高考数学大一轮复习 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 6 函数的单调性课件 文.ppt

第二章函数与基本初等函数 第6课函数的单调性 课前热身 1 必修1p40练习8改编 下列说法中 正确的是 填序号 若定义在r上的函数f x 满足f 2 f 1 则函数f x 是r上的单调增函数 若定义在r上的函数f x 满足f 2 f 1 则函数f x 在r上不是单调减函数 若定义在r上的函数f x 在区间 0 上是单调增函数 在区间 0 上也是单调增函数 则函数在r上是单调增函数 激活思维 若定义在r上的函数f x 在区间 0 上是单调增函数 在区间 0 上也是单调增函数 则函数在r上是单调增函数 解析 根据单调性的定义 结合函数图象分析 2 必修1p55习题8改编 函数f x ln 4 3x x2 的单调减区间是 3 必修1p44习题4改编 已知函数y f x 是定义在r上的单调减函数 那么满足f 2 a2 f a 的实数a的取值范围为 解析 因为f x 在r上是单调减函数 所以由f 2 a2 f a 可得2 a2 a 解得 2 a 1 2 1 4 必修1p44习题2改编 若函数f x x2 mx 3在 2 上是增函数 则实数m的取值范围为 4 1 函数单调性的定义 1 一般地 对于 的函数f x 如果对于属于这个区间的 两个自变量x1 x2 当 时 都有 或都有 那么就说f x 在这个区间上是增函数 或减函数 2 如果函数y f x 在某个区间上是增函数 或减函数 那么就说f x 在这个区间上具有 严格的 单调性 这个区间叫作f x 的 若函数是增函数 则称该区间为 若函数为减函数 则称该区间为 知识梳理 给定区间上 任意 x1 x2 f x1 f x2 f x1 f x2 单调区间 增区间 减区间 2 复合函数的单调性对于函数y f u 和u g x 如果当x a b 时 u m n 且u g x 在区间 a b 上和y f u 在区间 m n 上同时具有单调性 那么复合函数y f g x 在区间 a b 上具有 并且具有这样的规律 3 求函数单调区间或证明函数单调性的方法 1 2 3 单调性 增增 或减减 则增 增减 或减增 则减 函数单调性的定义法 函数的图象法 导函数法 课堂导学 函数单调性的判断与证明 例1 精要点评 证明函数单调性的基本步骤 1 设变量 2 作差 作商 变形 3 定号 4 下结论 其中 2 3 是解答问题的关键 在遇到其他综合问题时 也可以使用图象法 复合函数单调性规律等方法来求解问题 变式 又因为0 x1 x2 1 所以x1x2 0 x1x2 1 0 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以函数f x 在区间 0 1 上是单调减函数 思维引导 利用函数的单调性求参数的取值范围 解题思路为视参数为已知数 依据函数的图象或单调性的定义 确定函数的单调区间 与已知单调区间比较求参 函数单调性的运用 例2 因为函数f x 在 1 上是减函数 所以f x1 f x2 0 又x1 x2 1 所以x1 x2 0 x1 1 0 x2 1 0 所以a 1 0 即a 1 故实数a的取值范围是 1 精要点评 已知函数的单调性确定参数的值或范围 可以通过解不等式或转化为不等式恒成立问题求解 需要注意的是 若函数在区间 a b 上是单调的 则该函数在此区间的任意子集上也是单调的 变式1 7 变式2 抽象函数的单调性 例3 思维引导 1 对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值 证明f x 为单调减函数的首选方法是选用单调性的定义来证 2 用函数的单调性即可求最值 解答 1 方法一 因为函数f x 对于任意x y r 总有f x f y f x y 令x y 0 得f 0 0 再令y x 得f x f x 在r上任取x1 x2 则x1 x2 0 f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 因为当x 0时 f x 0 所以f x1 x2 0 即f x1 f x2 因此函数f x 在r上是减函数 方法二 设x1 x2 则f x1 f x2 f x1 x2 x2 f x2 f x1 x2 f x2 f x2 f x1 x2 因为当x 0时 f x 0 所以f x1 x2 0 即f x1 f x2 所以函数f x 在r上为减函数 2 因为f x 在r上是减函数 所以f x 在 3 3 上也是减函数 所以f x 在 3 3 上的最大值和最小值分别为f 3 和f 3 又f 3 3f 1 2 f 3 f 3 2 所以函数在 3 3 上的最大值为2 最小值为 2 已知函数f x 对任意的m n r 都有f m n f m f n 1 并且当x 0时 恒有f x 1 1 求证 f x 在r上是增函数 2 若f 3 4 解不等式f a2 a 5 0 因为当x 0时 f x 1 所以f x2 x1 1 又f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 1 所以f x2 f x1 f x2 x1 1 0 所以f x1 f x2 所以f x 在r上为增函数 变式 2 因为m n r 不妨设m n 1 所以f 1 1 f 1 f 1 1 f 2 2f 1 1 f 3 4 f 2 1 f 2 f 1 1 3f 1 2 4 所以f 1 2 所以f a2 a 5 2 f 1 因为f x 在r上为增函数 所以a2 a 5 1 3 a 2 即不等式的解集是 3 2 备用例题 思维引导 1 根据已知条件构造关于a b的关系式 求出a b的值 对于 2 确定函数g x 后 根据函数的具体性质确定实数k的取值范围 解答 1 因为f 1 0 所以b a 1 由f x 0对任意实数x恒成立 知 b2 4a a 1 2 4a a 1 2 0 所以a 1 b 2 从而f x x2 2x 1 2 由 1 可知f x x2 2x 1 所以g x f x kx x2 2 k x 1 精要点评 根据已知条件和函数的性质构造方程或不等式确定参数的值 进而根据具体函数的性质求其他参数的取值范围或值 课堂评价 1 已知函数f x x2 4 1 a x 1在 1 上是增函数 那么实数a的取值范围是 2 函数y log0 5 x2 5x 6 的单调增区间为 解析 令u x2 5x 6 0 得x 3或x 2 因为函数y log0 5u在 0 上为减函数 函数u x2 5x 6在 2 上为减函数 所以原函数的单调增区间为 2 2 3 2015 盐城中学模