湖南省宁乡一中、箴言中学等十校高三数学上学期12月联考试卷 文（含解析）.docVIP

2015-2016学年湖南省宁乡一中、箴言中学等十校高三（上）12月联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合a=x|x25x0，b=x|1x3xn，则集合ab的子集个数为（）a8b4c3d22复数z满足（1+i）z=2i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3已知平面向量=（2，m），=（1，2），且，则|+3|等于（）ab2c3d44双曲线c：=1（a0，b0）的离心率e=，则它的渐近线方程为（）ay=xby=xcy=xdy=x5某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2xy=1上的概率为（）abcd6已知f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时，f（x）=3x+m（m为常数），则f（log3）=（）a4b4cd7函数f（x）=2sin（x+）（0，）的部分图象如图所示，则（）a函数f（x）的最小正周期是2b函数f（x）的图象可由函数g（x）=2sin2x的图象向右平移个单位长度得到c函数f（x）的图象关于直线x=对称d函数f（x）在区间+k， +k（kz）上是增函数8已知中心在原点的椭圆c以抛物线y2=4x的焦点f为右焦点，且它们的公共点p到点f的距离为，则椭圆c的标准方程为（）a +y2=1b +x2=1c +=1d +=19阅读程序框图，若输出结果s=，则整数m的值为（）a7b8c9d1010设函数f（x）=，则满足不等式f（a）的实数a的取值范围为（）a（，1）b（1，）（，+）c（1，+）d（，1）（，）11一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）abcd12已知函数g（x）=ax2（xe，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）a1， +2b1，e22c+2，e22de22，+）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中的横线上.13某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 广告费用x（万元）3456销售额y（万元）25304045根据上表可得回归方程=x+中的为7据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（万元）14变量x，y满足条件，则（x1）2+y2的最小值为15已知sin2cos=，则tan（十）的值为16如图，互不相同的点a1、a2、an、，b1、b2、bn、，c1、c2、cn、分别在以o为顶顶点的三棱锥的三条侧棱上，所有平面anbncn互相平行，且所有三棱台anbncnan+1bn+1cn+1的体积均相等，设oan=an，若a1=，a2=2，则an=三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤.17某校对高一年级学生暑假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了m名学生作为样本，得到这m名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率10，15）100.2515，20）25n20，25）mp25，30）20.05合计mn（1）求表中n，p的值和频率分布直方图中a的值，并估计该校高一学生参加社区服务超过20次的概率；（2）试估计该校高一学生暑假参加社区服务次数的中位数18已知abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且asina=bsinb+（cb）sinc（1）求角a的大小；（2）若b=2，sabc=，求sin（2ba）的值19如图，在直三棱柱abca1b1c1中，ab=bc=ac=2，aa1=3，点m是b1c1的中点（1）求证：ab1平面a1mc；（2）求点b到平面a1mc的距离20已知等差数列an的前n项和为sn，a2+a6=14，s8=64，数列bn满足b1+2b2+3b3+nbn=（n1）2n+1，nn*（1）求数列an和bn的通项公式；（2）设cn=记数列cn的前n项和为tn，若不等式tn25对任意的nn*恒成立，求实数的取值范围21已知曲线c上的动点p到两定点o（0，0），a（3，0）的距离之比为（1）求曲线c的方程；（2）若直线l的方程为y=kx2，其中k2，且直线l交曲线c于a，b两点，求的最小值22已知函数f（x）=x22ax+2lnx，（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=2x+4平行，试求实数a的值；（2）若函数f（x）在定义域上为增函数，试求实数a的取值范围；（3）若y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1x2，a若不等式f（x1）mx2恒成立，试求实数m的取值范围2015-2016学年湖南省宁乡一中、箴言中学等十校高三（上）12月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合a=x|x25x0，b=x|1x3xn，则集合ab的子集个数为（）a8b4c3d2【考点】子集与真子集【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】由题意和交集的运算求出ab，利用结论求出集合ab的子集的个数【解答】解：集合a=x|x25x0=（0，5），b=x|1x3xn=0，1，2，ab=1，2，集合ab的子集个数为22=4，故选：b【点评】本题考查交集及其运算，集合的子集个数是2n（n是集合元素的个数）的应用，属于基础题2复数z满足（1+i）z=2i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：（1+i）z=2i（i为虚数单位），z=i+1，则z在复平面内对应的点（1，1）在第一象限故选：a【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3已知平面向量=（2，m），=（1，2），且，则|+3|等于（）ab2c3d4【考点】平行向量与共线向量；向量的模【专题】平面向量及应用【分析】根据向量，求出m的值，再计算|+3|的值【解答】解：平面向量=（2，m），=（1，2），且，221m=0，解得m=4；+3=（2+1，4+2）=（1，2），|+3|=故选：a【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了向量的平行与求向量模长的问题，是基础题4双曲线c：=1（a0，b0）的离心率e=，则它的渐近线方程为（）ay=xby=xcy=xdy=x【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；规律型；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用双曲线的离心率求出双曲线的渐近线中a，b的关系，即可得到渐近线方程【解答】解：双曲线c：=1（a0，b0）的离心率e=，可得，可得，双曲线的渐近线方程为：y=故选：a【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力5某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2xy=1上的概率为（）abcd【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有66=36种结果，利用列举法求出满足条件的事件包含的基本事件个数，根据古典概型的概率公式得到以（x，y）为坐标的点落在直线2xy=1上的概率【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有66=36种结果，满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线2xy=1上，当x=1，y=1，x=2，y=3；x=3，y=5，共有3种结果，根据古典概型的概率公式得到以（x，y）为坐标的点落在直线2xy=1上的概率：p=故选：a【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意古典概率计算公式的合理运用6已知f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时，f（x）=3x+m（m为常数），则f（log3）=（）a4b4cd【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的性质【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可【解答】解：f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时，f（x）=3x+m（m为常数），f（0）=0，即30+m=0，即1+m=0，解得m=1，f（log3）=f（log35）=f（log35），当x0时，f（x）=3x1，f（log35）=1=51=4，即f（log3）=4，故选：b【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质，以及对数的运算法则进行转化是解决本题的关键7函数f（x）=2sin（x+）（0，）的部分图象如图所示，则（）a函数f（x）的最小正周期是2b函数f（x）的图象可由函数g（x）=2sin2x的图象向右平移个单位长度得到c函数f（x）的图象关于直线x=对称d函数f（x）在区间+k， +k（kz）上是增函数【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】根据图象的两个点a、b的横坐标，得到四分之三个周期的值，得到周期的值，做出的值，把图象所过的一个点的坐标代入方程做出初相，写出解析式，利用正弦函数的图象和性质即可得解【解答】解：由图象可以看出正弦函数的四分之三个周期是（）=，t=，故a不正确；=2，又由函数f（x）的图象经过（，2）2=2sin（2+）+=2k+，（kz），即=2k又由，则=，函数解析式为：f（x）=2sin（2x）由g（x）=2sin2（x）=2sin（2x）f（x），故b不正确；由f（）=2sin2（）=2，故c正确；由2k2x2k+，kz，即可解得单调递增区间为：+kk+，kz，故d不正确；故选：c【点评】本题考查有部分图象确定函数的解析式，考查了正弦函数的图象和性质，本题解题的关键是确定初相的值，这里利用代入点的坐标求出初相属于中档题8已知中心在原点的椭圆c以抛物线y2=4x的焦点f为右焦点，且它们的公共点p到点f的距离为，则椭圆c的标准方程为（）a +y2=1b +x2=1c +=1d +=1【考点】椭圆的标准方程【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先求出抛物线y2=4x的焦点f（1，0），从而得到椭圆c的右焦点为f（1，0），左焦点为f1（1，0），它们的公共点p到点f的距离为，求出p点横坐标xp=，|pf1|=，由此利用椭圆定义能求出椭圆c的标准方程【解答】解：抛物线y2=4x的焦点f（1，0），中心在原点的椭圆c的右焦点为f（1，0），左焦点为f1（1，0），设椭圆c的方程为=1，它们的公共点p到点f的距离为，p到x=1的距离为，p点横坐标xp=，=，|pf1|=，2a=|pf|+|pf1|=4，a=2，b2=41=3椭圆c的标准方程为故选：c【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆、抛物线性质的合理运用9阅读程序框图，若输出结果s=，则整数m的值为（）a7b8c9d10【考点】程序框图【专题】图表型；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，由输出结果s=，可判定退出循环的条件，即可得整数m的值【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=1满足条件nm，s=，n=2满足条件nm，s=+，n=3满足条件nm，s=+=（1）+（）+（）+（）=1=，n=10由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出s的值为，故判断框内的条件应该为：n9故选：c【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，由输出结果s=，判断退出循环的条件，求得整数m的值是解题的关键，属于基础题10设函数f（x）=，则满足不等式f（a）的实数a的取值范围为（）a（，1）b（1，）（，+）c（1，+）d（，1）（，）【考点】分段函数的应用【专题】计算题；分类讨论；数形结合法；函数的性质及应用【分析】直接分成两类讨论，当a0时，解得a（，1）；当a0时，解得a（，），再综合即可【解答】解：分段函数解不等式，直接分段讨论求解，当a0时，f（a）=2a=21，根据指数函数y=2x的单调性，解得a1，即a（，1）；当a0时，f（a）=|log2a|，即log2a，解得a（，），综合以上讨论得，a（，1）（，），故答案为：d【点评】本题主要考查了分段函数的应用，涉及对数不等式和指数不等式的解法，体现了数形结合的解题思想，属于中档题11一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）abcd【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；作图题；空间位置关系与距离【分析】这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，从而求两个体积之和即可【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，半个圆锥的体积为1=；四棱锥的体积为22=；故这个几何体的体积v=；故选d【点评】本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题12已知函数g（x）=ax2（xe，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）a1， +2b1，e22c+2，e22de22，+）【考点】对数函数的图象与性质【专题】函数的性质及应用【分析】由已知，得到方程ax2=2lnxa=2lnxx2在上有解，构造函数f（x）=2lnxx2，求出它的值域，得到a的范围即可【解答】解：由已知，得到方程ax2=2lnxa=2lnxx2在上有解设f（x）=2lnxx2，求导得：f（x）=2x=，xe，f（x）=0在x=1有唯一的极值点，f（）=2，f（e）=2e2，f（x）极大值=f（1）=1，且知f（e）f（），故方程a=2lnxx2在上有解等价于2e2a1从而a的取值范围为1，e22故选b【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程ax2=2lnxa=2lnxx2在上有解二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中的横线上.13某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 广告费用x（万元）3456销售额y（万元）25304045根据上表可得回归方程=x+中的为7据此模型预报广告费用为10万元时销售额为73.5（万元）【考点】回归分析的初步应用【专题】图表型；概率与统计【分析】根据回归方程必过样本中心点，求出回归系数，再将x=10代入，即可得到预报销售额【解答】解：由题意， =4.5， =35回归方程：为735=74.5+，=3.5x=10时， =710+3.5=73.5元故答案为：73.5【点评】本题考查求回归方程，考查利用回归方程进行预测，解题的关键是根据回归方程必过样本中心点，求出回归系数14变量x，y满足条件，则（x1）2+y2的最小值为2【考点】简单线性规划的应用【专题】计算题；函数思想；不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，利用（x1）2+y2的几何意义，即可行域内的动点与定点m（1，0）距离的平方求得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，（x1）2+y2的几何意义为可行域内的动点与定点m（1，0）距离的平方，因为直线与am垂直，由图可知，（x1）2+y2的最小值为：（）2=2故答案为：2【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15已知sin2cos=，则tan（十）的值为【考点】两角和与差的正切函数【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tan的值，再利用两角和的正切公式求得tan（十）的值【解答】解：sin2cos=，平方可得 1+3cos24sincos=5，即=4，即=4，求得tan= 则tan（十）=，故答案为：【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，属于基础题16如图，互不相同的点a1、a2、an、，b1、b2、bn、，c1、c2、cn、分别在以o为顶顶点的三棱锥的三条侧棱上，所有平面anbncn互相平行，且所有三棱台anbncnan+1bn+1cn+1的体积均相等，设oan=an，若a1=，a2=2，则an=【考点】数列与立体几何的综合【专题】综合题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列【分析】利用采取特殊法解答，不妨令oa1平面anbncn，并且anbnancn，然后求解几何体的体积，推出an即可【解答】解：不妨令oa1平面anbncn，并且anbnancn，oan=an，若a1=，a2=2 =1，=+（n1）1=n又=an3=n解得：an3=6n4即an=，故答案为：，【点评】本题考查特殊值法求解几何体的体积，棱长的求法，如果利用一般法求解，难度比较大，考查了推理能力和计算能力三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤.17某校对高一年级学生暑假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了m名学生作为样本，得到这m名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率10，15）100.2515，20）25n20，25）mp25，30）20.05合计mn（1）求表中n，p的值和频率分布直方图中a的值，并估计该校高一学生参加社区服务超过20次的概率；（2）试估计该校高一学生暑假参加社区服务次数的中位数【考点】众数、中位数、平均数【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】（1）利用频率=，结合频率分布统计表和频率分布直方图能求出频率分布表中n，p的值和频率分布直方图中a的值，并能估计该校高一学生参加社区服务超过20次的概率（2）中位数位于区间15，20），设中位数为15+x，则0.125x=0.25，由此能求出该校高一学生暑假参加社区服务次数的中位数【解答】解：10，15）组的频数为10，频率为0.25，解得m=40n=，p=10.250.6250.05=0.075，a=0.125该校高一学生参加社区服务超过20次的概率为：0.075+0.05=0.125（2）次数位于15，20）的频率为0.625，中位数位于区间15，20），设中位数为15+x，则0.125x=0.25，解得x=2，该校高一学生暑假参加社区服务次数的中位数为17次【点评】本题考查频率分布表和频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用18已知abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且asina=bsinb+（cb）sinc（1）求角a的大小；（2）若b=2，sabc=，求sin（2ba）的值【考点】余弦定理的应用；两角和与差的正弦函数；正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】（1）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosb的值，进而求得b（2）利用已知及三角形面积公式可求c利用余弦定理可求a，cosb，进而可求sinb，sin2b，cos2b，利用两角和与差的正弦函数公式即可得解【解答】解：（1）由正弦定理得a2=b2+c2bc，即：b2+c2a2=bc，由余弦定理可得b2=a2+c22accosb，故cosa=，a=60（2）b=2，sabc=bcsina=，解得：c=3a=，cosb=，可得：sinb=，sin2b=2sinbcosb=2=，cos2b=2cos2b1=，sin（2ba）=sin2bcosacos2bsina=【点评】本题主要考查了解三角形问题考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，属于中档题19如图，在直三棱柱abca1b1c1中，ab=bc=ac=2，aa1=3，点m是b1c1的中点（1）求证：ab1平面a1mc；（2）求点b到平面a1mc的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定【专题】综合题；转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】（1）建立如图所示的坐标系，求出平面a1mc的法向量，证明=0，可得ab1平面a1mc；（2）求出=（2，3，0），利用向量的方法求出点b到平面a1mc的距离【解答】（1）证明：由题意，建立如图所示的坐标系，则a（1，0，0），b1（1，3，0），a1（1，3，0），m（，3，），c（0，0，）设平面a1mc的法向量为=（x，y，z），则=（，0，），=（1，3，），取=（1，），=（2，3，0），=0，ab1平面a1mc；（2）解： =（2，3，0）点b到平面a1mc的距离=【点评】本题考查线面平行的判定定理和点b到平面a1mc的距离，体现了转化的思想属于中档题20已知等差数列an的前n项和为sn，a2+a6=14，s8=64，数列bn满足b1+2b2+3b3+nbn=（n1）2n+1，nn*（1）求数列an和bn的通项公式；（2）设cn=记数列cn的前n项和为tn，若不等式tn25对任意的nn*恒成立，求实数的取值范围【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得an，利用递推关系可得bn（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为的，a2+a6=14，s8=64，解得a1=1，d=2an=1+2（n1）=2n1数列bn满足b1+2b2+3b3+nbn=（n1）2n+1，nn*当n2时，b1+2b2+3b3+（n1）bn1=（n2）2n1+1，nbn=（n1）2n+1（n2）2n11，解得bn=2n1（2）cn=数列cn的前n项和tn=+=+，=1+=1=3，tn=6不等式tn=625对任意的nn*恒成立，256，解得6，或1实数的取值范围为6，或1【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式、递推关系的应用、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21已知曲线c上的动点p到两定点o（0，0），a（3，0）的距离之比为（1）求曲线c的方程；（2）若直线l的方程为y=kx2，其中k2，且直线l交曲线c于a，b两点，求的最小值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】转化思想；换元法；直线与圆【分析】（1）设p（x，y），由条件运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹方程；（2）联立直线方程和圆的方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，结合基本不等式，即可得到最小值【解答】解：（1）设p（x，y），由题意可得=，即为2=，化简可得x2+y2+2x3=0，曲线c的方程为圆（x+1）2+y2=4；（2）将直线y=kx2代入圆的方程，可得（1+k2）x2+（24k）x+1=0，判别式为（24k）24（1+k2）0，由k2，显然成立；设a（x1，y1），b（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，即有y1y2=（kx12）（kx22）=k2x1x22k（x1+x2）+4=，则=x1x2+y1y2=3+，可令2+k=t（t0），可得=，由t+2=2当且仅当t=，即k=2，等号成立即有=42，则12故当k=2时， 取得最小