三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.7 空间角课件.ppt

7 7空间角 1 直线与直线所成的角 1 定义法 用平移转化的方法 将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角 2 确定两条直线的方向向量分别为a b 则两条直线所成角 的余弦为cos 既可以用数量积公式直接计算 也可以建立坐标系后转化为坐标运算 c 2 直线和平面所成的角分类 1 直线与平面斜交时 直线和平面所成的角是指这条直线和它在平面内的射影所成的锐角 2 直线和平面垂直时 直线和平面所成的角为90 3 直线和平面平行或直线在平面内时 直线和平面所成的角为0 由此可知 直线和平面所成的角的范围为 求直线与平面所成角的一般过程 通过射影转化法 作出直线与平面所成的角 在三角形中求角的大小 向量法 设pa是平面 的斜线 m n为平面 的法向量 pa与平面 所成 的角为 则sin 转化法 若斜线段 其中有一个端点在平面内 长度确定 则求斜线与平面所成角的问题可转化为直角三角形中的问题 求斜线段的另一个端点到平面的距离 即求点到平面的距离 进而求角 c 3 二面角 1 定义法 直接在二面角的棱上取一点 特殊点 过该点分别在两个半平面中作棱的垂线 得出平面角 用定义法时 要认真观察图形的特征 2 垂面法 已知二面角内一点到两个面的垂线时 过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角 由此可知 二面角的平面角所在的平面与棱垂直 3 射影法 利用面积射影公式 其中 为二面角的平面角的大小 此方法不必在图中画出平面角 4 向量法 设二面角 l 的平面角为 i 若ab cd分别是二面角 l 的两个半平面内与棱l垂直的异面直线 如图1所示 则二面角的大小就是向量 的夹角 此时 cos s射 s斜 cos ii 设n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则向量n1与n2的夹角 或其补角 的大小就是二面角的大小 如图2 3 其中cos c c 1 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1 则侧棱与底面所成的角为 a 75 b 60 c 45 d 30 答案c如图 正四棱锥p abcd中 过p作po 平面abcd于点o 连结ao 则ao是ap在底面abcd上的射影 pao即为所求的角 易知ao 又pa 1 cos pao pao 45 即所求角为45 故选c c 2 正方体abcd a1b1c1d1中 bc1与平面bb1d1d所成的角是 a b c d 答案a连结a1c1交b1d1于e 连结be c1e 易知c1e 平面bb1d1d 所以bc1与平面bb1d1d所成角就是 c1be 而sin c1be 所以 c1be 故选a c 3 线段ab的两端在直二面角 l 的两个面内 并与这两个面都成30 角 则异面直线ab与l所成的角是 a 30 b 45 c 60 d 75 答案b如图 在 内作aa l于a 在 内过点b作l的平行线 过点a 作l的垂线 两线交于点c 作bb l于b 连结ac 则 abc即为异面直线ab与l所成的角 连结a b 由题意易知aa ab bb a c ab a b ab 所以a b bc ab ac ab 由勾股定理逆定理知 acb 90 则 abc 45 c 4 空间四边形abcd中 e f分别为ac bd的中点 若cd 2ab 4 异面直线ab与cd所成的角为60 则异面直线ef与cd所成角的余弦值为 a b c 或d 或答案d取bc的中点h 连结fh eh 则 ehf 60 或 ehf 120 由已知得he 1 hf 2 由余弦定理可得ef 或ef 从而有cos efh 或cos efh 即异面直线ef与cd所成角的余弦值为或 c 5 如图 在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中 点m和n分别是a1b1和bb1的中点 那么直线am与cn所成角的余弦值为 cos 即直线am与cn所成角的余弦值为 答案解析以d为坐标原点 为x轴正向 为y轴正向 为z轴正向建立空间直角坐标系 则a 1 0 0 m c 0 1 0 n 则 6 2015浙江金丽衢十二校联考 如图 设动点p在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1的对角线bd1上 记 当 apc为钝角时 求 的取值范围 解析以 为单位正交基底 建立如图所示的空间直角坐标系d xyz 则有a 1 0 0 b 1 1 0 c 0 1 0 d1 0 0 1 c 由 1 1 1 得 所以 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 显然 apc不是平角 所以 apc为钝角等价于cos apc cos 0 等价于 0 即 1 1 1 2 1 3 1 0 得 1 因此 的取值范围为 异面直线所成的角典例1 2014课标 11 5分 直三棱柱abc a1b1c1中 bca 90 m n分别是a1b1 a1c1的中点 bc ca cc1 则bm与an所成角的余弦值为 a b c d 答案c解析解法一 取bc的中点q 连结qn aq 易知bm qn 则 anq即为所求 设bc ca cc1 2 则aq an qn c cos anq 故选c 解法二 以c1为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 设bc ca cc1 2 则a 2 0 2 n 1 0 0 m 1 1 0 b 0 2 2 1 0 2 1 1 2 cos 故选c 解法三 不妨取ac cb cc1 2 则bm an 3 则cos 所以bm与an所成角的余弦值为 cos 异面直线所成角的求解方法 1 用 平移法 作出异面直线所成角 或其补角 解三角形求角 2 用 向量法 求两直线的方向向量所成角 或其补角 当异面直线的方向向量的夹角为钝角时 其补角才是异面直线所成的角 1 1 2015浙江 13 4分 如图 在三棱锥a bcd中 ab ac bd cd 3 ad bc 2 点m n分别为ad bc的中点 则异面直线an cm所成的角的余弦值是 hmc 即为所求 因为ab ac bd cd 3 ad bc 2 又m n分别为ad bc的中点 所以cm ad an bc 所以cm 2 an 2 mh an hc 则 cos hmc 故异面直线an cm所成角的余弦值为 答案解析连结dn 取dn的中点h 连结hm hc 由n m h均为中点 知 cos 1 2 2015杭州二模文 15 4分 在正四面体abcd中 m是ab的中点 n是棱cd上的一个动点 若直线mn与bd所成的角为 则cos 的取值范围是 答案解析建立空间直角坐标系 且a 1 0 0 b 0 1 0 c 1 1 1 d 0 0 1 则m 设n x x 1 x 0 1 则 0 1 1 则cos cos c 令 x t 则cos 令 u 则cos 3u2 4u 2 所以cos 直线与平面所成的角典例2如图 四边形abcd是矩形 sa 平面abcd sa ab 1 ad 2 点m为bc的中点 求直线sa与平面sdm所成角的正弦值 解析解法一 连结am 因为点m为bc的中点 sa ab 1 ad 2 所以am dm 由勾股定理的逆定理知dm am 又sa 平面abcd 则dm sa 因sa am a 所以dm 平面sam c 由于dm 平面sdm 所以平面sdm 平面sam 过点a作an sm 垂足为n 则an 平面sdm 故 asm即为直线sa与平面sdm所成的角 因为sa 1 am 所以sm 则sin asm 故直线sa与平面sdm所成角的正弦值为 解法二 以ad ab as所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 则a 0 0 0 b 0 1 0 s 0 0 1 d 2 0 0 依题意有m 1 1 0 1 1 0 2 0 1 设平面sdm的法向量为n x y z 则有取x 1 得n 1 1 2 设直线sa与平面sdm所成角为 则sin cos 故直线sa与平面sdm所成角的正弦值为 解法三 设点a到平面sdm的距离为d 由解法一知dm am dm sm 且dm sm 则三棱锥a sdm的体积为v1 d d 而三棱锥s adm的体积为v2 1 2 1 由v1 v2 得d 设直线sa与平面sdm所成角为 则sin 故直线sa与平面sdm所成角的正弦值为 1 传统方法求线面角 1 求直线和平面所成角的步骤 寻找过斜线上一点与平面垂直的直线 连结垂足和斜足得到斜线在平面内的射影 斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角 把该角归结在某个三角形中 通过解三角形求出该角 2 求线面角的技巧 在上述步骤中 作角是关键 而确定斜线在平面内的射影是作角的关键 几何图形的特征是找射影的依据 垂足一般都是一些特殊的点 比如中心 垂心 重心等 2 利用向量法求线面角 1 分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 2 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 钝角时取其补角 取其余角就是斜线和平面所成的角 2 1 2015浙江镇海中学测试卷二 19 1 8分 如图 在三棱锥p abc中 平面apc 平面abc 且pa pb pc 2 ab bc 求直线pa与平面pbc所成角的正弦值 解析取ac的中点o 连结ob op 因为pa pc ba bc 所以op ac ob ac c 又平面apc 平面abc 则有op ob 从而有op2 ob2 pb2 即4 oc2 2 oc2 4 得oc 1 则ob 1 op 分别以ob oc op所在直线为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 得o 0 0 0 a 0 1 0 b 1 0 0 c 0 1 0 p 0 0 1 1 0 1 0 设平面pbc的法向量为n x y z 由 n 0和 n 0得方程组取z 1 得n 1 0 1 cos 故直线pa与平面pbc所成角的正弦值为 中点 设点p在线段cc1上 直线op与平面a1bd所成的角为 则sin 的取值范围是 a b c d 2 2 2014四川 8 5分 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 点o为线段bd的 解析由正方体的性质易求得sin c1oa1 sin coa1 注意到 c1oa1是锐角 coa1是钝角 且 故sin 的取值范围是 答案b 二面角典例3 2014四川 18 12分 三棱锥a bcd及其侧视图 俯视图如图所示 设m n分别为线段ad ab的中点 p为线段bc上的点 且mn np 1 证明 p是线段bc的中点 2 求二面角a np m的余弦值 解析 1 证明 如图 取bd中点o 连结ao co 由侧视图及俯视图知 abd bcd为正三角形 因此ao bd oc bd 因为ao oc 平面aoc 且ao oc o 所以bd 平面aoc 又因为ac 平面aoc 所以bd ac 取bo的中点h 连结nh ph 又m n分别为线段ad ab的中点 所以nh ao mn bd 因为ao bd 所以nh bd 因为mn np 所以np bd 因为nh np 平面nhp 且nh np n 所以bd 平面nhp 又因为hp 平面nhp 所以bd hp 又oc bd hp 平面bcd oc 平面bcd 所以hp oc 因为h为bo的中点 故p为bc的中点 2 解法一 如图 作nq ac于q 连结mq 由 1 知 np ac 所以nq np 因为mn np 所以 mnq为二面角a np m的一个平面角 由 1 知 abd bcd是边长为2的正三角形 所以ao oc 由俯视图可知 ao 平面bcd 因为oc 平面bcd 所以ao oc 因此在等腰rt aoc中 ac 作br ac于r 在 abc中 ab bc 所以br 因为在平面abc内 nq ac br ac 所以nq br 又因为n为ab的中点 所以q为ar的中点 因此nq 同理 可得mq 所以在等腰 mnq中 cos mnq 故二面角a np m的余弦值是 解法二 由俯视图及 1 可知 ao 平面bcd 因为oc ob 平面bcd 所以ao oc ao ob 又oc ob 所以直线oa ob oc两两垂直 如图 以o为坐标原点 以 的方向为x轴 y轴 z轴的正方向建立空 间直角坐标系o xyz 则a 0 0 b 1 0 0 c 0 0 d 1 0 0 因为m n分别为线段ad ab的中点 又由 1 知 p为线段bc的中点 所以m n p 于是 1 0 1 0 1 0 0 设平面abc的法向量为n1 x1 y1 z1 则即有从而取z1 1 则x1 y1 1 所以n1 1 1 设平面mnp的法向量为n2 x2 y2 z2 则即有从而取z2 1 所以n2 0 1 1 设二面角a np m的大小为 易知二面角a np m为锐二面角 则cos 故二面角a np m的余弦值是 作法一 定义法 在二面角的棱上找一特殊点 在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 如图 1 aob为二面角 l 的平面角 作法二 垂面法 过棱上一点作棱的垂直平面 该平面与二面角的两个半平面产生两条交线 这两条交线所成的角即为二面角的平面角 求二面角的大小关键是作出二面角的平面角 作二面角的平面角的方法 如图 2 aob为二面角 l 的平面角 作法三 垂线法 过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线 过垂足作棱的垂线 利用线面垂直可找