高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.8 函数与方程课件 理 苏教版.ppt

2 8函数与方程 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 函数的零点 1 函数零点的定义对于函数y f x x d 把使函数y 的值为0的实数x叫做函数y f x x d 的零点 2 几个等价关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与有交点 函数y f x 有 知识梳理 f x x轴 零点 3 函数零点的判定 零点存在性定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是一条不间断的曲线 且有 那么 函数y f x 在区间上有零点 即存在c a b 使得 这个也就是方程f x 0的根 2 二分法对于在区间 a b 上连续不断且的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 f a f b 0 a b f c 0 c f a f b 0 一分为二 零点 3 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 x1 0 x2 0 x1 0 2 1 0 有关函数零点的结论 1 若连续不断的函数f x 在定义域上是单调函数 则f x 至多有一个零点 2 连续不断的函数 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 3 连续不断的函数图象通过零点时 函数值可能变号 也可能不变号 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数的零点就是函数的图象与x轴的交点 2 函数y f x 在区间 a b 内有零点 函数图象连续不断 则f a f b 0 3 只要函数有零点 我们就可以用二分法求出零点的近似值 4 二次函数y ax2 bx c a 0 在b2 4ac 0时没有零点 5 若函数f x 在 a b 上单调且f a f b 0 则函数f x 在 a b 上有且只有一个零点 考点自测 1 教材改编 函数f x x的零点个数为 答案 解析 1 f x 是增函数 又f 0 1 f 1 f 0 f 1 0 f x 有且只有一个零点 2 教材改编 已知f x ax2 bx c的零点为1 3 则函数y ax2 bx c的对称轴是 答案 解析 y a x 1 x 3 a x 2 2 a 对称轴为x 2 x 2 答案 解析 4 函数f x ax 1 2a在区间 1 1 上存在一个零点 则实数a的取值范围是 答案 解析 函数f x 的图象为直线 由题意可得f 1 f 1 0 3a 1 1 a 0 解得 a 1 实数a的取值范围是 5 教材改编 已知函数f x x2 x a在区间 0 1 上有零点 则实数a的取值范围是 答案 解析 2 0 结合二次函数f x x2 x a的图象知 题型分类深度剖析 题型一函数零点的确定命题点1确定函数零点所在区间例1 1 2016 盐城调研 已知函数f x lnx x 2的零点为x0 则x0所在的区间是 填序号 0 1 1 2 2 3 3 4 答案 解析 x0 2 3 2 设函数y x3与y x 2的图象的交点为 x0 y0 若x0 n n 1 n n 则x0所在的区间是 答案 解析 令f x x3 x 2 则f x0 0 易知f x 为增函数 且f 1 0 x0所在的区间是 1 2 1 2 命题点2函数零点个数的判断例2 1 函数f x 的零点个数是 答案 解析 2 当x 0时 令x2 2 0 解得x 正根舍去 所以在 0 上有一个零点 当x 0时 f x 2 0恒成立 所以f x 在 0 上是增函数 又因为f 2 2 ln20 所以f x 在 0 上有一个零点 综上 函数f x 的零点个数为2 2 若定义在r上的偶函数f x 满足f x 2 f x 当x 0 1 时 f x x 则函数y f x log3 x 的零点个数是 答案 解析 由题意知 f x 是周期为2的偶函数 在同一坐标系内作出函数y f x 及y log3 x 的图象 如图 观察图象可以发现它们有4个交点 即函数y f x log3 x 有4个零点 4 1 确定函数零点所在区间 可利用零点存在性定理或数形结合法 2 判断函数零点个数的方法 解方程法 零点存在性定理 结合函数的性质 数形结合法 转化为两个函数图象的交点个数 思维升华 跟踪训练1 1 已知函数f x log2x 在下列区间中 包含f x 零点的区间是 填序号 0 1 1 2 2 4 4 答案 解析 所以函数f x 的零点所在区间为 2 4 2 教材改编 已知函数f x 2x 3x 则函数f x 的零点个数为 答案 解析 2 令f x 0 则2x 3x 在同一平面直角坐标系中分别作出y 2x和y 3x的图象 如图所示 由图知函数y 2x和y 3x的图象有2个交点 所以函数f x 的零点个数为2 题型二函数零点的应用例3 1 函数f x 2x a的一个零点在区间 1 2 内 则实数a的取值范围是 答案 解析 0 3 因为函数f x 2x a在区间 1 2 上单调递增 又函数f x 2x a的一个零点在区间 1 2 内 则有f 1 f 2 0 所以 a 4 1 a 0 即a a 3 0 所以0 a 3 2 已知函数f x x2 3x x r 若方程f x a x 1 0恰有4个互异的实数根 则实数a的取值范围是 答案 解析 0 1 9 几何画板展示 设y1 f x x2 3x y2 a x 1 在同一直角坐标系中作出y1 x2 3x y2 a x 1 的图象如图所示 由图可知f x a x 1 0有4个互异的实数根等价于y1 x2 3x 与y2 a x 1 的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1 消去y得x2 3 a x a 0有两个不等实根 所以 3 a 2 4a 0 即a2 10a 9 0 解得a9 又由图象得a 0 09 引申探究本例 2 中 若f x a恰有四个互异的实数根 则a的取值范围是 答案 解析 作出y1 x2 3x y2 a的图象如下 当x 0或x 3时 y1 0 由图象易知 当y1 x2 3x 和y2 a的图象有四个交点时 0 a 已知函数零点情况求参数的步骤及方法 1 步骤 判断函数的单调性 利用零点存在性定理 得到参数所满足的不等式 组 解不等式 组 即得参数的取值范围 2 方法 常利用数形结合法 思维升华 跟踪训练2 1 已知函数f x x2 x a a 0 在区间 0 1 上有零点 则a的取值范围为 答案 解析 2 0 a x2 x在 0 1 上有解 函数y x2 x x 0 1 的值域为 0 2 0 a 2 2 a 0 2 2016 江苏前黄中学调研 若函数f x kx2有4个零点 则实数k的取值范围是 答案 解析 4 几何画板展示 令f x 0 则方程 kx2有4个不同的实数根 显然 x 0是方程的一个实数根 当x 0时 方程可化为 x x 1 设h x g x x x 1 由题意知h x 与g x 图象 如图所示 有三个不同的交点 题型三二次函数的零点问题例4已知f x x2 a2 1 x a 2 的一个零点比1大 一个零点比1小 求实数a的取值范围 解答 方法一设方程x2 a2 1 x a 2 0的两根分别为x1 x2 x1 x2 则 x1 1 x2 1 0 x1x2 x1 x2 1 0 由根与系数的关系 得 a 2 a2 1 1 0 即a2 a 2 0 2 a 1 方法二函数图象大致如图 则有f 1 0 即1 a2 1 a 2 0 2 a 1 故实数a的取值范围是 2 1 解决与二次函数有关的零点问题 1 利用一元二次方程的求根公式 2 利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系 3 利用二次函数的图象列不等式组 思维升华 跟踪训练3 2016 江苏泰州中学质检 关于x的一元二次方程x2 2 m 3 x 2m 14 0有两个不同的实根 且一根大于3 一根小于1 则m的取值范围是 答案 解析 设f x x2 2 m 3 x 2m 14 1 函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数 利用数形结合求解参数范围 2 a f x 有解 型问题 可以通过求函数y f x 的值域解决 典例 1 若函数f x ax x a a 0且a 1 有两个零点 则实数a的取值范围是 2 若关于x的方程22x 2xa a 1 0有实根 则实数a的取值范围为 利用转化思想求解函数零点问题 思想与方法系列4 1 思想方法指导 答案 解析 几何画板展示 函数f x ax x a a 0且a 1 有两个零点 即方程ax x a 0有两个根 即函数y ax与函数y x a的图象有两个交点 当01时 图象如图 2 所示 此时有两个交点 实数a的取值范围为 1 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2016 江苏东海中学期中 若函数f x 则函数g x f x x的零点为 答案 解析 题目转化为求方程f x x的根 14 2 若函数f x log3x x 3的零点所在的区间是 n n 1 n z 则n 答案 解析 2 由f 2 log32 10 知f x 0的根在区间 2 3 内 即n 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 已知三个函数f x 2x x g x x 2 h x log2x x的零点依次为a b c 则a b c的大小关系为 答案 解析 a c b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 故f x 2x x的零点a 1 0 g 2 0 g x 的零点b 2 且h x 为 0 上的增函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法二由f x 0得2x x 由h x 0得log2x x 作出函数y 2x y log2x和y x的图象 如图 由图象易知a 0 0 c 1 而b 2 故a c b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 方程 x2 2x a2 1 a 0 的解的个数是 答案 解析 数形结合法 a 0 a2 1 1 而y x2 2x 的图象如图 y x2 2x 的图象与y a2 1的图象总有两个交点 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 函数f x 的零点个数为 答案 解析 当x 0时 令f x 0 得x2 1 0 x 1 此时f x 有一个零点 当x 0时 令f x 0 得x 2 lnx 0 在同一个坐标系中画出y 2 x和y lnx的图象 图略 观察其图象可知函数y 2 x和y lnx的图象在 0 上的交点个数是1 所以此时函数f x 有一个零点 所以f x 的零点个数为2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 已知x r 符号 x 表示不超过x的最大整数 若函数f x a x 0 有且仅有3个零点 则实数a的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 2016 徐州模拟 已知函数f x 则函数f x 的零点为 答案 解析 x 0 当x 1时 由f x 2x 1 0 解得x 0 又因为x 1 所以此时方程无解 综上 函数f x 的零点只有0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 已知函数f x 若存在实数b 使函数g x f x b有两个零点 则a的取值范围是 答案 解析 0 1 令 x x3 x a h x x2 x a 函数g x f x b有两个零点 即函数y f x 的图象与直线y b有两个交点 结合图象 图略 可得ah a 即aa2 解得a1 故a 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 2016 天津 已知函数f x a 0 且a 1 在r上单调递减 且关于x的方程 f x 2 恰有两个不相等的实数解 则a的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为函数f x 在r上单调递减 作出函数y f x y 2 的图象如图 由图象可知 在 0 上 f x 2 有且仅有一个解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 若a 1 设函数f x ax x 4的零点为m 函数g x logax x 4的零点为n 则的最小值为 答案 解析 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设f x ax g x logax h x 4 x 则h x 与f x g x 的交点a b横坐标分别为m n m 0 n 0 因为f x 与g x 关于直线y x对称 所以a b两点关于直线y x对称 又因为y x和h x 4 x交点的横坐标为2 所以m n 4 又m 0 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 2016 江苏淮阴中学期中 已知关于x的一元二次方程x2 2ax a 2 0的两个实根是 且有1 2 3 则实数a的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设f x x2 2ax a 2 结合二次函数的图象及一元二次方程根的分布情况可得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 关于x的二次方程x2 m 1 x 1 0在区间 0 2 上有解 求实数m的取值范围 解答 显然x 0不是方程x2 m 1 x 1 0的解 1 m 2 m 1 故m的取值范围是 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 已知f x x2 a2 1 x a 2 的一个零点比1大 一个零点比1小 求实数a的取值范围 解答 1 2 3 4 5 6 7