当首先明确什么是大前提和小前提 如果大前提是显然的 则可以省略 本题中 等比数列的定义在解题中是大前提 由于它是显然的 因此省略不写 2 在推理论证过程中 一些复杂的证明题常常要利用