重庆市中考数学 第一部分 考点研究 第四章 三角形 第五节 解直角三角形及其实际应用课件.ppt

第四章三角形第五节解直角三角形及其实际应用 考点精讲 解直角三角形及其实际应用 锐角三角函数的定义 锐角三角函数 特殊角的三角函数值记忆法 直角三角形的边角关系 解直接三角形的实际应用 仰角 俯角 坡角 坡度 方向角 精确度 解直角三角形实际应用题的一般步骤 锐角三角函数的定义 如图 在rt abc中 c 90 a为 abc中的一锐角 则有 b c的对边分别为a b c a的正弦 sina a的余弦 cosa a的正切 tana 三角函数 30 45 60 图表记忆法 如图 图 规律记忆法 30 45 60 角的正弦值的分母都是2 分子依次为1 30 45 60 角的余弦值是60 45 30 角的正弦值 直角三角形的边角关系 已知条件 图形 解法 已知一直角边和一锐角 a a b 90 a c b 或b 已知斜边和一个锐角 c a b 90 a a csinab ccosa 或b 已知两直角边 a b c 由tana 求 a b 90 a 已知斜边和一条直角边 c a c 由tana 求 a b 90 a 1 仰角 俯角 如图 所示 当从低处观测高处的目标时 视线与水平线所成的锐角称为仰角 当从高处观测低处的的目标时 视线与水平线所成的锐角称为俯角2 坡角 坡度 如图 所示 通常把坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫坡度 用字母i表示 坡面与水平面的夹角叫做坡角 记作 则有 3 方向角 如图 所示 a点位于o点的北偏东30 方向 而b点位于o点的南偏东60 方向4 精确度 一个近似数四舍五入到哪一位就说这个近似数精确到哪一位 如3 1是精确到0 1或叫做精确到十分位 5 解直角三角形实际应用题的一般步骤 1 审题 注意仰角 俯角 坡度 水平距离 垂直距离等概念定义 2 画图 想办法构造直角三角形 必要的情况下还要添加辅助线 3 转化 将实际的数量关系转化为直角三角形中元素间的关系 4 解题 灵活应用三角函数定义及有关关系 三角形的有关公式 定理等 5 答 注意单位 例1 2016连云港 如图 在 abc中 c 150 ac 4 tanb 1 求bc的长 重难点突破 直角三角形的边角关系 1 思维教练 已知tanb c ac的值 要求bc的值 需构造直角三角形 即过点a作ad bc的延长线于点d 因为bc bd cd 所以只要求出bd cd的长即可求解 cd可以在rt acd中求解 bd可以在rt abd中求解 而求bd的长 需先在rt acd中求出ad的长 解 如解图 过点a作ad bc的延长线于点d acb 150 acd 30 ad ac 2 cd ac在rt abd中 bc 16 思维教练 由 1 知 acd 30 要求tan15 的值 可以想到构造以 acd为外角 ac为腰的等腰三角形即可得到含15 角的直角三角形 从而根据锐角三角函数的定义求解 2 利用此图形求tan15 的值 精确到0 1 参考数据 解 如解图 在cb上截取ce ca 4 则 cea cae acd 15 tan15 tan15 的值为0 3 练习1 2016怀化 在rt abc中 c 90 sina ac 6cm 则bc的长度为 a 6cmb 7cmc 8cmd 9cm c 解析 sina 设bc 4a 则ab 5a ac 3a 3a 6 即a 2 故bc 4a 8cm 例2 2016天水 如图所示 某人在山坡坡脚a处测得电视塔尖点c的仰角为60 沿山坡向上走到p处再测得c的仰角为45 已知oa 200米 山坡坡度为 即tan pab 且o a b在同一条直线上 求电视塔oc的高度以及此人所在位置点p的垂直高度 测倾器的高度忽略不计 结果保留根号 直角三角形的实际应用 二 思维教练 要求oc的值 已知 cao 60 ao 200米 即可在rt aoc中 运用锐角三角函数求解 要求点p的垂直高度 即可想到作辅助线pe ab pf co 已知tan pab cpf 45 可通过cf pf列方程求解pe的值 解 如解图 过点p作pe ob于点e pf co于点f 在rt aoc中 ao 200 cao 60 co ao tan60 设pe x tan pab ae 3x 在rt pcf中 cpf 45 cf 200 x pf oa ae 200 3x pf cf 200 3x x 解得x 50 米 答 电视塔oc高为米 点p的铅直高度为 50 米 练习2 2016哈尔滨 如图 一艘轮船位于灯塔p的北偏东60度方向 与灯塔p的距离为30海里的a处 轮船沿正南方向航行一段时间后 到达位于灯塔p的南偏东30 方向上的b处 则此时轮船所在位置b处与灯塔p之间的距离为 a 60海里b 45海里c 20海里d 30海里 d 解析 由题意可得 b 30 ap 30海里 apb 90 故ab 2ap 60 海里 则此时轮船所在位置b处与灯塔p之间的距离为 bp 30 海里 练习3 2016南通 如图 为了测量某建筑物mn的高度 在平地上a处测得建筑物顶端m的仰角为30 向n点方向前进16m到达b处 在b处测得建筑物顶端m的仰角为45 则建