安徽省中考数学一轮复习 第二部分 热点专题突破 专题4 利用图形变换添加辅助线课件.ppt

专题四利用图形变换添加辅助线 解答平面几何题有难度 多半是添加辅助线带来的 我们平时添加的辅助线大多是作平行线 垂线 连接 延长之类 其实这是表象 而本质是利用图形变换转换解题思路所得 初中阶段常见的图形变换有 图形的平移 图形的对称 轴对称和中心对称 图形的旋转 图形的相似 包括全等 位似 等 我们在解决平面几何问题时 如果已知条件不好直接使用 或结论难以直接达到 可以通过这些图形变换进行 图 移 形 动 使得条件发生转化 从而找到添加辅助线的思路并解答 但直接呈现在我们面前的并不是图形变换 而是作平行线 垂线 连接 延长等 这类试题几乎每年都会多次遇到 如2015年安徽数学中考第14题 第23题 2017年第18题 第23题 2018年第23题等 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 利用平移 添辅 典例1如图 在四边形abcd中 对角线ac bd ac与bd的锐夹角为60 求证 ad bc ac 解析 题中的 对角线ac bd ac与bd的锐夹角为60 等已知条件难以直接运用 可通过平移线段ad和ac 把这些已知条件集中到 bde中去 再解答 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 答案 过点c作ad的平行线 过点d作ac的平行线 二者交于点e 连接be 即四边形aced为平行四边形 de ac bd bde boc 60 即 bde为等边三角形 bd de be 在 bce中 ce bc be 即ad bc ac 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 利用轴对称 添辅 典例2 2017 安徽第10题 如图 在矩形abcd中 ab 5 ad 3 动点p满足 则点p到a b两点距离之和pa pb的最小值为 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 答案 d 名师点拨 像这种利用轴对称性质求两条线段之和的最小值问题是一个固定的模型 有人形象地称为 将军饮马 问题 注意体会并运用这个模型 同时 这样添加辅助线 也是巧妙地解决了结论 求点p到a b两点距离之和pa pb的最小值 的问题 就是说 我们进行图形变换 有时也是为了解决难以直接达到结论的问题 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 利用中心对称 添辅 典例3 2014 安徽第14题 如图 在 abcd中 ad 2ab f是ad的中点 作ce ab 垂足e在线段ab上 连接ef cf 则下列结论中一定成立的是 把所有正确结论的序号都填在横线上 dcf bcd ef cf s bec 2s cef dfe 3 aef 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 解析 充分利用 f是ad的中点 这个条件 作 aef关于f点的中心对称图形 dfg 再过点f作ab的平行线 这样即可利用中心对称 或全等三角形 的性质以及三角形中位线定理解答 过点d作dg ab交ef的延长线于点g 过点f作fh ab交bc于点h 交ce于点o 易得c d g在同一条直线上 aef dgf ad 2ab f是ad的中点 h是bc的中点 df ch cd df ch 四边形cdfh是菱形 cf平分 bcd 故 dcf bcd成立 ab cg ecg 90 在rt ecg中 cf是eg的中线 cf ef fg 故 ef cf成立 s cef s cgf s cdf s dfg s cdf s aef 2s cef s cdf s aef s cef s梯形aecd 显然s bec s梯形aecd 故 s bec 2s cef不成立 fh ab aef efh fo垂直平分ec efh cfh 四边形cdfh是菱形 dfc cfh 故 dfe 3 aef成立 答案 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 名师点拨 在遇到线段中点问题时 可以联想到三角形中位线 三角形中线 直角三角形斜边的中线等知识 但以线段中点为对称中心作中心对称图形也是一条很好的思路 当然这类问题也可理解为是利用线段中点 构造 全等三角形 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 利用旋转变换 添辅 典例4如图 o是四边形abcd内一点 e是cd边的中点 分别连接oa ob oc od oe 已知oa od ob oc aob cod 180 求证 oe ab 解析 题中的条件 aob cod 180 很难直接使用 同时其他已知条件也都 分散 在多个三角形中 也难直接使用 此时通过旋转 aob 使得已知条件大都 集中 在 cdf中 从而利用三角形中位线定理解题 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 答案 将 aob绕点o旋转 使得ob与oc重合 易得 ocf oba of oa od cf ab aob cof aob cod 180 cof cod 180 d o f在同一条直线上 e是cd边的中点 o是df的中点 名师点拨 利用旋转变换解题虽不常用 但有奇效 其实这种方法就是使得难以找到常规解题思路的问题转化成我们熟悉的常规问题 这其实还是转化思想的应用 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 利用相似 全等 添辅 典例5在 abc中 ab ac bac 90 d为ac的中点 连接bd 过点a作ae bd于点e 交bc于点f 求证 解析 利用d为ac的中点这个条件可以 构造 ade cdg和 chf bef 给解题带来思路 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 答案 过点c分别作cg bd于点g 作ch af于点h 易得四边形cgeh是矩形 ade cdg abe cah ae ch cg 四边形cgeh是正方形 名师点拨 本题的解答 表象上的辅助线是作垂线 或平行线 其实是在 构造 三角形相似和三角形全等 其实这样的题型还有很多 比如2017年安徽卷第23 2 题也是如此 见本书 相似三角形 一节 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 如图 在四边形abcd中 ab cd ab cd 点e f分别是ab cd的中点 若 a b 90 则下列结论成立的是 a ab cd 3efb ab cd 4efc ab cd efd ab cd 2ef 解析 过点f分别作fg ad交ab于点g 作fh bc交ab于点h 易得ab cd gh 2ef d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 如图 在四边形abcd中 ab ad bc 5 ae 4 bad bcd 90 ae bc于点e 则be的长为 c 解析 将图中的 abe绕点a逆时针旋转90 得到 ade 易得 abe ade e aeb 90 ade b e ad bae bad bcd 90 b adc 180 ade adc 180 即c d e 三点在同一条直线上 aec c e 90 ae ae 四边形aece 为正方形 ae ec 4 be 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 b 解析 过点e作eg bc 交ca的延长线于点g ed ec edc ecd 即 b bed acb ace ab ac b acb bed ace eg bc g acb b 在 bed和 gce中 bed ace g b ec ed bed gce eg bd cd gef cdf 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 2018 天津 如图 在正方形abcd中 e f分别为ad bc的中点 p为对角线bd上的一个动点 则下列线段的长等于ap ep最小值的是 a abb dec bdd af 解析 过点e作关于bd的对称点e 连接ae 交bd于点p pa pe的最小值为ae e为ad的中点 e 为cd的中点 四边形abcd是正方形 ab bc cd da abf ade 90 de bf abf ade ae af ap ep d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 如图 在 abc中 ab 5 ac 3 d为bc的中点 则ad的取值范围是 1 ad 4 解析 过b点作ba ac交ad的延长线于点a 易得 acd a bd ad a d aa 2ad 2 aa 8 1 ad 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 如图 在rt abc中 d为斜边ab上一点 ad 2 bd 1 四边形decf是正方形 设 ade和 bdf的面积分别为s1 s2 则s1 s2的值为 1 解析 将 bdf绕点d逆时针旋转90 得 def 易得 def dfb s1 s2 s adf df bd 1 s adf ad df 1 s1 s2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 如图 在 abc中 acb 90 ac bc e为ac的中点 da ab 交be的延长线于点d f为ab上一点 acf cbe cf交bd于o点 给出以下结论 ad af cf 2de ob cf s obc s ofb 其中正确的是 把所有正确结论的序号都填在横线上 解析 易得ob cf 即 成立 由e为ac的中点 得 fbe cbe 则oc of 即s obc s ofb 不成立 过点c作ch ab于点h 交bd于g点 由题意知 ade cge acf cbg af cg ad 即 成立 bg dg 2de cf 2de 即 成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 如图 在 abcd中 e为cd的中点 f g分别是ae be的中点 求证 fd cg ae be 证明 如图 平移线段ad至cm 连接em 易得a e m三点在同一条直线上 易得 ade mce ae me cm ad ad bc bc cm bg ge 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 如图 小河的两岸ab cd 两岸有两个村庄p q p到河岸ab的距离为2千米 q到河岸cd的距离也为2千米 ab与cd的距离为4千米 两村庄之间的距离pq 10千米 现准备在河上修一座长为4千米的桥mn 并在河的两岸修筑公路pm qn 求pm mn qn的最小值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解 如图 过点q作cd的平行线 过点p作cd的垂线 两线相交于e点 在pe上截取pf 4千米 连接qf与cd交于点n 过点n作nm ab于点m 连接pm 易得四边形mnfp为平行四边形 pm qn fq 这时pm qn的值最小 亦即pm mn qn的值最小 在rt pqe中 pq 10 pe 8 qe 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 如图 在 abc中 ab ac p是ac的中点 c是bd的中点 连接bp pd cpd a 求证 pd ab 证明 作 abc关于点c的对称图形 edc 即 cde cba e a de ab cpd a e cpd pd de 即pd ab 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 2018 合肥包河区一模节选 如图 在 abc中 acb 90 bac 60 ac 1 p为 abc所在平面内一点 分别连接pa pb pc 1 已知 apb bpc apc 以点a为旋转中心 将 a